1、1現代設計方法第二部分 優化設計（ Optimal design ）2第一章 優化設計的基本知識1-1 概論 尋找最優的決策以獲得最好的經濟效果，就促使最優化技術迅速發展。評價一種設計方法優劣的主要根據，是設計質量及設計速度。設計質量取決于所用的基本理論是否正確及設計方法恰當與否，設計速度則取決于設計方法及運算輔助工具。為提高設計質量與設計速度，采用最佳的優化設計方法是極其重要的。 優化設計是現代設計方法的一個重要領域，已經廣泛應用到各個領域，如在生產中，如何使成本最低？如何合理地分配資源獲得最大經濟效益？如何使設計的機械在滿足各項功能的前提下，使其重量最低、造價最低等。優化設計技術的應用，成

2、為促進國民經濟多、快、好、省地發展的有效方法。3優化設計的改進歷史： 1試算法 這種方法始于20世紀20代末。試算法以一定的理論公式為根據，利用已知或假定的技術條件，通過多次試算、修改，最終獲得適用的設計參數。 例如，設計一個剛度 一定的圓柱形螺旋壓簧，可以根據下列剛度公式進行試算： 式中 彈簧所受的軸向負荷， 彈簧的平均直徑，簡稱中徑 彈簧在負荷P作用下所產生的變形量 彈簧的有效圈數 彈簧材料的直徑 彈簧材料的切變模量4根據上式，如己知或先預定 、 、 、 各參數，通過多次試算、修改，就有可能得到壓簧剛度等于或接近于 的設計參數。 剛度公式也可以寫成一般的多元函數表達式，即式中 代表性能指標

3、 ， 是設計參量，分別代表 、 、 、 ，所以 。 對于一個多元函數，如要求函數值一定，固然可以通過適當選定各 值來滿足要求。但在 既有一定數值范圍限制又包括部分離散量的情況下，即使經過多次試算，修改，也難獲得理想結果。計算量也會隨著試算次數的增多而加大。52表格法 這種方法始于20世紀30年代。它仍以一定的理論計算公式為根據，參照常用離散數列及規范，預制出系統的表格，供設計者直接查閱。目的在于簡化設計過程、減少重復試算量。如螺旋狀拉、壓彈簧設計中所用曲度系數表格。表1-2 彈簧旋繞比與曲度系數對照表 制訂上表的根據是曲度系數計算式 ： 在選定C后，依上表即可查得K值。如表列數值不理想，尚須插

4、值求解。d (mm)0.20.40.4511.12.22.5671618247145125104104846表1-1 彈簧旋繞比的選擇63圖算法 這種方法始于20世紀40年代。它也以一定的理論公式為根據，建立圖尺方程，確定圖尺系數，作出具有專用圖線的算圖。這些專用圖線，避免了函數值的離散化，使用時也需用插值法求中間值。圖1-1 曲度系數K值線圖具體使用方法是：如選 ， ，先分別在 線及 線上找到相應的兩點，然后聯結 并延長，與 K 線相交，交點即為K 值，等于1.44。7 4利用一元函數極值理論的設計方法這種方法始于20世紀40年代末，目的在于獲得理論上的最優設計性能，是優化設計的萌芽。如某一

5、設計的性能指標為 ，諸設計參量為 ，并保持一定函數關系 的極大值或極小值，表征了設計的最優性能必要條件： 充分條件：在x*點存在二階連續偏導數。當 時為極大；當 時為極小。所確定的設計參量，即為獲得最優性能所應選用的具體值。實際上，絕大多數設計都非一元問題。這種設計方法雖有理論意義，但較少具有實用價值。8 5優化設計法 (最優化設計Optimal Design)起源：始于上世紀50年代末，而普及應用于70年代概念：是以數學規劃理論為基礎，以電子數學計算為輔助工具的一種設計方法 原理：將優化技術應用于設計過程之中，最終獲得較理想的設計參數，由于這種設計一般多在完成初始設計之后進行，最終獲得優化參

6、數及結果，故稱之為優化設計。分類：一為直接法（數值法）：直接計算函數值、比較函數值，并以之作為迭代，收斂根據的方法。 二為間接法（解析法）：以多變量函數極值理論為依據，利用函數性態、以之作為迭代，收斂根據的方法。兩種方法的擇優、運算過程，皆按預編程序在計算機上進行。故在有的技術領域中，亦將此過程稱之為自動設計。 9優化設計的基本思想 優化算法各種各樣，但大多數方法都是采用數值法，其基本思想是搜索、迭代和逼近。就是說，在求解時，從某一初始點x0出發，利用函數在某一局部區域的性質和信息，確定下一步迭代的搜索方向和步長，去尋找新的迭代點x1。然后用x1取代x0，(對于極小化問題) x1點的目標函數值

