1、第一章 緒論習題一1.設x0,x*的相對誤差為8,求f(x)=ln x的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有滿足已知x*的相對誤差，故即2.下列各數都是經過四舍五入得到的近似值，試指出它們有 幾位有效數字，并給出其誤差限與相對誤差限。解：直接根據定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得有5位有效數字，其誤差限相對誤差限有 2 位有效數字，有 5 位有效數字，3.下列公式如何才比較準確？（1）（2）解：要使計算較準確，主要是避免兩相近數相減，故應變換 所給公式。（1）（2）4.近似數x*=0.0310,是g 位有數數字。5. 計 算取四個選項：，利

2、用式計算誤差最小。第二、三章 插值與函數逼近習題二、三1. 給定的數值表用線性插值與二次插值計算ln0.54的近似值并估計誤差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值, 并應用誤差估計（5.8）。線性插值時，用0.5及0.6兩點， 用Newton插值誤差限，因，故二次插值時，用0.5, 0.6, 0.7三點，作二次Newton插值，故的等2.在-4WxW4上給出距節點函數表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數表的步長h應取多少?解：用誤差估計式（5.8），3. 若，求解：由均差與導數關系于是4. 若互異，求的值，這里pWn+1.解：，由均差對稱性而當P

3、=n+1時于是得5. 求證解：解：只要按差分定義直接展開得6. 已知的函數表求出三次Newton均差插值多項式，計算f(0.23)的近似值并 用均差的余項表達式估計誤差.解：根據給定函數表構造均差表由式(5.14)當n=3時得Newton均差插值多項式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余項表達式(5.15)可得由于7.給定f(x)=cosx的函數表用Newton等距插值公式計算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估計誤差解：先構造差分表計算，用n=4得

4、Newton前插公式誤差估計由公式（5.17）得其中計算時用 Newton 后插公式（5.18）誤差估計由公式（5.19）得這里仍為0.5658.求一個次數不高于四次的多項式p(x),使它滿足解：這種題目可以有很多方法去做，但應以簡單為宜。此處可先造使它滿足顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是9. 令稱為第二類Chebyshev多項式，試求的表達式，并證明是-1,1 上帶權的正交多項式序列。解：因10. 用最小二乘法求一個形如的經驗公式，使它擬合下列數據，并計算均方誤差.，即解：本題給出擬合曲線，故法方程系數法方程為解得最小二乘擬合曲線為 均方程為

5、11. 填空題的插值多(1) 滿足條件項式 p(x) = ().(2),則 f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3) 設為互異節點，為對應的四次插值基函數，），=().(4) 設是區間0,1上 權函數為p(x)=x的最高項系數為1的正交多項式序列，其=()答：（1）（2）第4章 數 值 積 分與數值微分習題4分別用復合梯形公式及復合Simpson公式計算下列積分.解本題只要根據復合梯形公式（6.11）及復合Simpson公式（6.13）直接計算即可。，取n=8,在分點處計算f（x）的 值 構 造 函 數 表 。 按 式 （ 6.11 ） 求 出，按式（6.13）求得積分用Si

6、mpson公式求積分并估計誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估計誤差，因故確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數精確度.(2)(3)解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式 的參數。（1）令相等，得代入公式兩端并使其解此方程組得，于是有再令故求積公式具有3次代數精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出而對不準確成立，故求積公式具有3次代數精確度。（3）令得代入公式精確成立，解得，得求積公式故求積公式具有2次代數精確度。，若用復合計算積分Simpson 公 式 要 使 誤 差 不 超 過問區間要分為多少等分 ?若改用

7、復合梯形公式達到同樣精確度，區間應分為多少等分?解：由Simpson公式余項及取n=6 ,即區間分為12等分可使誤差不超過，由余項公對梯形公式同樣式得取n=255才更使復合梯形公式誤差不超過用 Romberg 求 積 算 法 求 積 分使用解：本題只要對積分Romberg算法（6.20）,計算到K=3,結果如下表所示。于是積分，積分準確值為0.713272用三點Gauss-Legendre求積公式計算積分.解：本題直接應用三點Gauss公式計算即可。由于區間為，所以先做變換本題精確值用三點 Gauss-Chebyshev 求積公式計算積分解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計算

8、于是,因n=2,即為三點公式,故試確定常數A, B,C,及a,使求積公式有盡可能高的代數精確度，并指出所得求積公式的代數精確度是多少.它是否為Gauss型的求積公式？解：本題仍可根據代數精確度定義確定參數滿足的方程,令對公式精確成立，得到由(2) (4)得A=C,這兩個方程不獨立。故可令，得（5），代入（1）由（3）（5）解得得則有求積公式公式精確成立，故求積公式具有5次代數精確度。三點求積公式最高代數精確度為5 次，故它是Gauss型的。第五章 解線性方程組的直接法習題五.用Gauss消去法求解下列方程組.解 本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。故.

