1、第五章 離散時間隨機信號Discrete-time Stochastic Signal5.5 相關序列和協方差序列的性質根據相關函數和協方差函數的定義，稍加推導就可得到它們的一些很有用的性質。我們把這些性質列舉如下，以備未來參考。思索兩個實平穩隨機過程xn和yn，它們的自相關序列、自協方差序列、相互關序列和互協方差序列分別是性質1：當mx=0和my=0時，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。證明：根據定義有Rxx(m)=Exnxn+mCxx(m)=E(xn-mx)(xn+m-mx) =Exnxn+m-mxExn-mxExn+m+m2x =Rxx(m)-m2xRxy(m)=E

2、xnyn+mCxy(m)=E(xn-mx)(yn+m-my) =Exnyn+m-mxEyn+m-myExn+mxmy =Rxy(m)-mxmy性質2：證明：根據定義有 Rxx(0)=Exnxn=Ex2n Cxx(0)=E(xn-mx)(xn-mx) =E(xn-mx)2 =2x性質3：證明：根據定義有 Rxx(-m)=Exnxn-m 令n-m=n，即n=n+m，那么上式為 Rxx(-m)=Exn+mxn=Rxx(m) 根據性質1和上式，得到 Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用類似的方法不難證明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。

3、性質4：特例：證明：由于已假設xn和yn都是實隨機過程，因此以下不等式成立：將左式左端展開，得到所以令xn=yn，那么上式化簡為其他兩式可用類似的方法證明。從下式開場證明。性質5：假設yn=xn-n0，那么有證明：令n-n0=n，根據定義和假設條件yn=xn-n0，有根據性質1，得到由于my=Eyn=Exn-n0=mx，故上式變為利用性質5的第一個結論，即Ryy(m)=Rxx(m)，那么上式成為性質6：在隨機過程中，兩隨機變量的時間間隔越大，它們的相關性越小。時間間隔趨于無窮大的兩隨機變量，它們之間不再相關。這一性質可用以下公式表示：根據性質1，由上列兩式可以得出和性質6闡明：相關序列和協方差

4、序列都是非周期序列，而且隨著m值的添加逐漸衰減，當m值很大時，序列值已趨近為零。因此，相關序列和協方差序列的Z變換或傅里葉變換通常是存在的。上面6個性質可歸納成圖5.4所示的圖形。記住了這個圖，也就記住了這些性質。從這6個性質可以得出以下重要結論：(1)工程實踐中經常要處置的信號是不可預知的具有無限能量的非周期信號，這類信號不滿足絕對可和條件，甚至不滿足乘以指數衰減序列后絕對可和的條件，因此它們的傅里葉變換和Z變換都不存在。但是，假設將這類信號看成是一個離散隨機過程的取樣序列，那么，由于其自相關序列和自協方差序列都是非周期序列，而且當m趨于無窮大時，自協方差序列的值將衰減為零，在均值等于零的條

5、件下，其自相關序列的值也將衰減為零，這闡明自相關序列和自協方差序列都是有限能量序列，它們的Z變換和傅里葉變換是存在的，因此可以在頻域或Z域中表示和分析這些信號。(2)自相關序列不僅反映出隨機過程中不同時辰的隨機變量之間相關性的大小，而且可以根據自相關序列求出隨機過程的均值、均方值和方差等數字特征，正如性質6、性質2所闡明的那樣。因此，自相關序列或自協方差序列是較全面地描畫隨機過程特性的重要參量。5.6 功率譜1、自協方差序列和自相關序列的傅里葉變換和z變換 在研討確定性信號時，人們經常用傅里葉變換或Z變換對信號進展頻譜分析。如今來討論離散隨機信號的頻譜分析問題。 離散隨機過程是它的無限多個取樣