7、應比x0點的值為小。x0d0 x1d1x2d2x3d3xkxk+1xk+1 = xk + akdkdk10機械優化設計的優點使傳統機械設計中，求解可行解上升為求解最優解成為可能使傳統機械設計中，性能指標的校核可以不再進行使機械設計的部分評價，由定性改定量成為可能使零缺陷（廢品）設計成為可能大大提高了產品的設計質量，從而提高了產品的質量大大提高了生產效率，降低了產品開發周期1、美國BELL公司利用優化方法解決450個設計變量的大型結構優化問題。一個機翼質量減輕了35%2、波音公司，在747的機身設計中收到了減輕質量、縮短生產周期、降低成本的效果。3、武漢鋼鐵公司從德國引進的1700薄板軋機，經該

8、公司自主優化之后，就多盈利幾百萬歐元。11優化設計的分類 根據優化問題的不同特征，可有不同的分類方法。 (1) 按有無約束：無約束優化問題和有約束優化問題。(2) 按設計變量的性質：連續變量、離散變量和帶參變量。(3) 按問題的物理結構：優化控制問題和非優化控制問題。(4) 按模型所包含方程式的特性：線性規劃、非線性規劃、二次規劃和幾何規劃等。(5) 按變量的確定性性質：確定性規劃和隨機規劃。12常用優化方法的分類13一、實際技術問題及其數學模型 例1 現有一塊薄鐵皮，寬度 b =14厘米，長度L = 24厘米，制成如圖所示的梯形槽，求斜邊長 x 和傾角為多大時，槽的容積最大 。1-2 優化設

9、計的術語及概念這一優化設計問題是具有兩個設計變量(即x和)的非線性規劃問題。14 例2：有一圓形等截面的銷軸，一端固定，一端作用著集中載荷F=1000N和扭矩M=100Nm。由于結構需要，軸的長度L不得小于8cm，已知銷軸材料的許用彎曲應力W=120MPa，許用扭轉切應力=80MPa，允許撓度f=0.01cm，密度=7.8t/m3，彈性模量E=2105MPa。現要求在滿足使用要求的條件下，試設計一個用料最省的方案。優化目標用料最省條件強度條件剛度條件邊界條件15例3 設某車間生產A和B兩種產品，每種產品各有兩道工序，分別由兩臺機器完成這兩道工序，其工時列于表中。若每臺機器每周至多工作40小時。

10、產品A的單價為200元，產品B的單價為500元。問每周A、B產品應各生產多少件，可使總產值為最高。（這是生產規劃的最優化問題）解： 設該車間每周應生產產品A、B分別為 、 件。則有約束條件為： 該車間每周的總產值為最大就是目標函數，即：16二、術語1設計變量 概念：設計變量是設計模型的基本成分，是設計最后所需確定的參數。設計變量的個數，即是所需求解問題的維數。確定原則：在滿足設計基本要求的前提下，應恰當確定設計變量的數目，盡可能把影響不大的參數定為設計常量，只把對目標函數影響較大的獨立參數選為設計變量。設計變量的分類： )連續變量：可以在實數范圍內連續取值的變量。 )離散變量：只能在給定數列或

11、集合中取值的變量。17 2目標函數 概念：以所選定的設計變量為自變量，以所要求的性能指標為因變量，并按一定關系所建立起來的函數式。 它反映了設計性能要求與設計參數之間的關系。由于目標函數的函數值大小可以評價設計質量的優劣，也稱為評價函數。 設計變量的個數，確定了目標函數的維數。設計變量的冪及函數的性態，確定了目標函數的性質。 如果所選的設計變量與所要求的性能指標之間無精確的函數關系，亦可采用曲線擬合、多元回歸或其他近似計算方法，獲得近似的函數式作為目標函數。 如果在同一設計中，需要滿足一個以上的性能指標，則可分別建立一個以上的目標函數表達式，并以之作為初始模型。這種目標函數稱為多目標函數。18

12、3約束條件 概念：對設計變量的取值加以某些限制的條件稱為約束條件。分類：包括常量約束與約束方程兩類。常量約束亦稱邊界約束，它表明設計變量的允許取值范圍。約束方程亦稱性能約束，它是以所選定的設計變量為自變量，利用幾何關系、設計規范，建立起來的函數式，它常用來限制某些設計性能。約束方程又分不等式約束和等式約束。可以利用一定方法，將約束形式相互轉變。如 ，可轉變為 ；亦可轉變為 。在所需求解的問題中，有時并無約束，有時則有約束。194.設計空間及設計可行域 為便于分析、研究，應用矩陣向量的知識，可將設計模型轉化為設計空間，并在此空間內，討論擇優過程。如將設計方案抽象為一個空間向量X，并將與之有關的各

