1、2.1 引言系統數學模型的時域表示 時域分析方法：不涉及任何變換，直接求解系統的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的根底。 本章我們主要討論輸入、輸出描畫法。輸入輸出描畫： 一元N階微分方程形狀變量描畫： N元一階微分方程系統分析過程經典法：前面電路分析課里曾經討論過，但與 (t) 有關的問題有待進一步處理 h(t)；卷積積分法：恣意鼓勵下的零形狀呼應可經過沖激呼應來求。(新方法)列寫方程：根據元件約束，網絡拓撲約束解方程：經典法雙零法零輸入： 可利用經典法求零形狀： 利用卷積積分法求解變換域法：主要是拉普拉斯變換2.2 微分方程的 建立微分方程的列寫根

2、據實踐系統的物理特性列寫系統的微分方程。對于電路系統，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲約束列寫系統的微分方程。 元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。 網絡拓撲約束：由網絡構造決議的電壓電流約束關系，KCL，KVL。電感電阻電容根據KCL代入上面元件伏安關系，并化簡有 這是一個代表RCL并聯電路系統的二階微分方程。 例：求并聯電路的端電壓 與鼓勵 間的關系。 解：微分方程的列寫微分方程的列寫用 p 表示微分算子，即有1/p 表示積分算子，即有算子法列寫電路的微分方程由此可以得到電阻、電感、電容的算子

3、伏安關系：用消元法求得。 例：列寫 與 的微分方程。 解：微分方程的列寫即得 寫成微分方程方式為 微分方程的列寫微分方程的普通方式或者一個線性延續LTI系統，可以用下面普通方式的微分方程來描畫。2.3 微分方程經典求解法2.4 起始點的跳變2.5 零輸入呼應和零形狀呼應 也稱 固有呼應，由系統本身特性決議，與外加鼓勵形 式無關。對應于齊次解。 方式取決于外加鼓勵。對應于特解。 是指鼓勵信號接入一段時間內，完全呼應中暫時出現的 有關成分，隨著時間t 添加，它將消逝。 由完全呼應中減去暫態呼應分量即得穩態呼應分量。 沒有外加鼓勵信號的作用，只由起始形狀起始時辰系 統儲能所產生的呼應。 不思索原始時

4、辰系統儲能的作用起始形狀等于零，由系統的外加鼓勵信號產生的呼應。 自在呼應：暫態呼應：穩態呼應：強迫呼應：零輸入呼應：零形狀呼應：各種系統呼應定義2.7 卷積卷積在工程和數學上的運用：統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。概率論中，兩個統計獨立變量X與Y的和的概率密度函數是X與Y的概率密度函數的卷積。聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。電子工程與信號處置中，任一個線性系統的輸出都可以經過將輸入信號與系統函數系統的沖激呼應做卷積獲得。物理學中，任何一個線性系統符合疊加原理都存在卷積。h(t)e(t)r(t)?h(t)?e(t)r(t)h(t)e(t)?r(t)1定義與物理

5、意義歷史：19世紀，歐拉，泊松，杜阿美爾卷積與反卷積互逆i)卷積ii)反卷積1：系統辨識iii)反卷積2：信號檢測卷積定義定義：設有兩個 函數 , 積分稱為 的卷積積分，簡稱卷積，記為卷積定義利用卷積求系統的零形狀呼應這就是系統的零形狀呼應。假設把它作用于沖激呼應為h(t)的LTIS，那么呼應為 物理意義：將信號分解成沖激信號之和，借助系統的沖激呼應h(t)，求出系統對恣意鼓勵信號的零形狀呼應，即：恣意信號 可表示為沖激序列之和卷積的計算可直接利用函數的解析表達式代入卷積積分定義式計算。 用圖解法直觀，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確 積分變量改為時延3. 相乘4. 乘積的積分2.1.對延時

6、t，(- t)= t- 積分結果為t 的函數1、借助于階躍函數 u (t) 確定積分限2、利用圖講解明確定積分限其中，積分限確實定是非常關鍵。信號與系統 翟懿奎Ot()tf1111-Ot()tf2323Ot()t-2f23Ot()t-tf223Ot()t1f111-卷積圖解過程下限 上限t-3t-0t ：挪動的間隔-11 , 未挪動的坐標是浮動的。當 從 到 變化時，對應的 從左向右挪動。Ot231-1,卷積圖解過程Ot()t1f111-t -1兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0卷積圖解過程-1 t 1Ot()t1f111- 時兩波形有公共部分，積分開場不為0，積分下限-1，上限t。卷

7、積圖解過程1 t 2即 1 t 2Ot()t1f111-卷積圖解過程2 t 4即 2 t 4兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0卷積結果Ot()tf1111-Ot()tf2323)(tftO2421-1動畫卷積圖解過程普通規律：() 各段上積分上下限確實定: 上限取小, 下限取大卷積結果所占的時寬兩卷積函數所占的時寬之和() 積分限由 的范圍決議。積分上下限和卷積結果區間確實定一、積分上下限確定二、卷積結果區間確實定A,BC,DA+C,B+D-1+1例：求：卷積圖解過程解：圖解法卷積圖解過程iv) 相乘；v) 求積分當 時當 時當 時當 時當 時卷積圖解過程卷積圖解過程 由于系統的因果性

8、或鼓勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限確實定是非常關鍵的。 上述的例子經過圖解確定卷積積分的積分限。也可借助于階躍函數 u( t )確定積分限。常見函數的卷積常見函數的卷積：P57 表2-3 利用常見函數的卷積公式與卷積的性質相結合，可以方便地求較復雜信號的卷積運算。2.8 卷積的性質一代數性質1交換律2分配律3結合律系統并聯運算系統級聯運算系統并聯系統并聯，框圖表示： 結論：子系統并聯時，總系統的沖激呼應等于各子系統沖激呼應之和。前往系統級聯系統級聯，框圖表示： 結論：時域中，子系統級聯時，總的沖激呼應等于 子系統沖激呼應的卷積。 二時移性質設那么三微分積分性質g(t)的一重積分積分性質微分性質：推行：設推行：三微分積分性質微分性質積分性質結合運用對于卷積很方便，特別是下面這個公式。微分 n 次，積分 m 次m=n, 微分次