6、序列的集合。實踐中要處置的離散時間信號，僅僅是無限多個取樣序列中的一個。即使對于遍歷性的平穩隨機過程，也只能根據它的一個取樣序列，來計算出它的均值、方差、均方值、自相關序列以及協方差序列等特征量，這些特征量都是對隨機過程的時域特征的描畫。 隨機信號不僅不能夠用確定信號的表示方法來描畫，而且它們通常都是無限時寬和無限能量的信號，因此它們的傅里葉變換和Z變換都是不存在的。即使計算它的Z變換，得到的Z變換往往都沒有收斂域。即使有收斂域，這個Z變換對應的頻譜與其它的取樣序列的頻譜通常也是不同的。但是，隨機過程的自協方差序列或自相關序列卻能較全面描畫隨機過程的特征，包括時域特征和頻域特征。由于不論用哪個

7、取樣序列來計算自協方差序列或自相關序列，得到的結果總是一樣的。換句話說，即使是由一個取樣序列計算出來的自相關序列或自協方差序列，也能作為對隨機過程的本質描畫。此外，前節曾經指出，自協方差序列和在均值等于零情況下的自相關序列都是有限能量序列，它們的傅里葉變換和Z變換總是存在的。因此，在對離散隨機過程進展頻譜分析時，要用自協方差序列或自相關序列取代隨機過程的取樣序列。2、功率譜的定義協方差序列Cxx(m)的Z變換：稱為平穩隨機過程的功率譜。傳統上，人們把功率譜定義成自相關序列Rxx(m)的Z變換。但那樣定義會帶來不方便，由于當mx0時，根據式(5.57)可知，自相關序列將不是一個有限能量序列，嚴厲

8、地說，它的Z變換是不存在的。為了抑制這個困難，不得不把Z變換的定義推行，即允許在z1(或0) 處功率譜有一個沖激存在，由于根據Z變換的終值定理(書本P.49)，有這闡明，在z1處Sxx(z)有一個極點，或者說Sxx(ej)在=0處存在一個沖激。為減少這個費事，常把功率譜定義為自協方差序列的Z變換。采用這個定義，對于mx0的隨機過程而言，由于Cxx(m)Rxx(m)，所以如今的定義與傳統的定義是一致的；對于mx0的隨機過程而言，由于Cxx(m)是有限能量序列，它的Z變換一直是存在的，所以就無需對Z變換的定義進展推行。在今后的討論中，總是假定隨機信號的均值為零，即使對于均值不為零的隨機信號，也可以

9、將其均值置為零，即重新定義一個零均值隨機信號xnExn，這對于隨機過程的頻譜分析不會帶來任何影響。因此，把平穩隨機過程的功率譜的定義改寫成下式：(5.59)對于該式，假定了mx=0。3、功率譜的性質(1)根據自相關序列的性質3即書本P.168 式(5.52)，一個實平穩隨機過程的自相關序列是時間差m的偶函數，即Rxx(m)Rxx(m)，由Z變換的性質可以得出功率譜的一個性質：(5.60)即Sxx(z)的極點是關于單位圓對稱的。現設Sxx(z)最接近于單位圓的一個極點位于|z|Ra1的圓周上必存在一個對應的極點，該極點也是最接近于單位圓的，不過它處在單位圓外。因此，Sxx(z)的收斂域是一個包含

10、單位圓在內的環形區域Ra|z|Ra-1，這里0Ra1；假設Ra1那么Sxx(z)沒有收斂域。在0Ra1的情況下，由于Sxx(z)的收斂域包含單位圓，所以Rxx(m)的傅里葉變換總是存在的，即(5.61)今后，把式(5.59)和(5.61)都作為功率譜的定義。留意，Sxx(ej)是的周期函數，周期是2。式(5.61)有時稱為維納-辛欣定理。式(5.59)和(5.61)對應的逆變換公式分別為和一個隨機序列x(n)的自相關函數Rxx(m)與該序列的自功率譜密度函數Sxx(ej)也是一個傅里葉變換對。由上式可以得到根據自相關序列的性質2，上式即該式闡明，功率譜在一個周期內的平均值就是隨機過程的平均功率

