1、第二節 留 數一、留數的引入二、利用留數求積分三、在無窮遠點的留數四、典型例題五、小結與思考2一、留數的引入設為的一個孤立奇點;內的洛朗級數:在.的某去心鄰域鄰域內包含的任一條正向簡單閉曲線30(高階導數公式)0 (柯西-古薩基本定理)4定義 記作的一個孤立奇點, 則沿內包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數稱為以如果5二、利用留數求積分說明:2. 留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數在C內各孤立奇點處的留數.1.留數定理在區域 D內除有限個孤外處處解析, C 是 D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 那末立奇點函數6證證畢兩邊同時除以 且.如圖72.留數的計算方法(1)

2、如果為的可去奇點, 如果 為 的一級極點, 那末規則1成洛朗級數求(2) 如果為的本性奇點, (3) 如果為的極點, 則有如下計算規則展開則需將8如果 為 的 級極點, 規則2證那末9+(含有 正冪的項)兩邊求階導數, 證畢得10規則3 如果設及在都解析，證的一級零點,為的一級極點.為那末為的一級極點, 且有11解析且在因此其中 在 解析且為 的一級極點,12三、在無窮遠點的留數注意積分路線取順時針方向說明記作1.定義設函數在圓環域內解析，C為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，13.證由留數定義有:(繞原點的并將內部的正向簡單閉曲線)包含在 2.定理二如果函數在擴充復平面內只有有限個孤立

3、奇點, 那末在所有各奇點 (包括 點)的留數的總和必等于零.證畢14說明: 由定理得(留數定理)計算積分計算無窮遠點的留數.優點: 使計算積分進一步得到簡化. (避免了計算諸有限點處的留數)153.在無窮遠點處留數的計算規則4說明: 定理二和規則4提供了計算函數沿閉曲線積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單.16現取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周 :于是有證17內除在外無其他奇點 .證畢18四、典型例題例1 求在的留數.解19例2 求在的留數.分析是的三級零點由規則3得計算較麻煩.20如果利用洛朗展開式求較方便:解21說明: 如 為 m 級極點，當 m 較大而導數又難以計算時

4、, 可直接展開洛朗級數求來計算留數 .2. 在應用規則2時, 取得比實際的級數高.級數高反而使計算方便. 1. 在實際計算中應靈活運用計算規則. 為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如上例取22例3 求在的留數.解 是的四級極點.在內將展成洛朗級數:23例4 計算積分C為正向圓周:解為一級極點,為二級極點,2425例5 計算積分C為正向圓周:函數在的外部, 除點外沒有其他奇點. 解 根據定理 2與規則4: 26與以下解法作比較 :被積函數有四個一級極點都在圓周的內部 , 所以由規則3 27可見, 利用無窮遠點的留數更簡單.例6 計算積分C為正向圓周 :解 除被積函數點外, 其他奇點為28由于與1在C的內部, 則所以29五、小結與思考 本節我們學習了留數的概念、計算以及留數定理. 應重點