9、 用 列 主 元 消 去 法 求 解 方 程 組并求出系數矩陣A的行列式detA的值，2行與1行解：先選列主元交換得消元消元3 行與 2 行交換回代得解行列式得.用Doolittle分解法求解.解：由矩陣乘法得再由求得解得.下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?，若A能分解，一步分解后，不能分解，但，相互矛盾，故 A，若A中1行與2行交換，則可分解為LU對B,顯然，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意常數，且U奇異。C可分解，且唯一。.用追趕法解三對角方程組Ax=b，其中解：用解對三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和（3.1.3）計算得. 用平方根法解方程組解：用分解

10、直接算得求得，另一方面8 設范數及F-范數和2范數計算A的行范數，列上任一種范數，是非奇異的，定義證明證明：根據矩陣算子定義和定義，得令為一對一，于是，因P非奇異，故x與y10. 求下面兩個方程組的解，并利用矩陣的條件數估計，即，即解：記由（3.12）的誤差估計得表明估計略大，是符合實際的。11.是非題（若是在末尾（）填+,不是填-）：題目中,則（1）若 A 對稱正定,上的一種向量范數（）（2）定義是一種范數矩陣（3）定義是一種范數矩陣（4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣 （）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若 A 對稱正定,則 A

11、 可分解為，其中L為對角元素為正的下三角陣 （）（7） 對任何都有（8）若 A 為正交矩陣，則（）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章 解線性方程組的迭代法習題六證 明 對 于 任 意 的 矩 陣 A ， 序 列收斂于零矩陣解： 由于而故方程組(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.(2)寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以計算到為止解：因為具有嚴格對角占優，故J法與6$法均收斂。(2) J法得迭代公式是，迭代到18次有GS迭代法計算公式為設方程組證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂

12、或發散解：Jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時收斂或同時發散。4.下列兩個方程組Ax=b，若分別用J法及GS法求解， 是否收斂?解：Jacobi法的迭代矩陣是,J法收斂、GS法的迭代矩陣為,解此方程組的GS法不收斂。5. 設,detAWO ,用,b表示解方程組慶*二的 法及GS法收斂的充分必要條件.解J法迭代矩陣為，故J法收斂的充要條件。GS法迭代矩陣為得 GS 法收斂得充要條件是6.用SOR方法解方程組（分別取3=1.03,3=1,3=1.1）精確解，要求當時迭代終止，并對每一個

13、3值確定迭代次數解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為時，迭代 5 次達到要求若取，迭代6次得7.對上題求出SOR迭代法的最優松弛因子及漸近收斂速 度，并求 J 法與 GS 法的漸近收斂速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩陣為，因A為對稱正定三對角陣，最優松弛因子J法收斂速度由于，故若要求，于是迭代次數對于J法，取 K=15對于GS法，取 K=8對于SOR法，取 K=58. 填空題(1)要使應滿足（）.已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法是否收斂().它的漸近收斂 速度 R(B)=().設 方 程 組 Ax=b, 其 中其 J 法的迭代矩陣是().GS法

14、的迭代矩陣是().用 GS 法 解 方 程 組，其中a為實數，方法收 斂的充要條件是a滿足（）.（5） 給定方程組,a為實數.當a滿足（），且0V 3 V2時SOR迭代法收斂.答:(1)(2)J法是收斂的，(3)J 法迭代矩陣是，GS法迭代矩陣(4)滿足(5)滿 足第七章 非線性方程求根習題七1.用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05解 使用二分法先要確定有根區間。本題 f(x)=x2-xT=0,因 f(1)=-1,f(2)=1,故區間1,2為有根區間。另一根在 -1,0內，故正根在1,2內。用二分法計算各次迭代值 如表。其誤差2. 求 方 程=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，

15、并建立相應迭代公式.(1)，迭代公式(2),迭代公式(3)，迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數字的近似根解：（1）取區間，則L1,滿足收斂定理條件，故迭代收斂。，在（2）（3）中有，故迭代收斂。附近，故迭代法發散。在迭代（1）及（2）中，因為（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取，則3. 設方程的迭代法,均有(1) 證明對為方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使誤差不超過并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收斂階是多少?證明你的結論解：(1)迭代函數（2）取，則有各次迭代值其誤差不超過（3）故此迭代為線性收斂4. 給定函數，設對一切x,存在，而且證明對的任意常數迭代法均收斂于方程的根解：由于為單調增函數，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函數，由遞推有.用Steffensen方法計算第2題中(2)、(3)的近似根，精確到解 : 在 (2) 中, 令,則有,得,與第2題中(