11、。圖5.5畫出了功率譜函數在一個周期內的表示圖。函數曲線Sxx()在-頻率區間所圍的面積恰等于隨機過程的平均功率的2倍即2Ex2。因此，Sxx()具有功率密度的物理意義。所以，功率譜實踐上是指功率密度譜，有時簡稱為譜。(2)實平穩隨機過程的功率譜是非負的，即(3)實平穩隨機過程的功率譜是實函數，即式中，*號表示復共軛。(4)實平穩隨機過程的功率譜是的偶函數，即從變換域的觀念看，相關函數是一座橋梁：時域(序列)相關域(自相關函數) 頻域(自功率譜)。自相關函數將無限能量序列轉變為有限能量序列，將隨機序列轉變為確定性序列，從而為譜分析鋪平了道路。但是，在這過程中失去了相位信息。所以，從頻譜可以恢復

12、出原時域信號，但從自功率譜不能恢復出原隨機序列，只能得出序列的統計特性Rxx(m)。類似地，可以定義兩個平穩隨機過程xn和yn的互功率譜：或根據相互關序列的性質3(式(5.52)，可以得出互功率譜具有以下性質：自功率譜是實偶的，互功率譜卻是復函數。由于Rxy(m)既不是偶函數，也不是奇函數，不像Rxx(m)是實偶的。相關函數和功率譜函數分別從相關域和頻域這兩個側面去描畫隨機序列，它們反映的都是隨機序列的統計特性，可用于信號檢測、時延分析，數字系統設計和分析、缺點診斷，信號譜分析等。例5.8 假設知零均值白噪聲隨機過程的自相關序列為Rxx(m)=2x(m)，這里2x是隨機過程的方差。求該隨機過程

13、的功率譜。解：由式(5.59)求得即白噪聲的功率譜是常數，并等于隨機過程的方差。例5.9 相位為平穩隨機過程的正弦序列依然是一個平穩隨機過程，它的自相關序列為式中，A是正弦序列的振幅，0是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。解：由式(5.61)可以計算得到例5.10 設平穩隨機過程的自相關序列為求該隨機過程的功率譜。解：以上3個例子中得到的功率譜都是實的、非負的偶函數。5.7 離散隨機信號經過線性非移變系統在數字信號處置的廣泛運用領域中，經常需求用線性移不變系統對信號進展濾波或處置。這些信號通常都是遍歷性平穩隨機過程的取樣序列。本節討論當這樣的離散隨機信號作用于一個線性移不變系統時，系統所

14、產生的呼應，詳細要討論的是系統輸出的數字特征(均值、方差、自相關序列和功率譜)與輸入的數字特征之間的關系。設線性非移變系統的沖激響運用h(n)表示，加在系統輸入端的離散隨機信號x(n)是一個平穩隨機過程(輸入隨機過程)的一個取樣序列，系統產生的輸出信號(呼應)y(n)也是一個離散隨機信號，把它看成是另一隨機過程(輸出隨機過程)的一個取樣序列。不論x(n)是確定性的還是隨機性的信號，對于系統來說是沒有區別的，系統的沖激呼應、輸入信號和輸出呼應之間總是存在著以下關系：設輸入隨機過程的均值、方差、自相關序列和功率譜分別為mx、2x、Rxx(m)和Sxx(ej)，如今來計算輸出隨機過程的相應的特征參數

15、，并討論輸入隨機過程與輸出隨機過程之間這些參數的關系。系統的輸出呼應y(n)是輸出隨機過程yn的一個取樣序列，根據遍歷性假設，可以由y(n)求出yn的均值為(1)輸出隨機過程y(n)的均值my由于輸入隨機過程是平穩隨機過程，故上式中的Ex(n-k)等于mx，于是上式化為式中，H(ej0)是系統的頻率特性在=0時的值。因此，輸出隨機過程的均值是與時間n無關的一個常量，它與輸入隨機過程的均值mx成正比例關系，比例常數是系統頻率特性在零頻率上的取值。(2)輸出隨機過程的自相關序列Ryy(n, n+m)由該式看出輸出隨機過程的自相關序列只與時間差m有關，而與時間起點的選取(即n的選取)無關，故可將Ry