13、設計變量抽象為各分向量(x1，x2， xn)，且各分向量線性獨立，則以各分向量為軸所構成的空間，即為設計空間。如有n個獨立的設計變量，就可相應地構成n維空間。稱為n維歐氏空間，記為En 。20顯然，在設計空間中的每一個點，都唯一地確定了一個空間向量，它代表了一組分向量及其數值，實際上也就代表了一種具體的設計方案。如在設計空間中存在著使目標函數達到極值的點，則該點就代表著一種優化設計方案。如在該空間中僅有一極值點，則它就是全空間中的最優設計方案。該點常用 表示。21在設計空間中，被約束條件所限定的區域K，即為設計可行域，如圖所示。其中 ， ， 為約束條件。可行域約束的個數 p 必須小于設計變量的

14、個數 n22 設計可行域是設計空間的一個局部。優化設計的尋優過程，一般只應在此區域內進行。最后確定的優化點，也只能在此可行域內，或在可行域的邊界上。否則，所得的設計參數將因超出約束而失去實用價值。 無約束優化：在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數的極小點，其極小點在目標函數等值面的中心。 約束優化：在可行域內對設計變量求目標函數的極小點，其極小點在可行域內或在可行域邊界上。235. 優化設計的一般數學模型 優化設計一般常按兩大類情況建模： 無約束極小化模型和有約束極小化模型。24 它一般地概括了設計中要求最復雜的情況，是有約束極小化模型。如僅有 (或包括 )，則稱具有不等式約束。如僅有 ，

15、則稱具有等式約束。如僅有 ，則稱具有常量約束。目標函數設計變量不等式約束條件等式約束條件常量約束條件25 設計中常遇到目標函數為極大化問題，因為 ，故將研究、分析的重點放在極小化方面。 又由于可以利用一定的數學方法，將多目標函數轉變為單目標函數，有約束的模型轉化為無約束的模型，故對單目標函數、無約束極小問題的探討，應成為探討優化技術的基點和起點。26 三、優化設計過程的形象化表達 優化設計，就是根據設計模型及初始設計參數，利用一定的優化方法編出程序，通過計算機，求出優化參數及優化性能指標。為便于形象化表達擇優過程，現在以二元函數為例進行分析。1.等值線與優化點 等值線圖等同于地圖上的等高線圖，

16、它表達了二元函數函數值大小及其變化規律，它是以相等數值點的連線表示連續分布且逐漸變化的數量特征的一種圖形。27例 目標函數f (x)一60 x1一120 x2的等值線族。這是一組相互平行的直線，函數值沿箭頭所指方間逐漸下降。如圖所示。28 Ox1 f(X)x2C3C1C2f(X) =C3f(X) =C2f(X) =C1f (X)=f (x1, x2)有心等值線族X*29 若將這些曲線投影于下x1 ，x2 軸所構成的平面內，則得一組等值線，如圖所示。它們亦相當于過C 軸上Ci 各點所作。 圖 1-4 平行于x1x2平面的各平面與空間曲面的交線在x1x2平面上的投影，它們形象地表達了函數值的大小及

17、其變化規律， ， 點即函數值的極小點， 表示該點的函數值( 軸垂直于紙面)。 30 可以證明，對于二元函數，如有極值點存在，則在該點附近的等值線為一族共心橢園。設 為函數 的一個極值點，則 一元函數的泰勒展開式：二元函數的泰勒展開式：31),( ),( ),( *2*122*2*1),(12*2*111222121xxfaxxfaxxfaxxxx=如令32所以，Hesse矩陣必須是正定的。 如以上條件成立，則亦表明等值線方程為橢圓方程，故在極值點附近，對于某些常數 的等值線，都是以 為中心的橢圓，該中心即優化點 。 可見，在圖示 坐標所構成設計場內，橢圓族的中心 即優化設計方案所在。 33例

18、函數f(x)xl2十x22一4x1十4的圖形(旋轉拋物面)，以及用平面f(X)c 切割該拋物面所得交線在設計空間中的投影。函數的等值面族34(a) 問題的立體圖 (b) 設計空間的關系圖例 優化問題的圖解法352擇優過程的形象表達 仍以二元函數為例，已知該函數的極小值點 及其附近的等值線族，如圖1-5所示。圖中的 點代表任選的一組初始設計參數。極小化的優化過程，就是從 點開始，按照一定的方向，以一定步長，一步步地接近 點，直到滿足要求的條件時止。36圖1-5 擇優過程 具體的一種過程：如從X0點開始，先沿x1軸方向一步步前進，由于C1C2C3C*，故每走一步后，函數值皆有所改善。當達到X15點時，函數值反而增大，這時應退回到X14點。然后沿x2軸方向一步步前進，直到X24點，函數值反而增大時再退回到X23點。然后再沿著x1軸方向搜索，當發現函數值增大時止，后撤一步，再次換軸。如此反復搜索、反復迭代，直到接近X*時止。這就是擇優、搜索、迭代的一種過程。37 由上例可見，擇優過程也就是按照一定方向，一步步地接近優化點 的過程。它的根本問題可歸納為：如何