1、5.2 線性微分方程組的一般理論*15.2 線性微分方程組的一般理論主要研究微分方程組的解得結(jié)構(gòu)問題一階線性微分方程組:稱(5.15)為一階齊次線性微分方程組（強調(diào)時也稱對應(yīng)于（5.14）的齊次）.一階非齊線性微分方程組.*25.2 線性微分方程組的一般理論一 齊次線性微分方程組1 疊加原理定理2證明:則有所以*35.2 線性微分方程組的一般理論2 函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)*45.2 線性微分方程組的一般理論注：恒等于0的0是零列向量。證明:例1證明:向量值函數(shù)組在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.*55.2 線性微分方程組的一般理論證明:要使例2證明:函數(shù)向量組*65.2 線性微分方程組的一般理論則需

2、因為所以故線性無關(guān).*75.2 線性微分方程組的一般理論再比如：*85.2 線性微分方程組的一般理論線性無關(guān)。3 向量值函數(shù)組線性相關(guān)與無關(guān)的判別準則(1) Wronsky行列式由這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱為這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式。*95.2 線性微分方程組的一般理論(2)定理3證明:相關(guān),*105.2 線性微分方程組的一般理論(3)定理4證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理2知,*115.2 線性微分方程組的一般理論由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾。注1:注2:*125.2 線性微分方程組的一般理論(4)定理5(5.15)一定存在n個線性無

3、關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在滿足初始條件且*135.2 線性微分方程組的一般理論4 通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理6證明:由已知條件,*145.2 線性微分方程組的一般理論又因為從而可知*155.2 線性微分方程組的一般理論即它們構(gòu)成n維線性空間的基,現(xiàn)在考慮向量值函數(shù)由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即*165.2 線性微分方程組的一般理論推論1(5.15)的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.基本解組:稱為(5.15)的一個基本解組.注1:(5.15)的基本解組不唯一（有無窮多個）.注2:(5.15)所有解的集合構(gòu)成一個n維線性空間.注3:由n階線

4、性微分方程的初值問題(5.6)與線性微分方組的初值問題(5.7)的等價性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去.*175.2 線性微分方程組的一般理論首先有:線性相關(guān).證明:*185.2 線性微分方程組的一般理論即有即向量組(*)是線性相關(guān)的.*195.2 線性微分方程組的一般理論反之,如果向量組(*)是線性相關(guān),當然有 從而,從4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,從本節(jié)定理3,4,5立即分別推出第四章定理3,4,5.從本節(jié)定理6立即得到下面：*205.2 線性微分方程組的一般理論推論3*215.2 線性微分方程組的一般理論5 解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱這個矩陣

5、為(5.15)的解矩陣.則稱該解矩陣為(5.15)的基解矩陣.基解矩陣-以基本解組為列構(gòu)成的矩陣.*225.2 線性微分方程組的一般理論由定理5,6得由定理3,4得*235.2 線性微分方程組的一般理論注1:行列式恒等于零的矩陣列向量未必線性相關(guān).如矩陣注2:*245.2 線性微分方程組的一般理論例3驗證是方程組的基解矩陣.解:由于又由于*255.2 線性微分方程組的一般理論證明:*265.2 線性微分方程組的一般理論證明:于是有由此可得*275.2 線性微分方程組的一般理論即有例4驗證是方程組的基解矩陣,并求其通解.解:*285.2 線性微分方程組的一般理論又由于其通解為*295.2 線性微

6、分方程組的一般理論二 非齊次線性微分方程組1 非齊次線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2*305.2 線性微分方程組的一般理論性質(zhì)32 通解結(jié)構(gòu)定理定理7這里C是確定的常數(shù)列向量.證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量.*315.2 線性微分方程組的一般理論如果知道了對應(yīng)齊次方程的通解，能不能求非齊次特解？3 常數(shù)變易公式則(5.15)的通解為其中C是由n個任意常數(shù)構(gòu)成的列向量。下面尋求(5.14)形如的解,把(5.24)代入(5.14),得(1) 一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式*325.2 線性微分方程組的一般理論從而反之,可驗證(5.26)是方程組(5.14)滿足初始條件的特解.因此

7、,(5.24)變?yōu)?335.2 線性微分方程組的一般理論定理8(1) 向量函數(shù)是(5.14)的解,且滿足初始條件(2) 方程組(5.14)的通解為注1:注2:公式(5.26)或(5.27)稱為(5.14)的常數(shù)變易公式.*345.2 線性微分方程組的一般理論例5求方程組的通解.解:由例4知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(5.26)得方程的特解為*355.2 線性微分方程組的一般理論伴隨矩陣除以原矩陣的行列式所以,原方程的通解為*365.2 線性微分方程組的一般理論例6試求初值問題的解.解:由例3知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,*375.2 線性微分方程組的一般理論伴隨矩陣除以原矩陣的行列式故方程滿足初始條件的解是*385.2 線性微分方程組的一般理論(2) n階線性微分方程的常數(shù)變易公式則(5.7)對應(yīng)齊次方程的基本解組為從而其基解矩陣為*395.2 線性微分方程組的一般理論*405.2 線性微分方程組的一般理論推論3的基本解組,那么非齊線性方程的滿足初始條件解為*415.2 線性微分方程組的一般理論公式(5.29)稱為(5.28)的常數(shù)變易公式.方程(5.28)的通解可表為*425.2 線性微分方程組的一般理論但是*435.2 線性微分方程組的一般理論而通解是*445.2 線性微分方程組的一般理論例7試求方程的一個解.解:易知對應(yīng)齊線性方程的基本