16、y(n, n+m)表示成Ryy(m)，上式遂化為(5.72)綜合以上討論可看出，輸出隨機過程的均值為常數，其自相關序列只與時間差有關，故它是一個平穩隨機過程。令r-kl，那么式(5.72)可寫成(5.73)式中，(5.74) 它是系統沖激呼應h(n)的(確定性)自相關序列。由式(5.73)可以看出，系統輸出隨機過程的自相關序列，等于輸入隨機過程的自相關序列與系統沖激呼應的自相關序列的線性卷積。 由于在確定性離散時間信號作用于線性非移變系統的情況下，系統的輸出呼應等于輸入信號與系統沖激呼應的線性卷積，因此，如今討論的隨機性離散時間信號作用于線性非移變系統的情況，與其非常類似。(3)輸出隨機過程的

17、功率譜Syy(z)假設輸入隨機過程的均值mx0，因此輸出隨機過程的均值亦為零。這樣，輸入和輸出隨機過程的協方差序列都分別與它們各自的自相關序列相等。對式(5.73)左右兩端進展Z變換，得到式中，Syy(z)和Sxx(z)分別是輸出和輸入隨機過程的功率譜，它們分別等于Ryy(m)和Rxx(m)的Z變換，即Shh(z)是Rhh(m)的Z變換，設h(n)是實序列，從式(5.74)可以看出，Rhh(l)是h(n)和h(-n)的線性卷積，那么Shh(z)為Rhh(l)的z變換對應于h(n)和h(-n)的z變換的乘積，那么有(5.76)式(5.76)中，H(z)是系統的系統函數。假設h(n)是復序列，那么

18、(5.77)于是式(5.75)可寫成(5.78)由上式可以看出，假設H(z)在z=zp處有一個極點，那么Syy(z)將在z=zp和共軛倒數位置z=1/z*p上各有一個極點；類似地，假設H(z)在z=z0處有一個零點，那么Syy(z)將在互成共軛倒數關系的兩個位置z=z0和z=1/z*0上各有一個零點。在h(n)為實序列的情況下，將式(5.76)代入式(5.75)，有式中，|H(z)|是H(z)的模。假設系統是穩定的，那么Syy(z)的收斂域包含單位圓，由上式可以得出由式(5.80)看出，輸出隨機過程的功率譜等于輸入隨機過程的功率譜與系統頻率特性幅度平方的乘積。當輸入信號功率譜為常數時(例如輸入

19、隨機過程是一個白噪聲過程)，系統的輸出信號的功率譜與系統頻率特性幅度的平方具有完全類似的外形。(4)輸入隨機過程與輸出隨機過程的相互關序列Rxy(m)(5.81)上式闡明，系統的輸入信號與輸出信號之間的相互關序列，等于輸入信號自相關序列與系統沖激呼應的線性卷積。式(5.74)定義了系統沖激呼應的自相關序列Rhh(l)，實踐上它就是h(m)與h(-m)的線性卷積，代入式(5.73)，得到(5.82)思索到式(5.81)的結果，上式可寫成：(5.83)該式闡明，輸出隨機信號的自相關序列，可以經過輸入與輸出間的相互關序列與系統沖激呼應進展相關計算來得到(留意，與h(-m)進展線性卷積運算等效于與h(m)進展相關運算)。式(5.81)、式(5.82)和式(5.83)可以用圖5.6來闡明:式(5.81)是一個重要結果。假設輸入是一個零均值的平穩白噪聲隨機過程，它的方差為2x，自相關序列是一個沖激Rxx(m)= 2x(m)，功率譜等于常數Sxx(z)2x，這時式(5.81)化為(5.84)上式對應的Z變換為或由此得到(5.85)假設計算得到了系統輸