1、2 求導數(shù)的方法法則與公式 第三章 三、反函數(shù)的求導法則二、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則一、問題的提出四、復合函數(shù)的求導法則五、小結(jié)與思考題（The Rule of Derivation）2022/7/161一、問題的提出（Introduction）1. 導數(shù)的定義2022/7/1622. 利用導數(shù)的定義得出以下導數(shù)公式：2022/7/163但是，對于比較復雜的函數(shù)，直接根據(jù)定義求它們的導數(shù)往往很困難. 例如，求下列函數(shù)的導函數(shù)：為此，我們有必要研究一下函數(shù)的求導法則！2022/7/164二、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1 的和、差、積、商 (除分母為0的點外) 都在點 x 可導,且下

2、面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題.2022/7/165此法則可推廣到任意有限項的情形.設, 則例如,證: （1）2022/7/166證: 設則有推論:( C為常數(shù) )（2）2022/7/167證: 設則有故結(jié)論成立.推論:( C為常數(shù) )（3）2022/7/168的導數(shù). 例1 求函數(shù)答案：和例2 求函數(shù)的導數(shù). 答案：和例3 求函數(shù)的導數(shù). 答案：2022/7/169三、反函數(shù)的求導法則定理2 y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導, 證:在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此2022/7/1610例4 求反三角函數(shù)的導數(shù)。解: 設則類似可求得, 則2022/7/1611

3、四、復合函數(shù)的求導法則在點 x 可導,定理3 在點可導復合函數(shù)且在點 x 可導,證:在點 u 可導,故（當 時 )故有2022/7/1612 說 明：2022/7/1613例如,關鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導.（3） 此法則可推廣到多個中間變量的情形.2022/7/1614的導數(shù). 例5 求函數(shù)答案：例6 設提示：分情況討論。答案：由此可見，即答案：2022/7/1615求解:思考: 若存在 , 如何求的導數(shù)?這兩個記號含義不同例8 設練習2022/7/1616五、基本求導法則與導數(shù)公式1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)2022/7/16172. 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則( C

4、為常數(shù) )3. 反函數(shù)的求導法則單調(diào)可導, 則4. 復合函數(shù)求導法則5. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導,且導數(shù)仍為初等函數(shù)2022/7/1618若函數(shù)的導數(shù)可導,或即或類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù) ,或的二階導數(shù) ,記作的導數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱高階導數(shù) 2022/7/1619三、一些常見函數(shù)的高階導數(shù)的求法例1 設 求解：1. 直接法求高階導數(shù)就是多次接連地求導數(shù).例2 求 的n 階導數(shù). 解：2022/7/1620求解: 一般地 ,類似可證:例3 設2. 數(shù)學歸納法證明高階導數(shù)2022/7/1621例4 設 求解若 為自然數(shù) ，則 2022/7/1622內(nèi)容小結(jié)1. 掌握函數(shù)求導的法則四則運算的求導法則反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則注意: 1)2) 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導 .記住一些基本初等函數(shù)的導數(shù)公式3. 求高階導數(shù)的方法2022/7/1623思考與練習1.對嗎?2. 求下列函數(shù)的導數(shù)答案：2022/7/1624其中在因故正確解法:時,