1、線性變換定義2 線性變換及其矩陣表示 設(shè)V1，V2為線性空間，若 V1V2的映射T 滿足：對任意的 ，有 則稱T 為 V1V2的線性變換.例子例 12 線性變換及其矩陣表示 在線性空間Pn(t)中定義變換則 T 是Pn(t) 的線性變換.？Pn-1(t)給定 ， 則有由矩陣的運算法則可知 A 是 的線性變換.例 2線性變換的性質(zhì)2 線性變換及其矩陣表示也線性相關(guān). 若 線性相關(guān)，則問是否也線性無關(guān)？若 線性無關(guān)，問線性變換的矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示設(shè) 是Vn的一個基 是Vm的一個基T 是VnVm 的線性變換稱 A 為T 在基偶 , 下的矩陣.T = T1,T2,Tn A像的坐標(biāo)2 線性

2、變換及其矩陣表示例 3 設(shè) 的線性變換T 定義為：試求T在基下的矩陣. 注：若T 是V 到自身的變換，則基偶可取為,此時稱T在基偶下的矩陣為 T在基下的矩陣.2 線性變換及其矩陣表示設(shè) 是Vn的一個基 是Vm的一個基對VnVm 的任一線性變換T，存在矩陣A，使得T = A對任意的 Vn，設(shè) 在基Vn下的坐標(biāo)為x，則有T =T( x ) = (T )x = Ax即像T 在基Vm下的坐標(biāo)為Ax.可見：線性變換的特性完全由基偶矩陣刻畫，故對線性變換的研究可轉(zhuǎn)為對基偶矩陣的研究.零空間與值空間2 線性變換及其矩陣表示則有null T dim(T) = dim(A) = n rankArankT dim

3、(T) = dim(A) = rankA稱nullT 為 T 的零度，rankA 為 T 的秩，且有類似地定義(T) = Vn | T = O (T) = Vm | =T， Vn 稱(T) 為 T 的零空間(核)稱(T) 為 T 的值空間(值域)2 線性變換及其矩陣表示變換在不同基偶下矩陣之間的關(guān)系設(shè), 是Vn 的兩個基， , 是Vm的兩個基.在基偶 , 下有 T= A問矩陣A與B有什么關(guān)系？在基偶 , 下有 T = B2 線性變換及其矩陣表示變換在不同基偶下矩陣之間的關(guān)系設(shè), 是Vn 的兩個基， , 是Vm的兩個基.在基偶 , 下有 T= A在基偶 , 下有 T = B設(shè)基變換渡矩陣分別為

4、P，Q ，即線性變換在不同基偶下的矩陣是相互等價的.=P， = Q2 線性變換及其矩陣表示變換在不同基偶下矩陣之間的關(guān)系設(shè)T 是Vn 到自身的線性變換，, 是Vn 的兩個基.在基 下有 T= A問矩陣A與B有什么關(guān)系？在基偶 下有 T = B2 線性變換及其矩陣表示變換在不同基偶下矩陣之間的關(guān)系設(shè)T 是Vn 到自身的線性變換，, 是Vn 的兩個基.在基 下有 T= A在基偶 下有 T = B設(shè)基變換渡矩陣 P ，即 =P線性空間到自身的線性變換在不同基下的矩陣是相似的2 線性變換及其矩陣表示即 與 等價線性變換即 與 相似到自身線性變換從現(xiàn)在開始主要研究 的線性變換。2 線性變換及其矩陣表示線

5、性變換矩陣表示的化簡設(shè)T 是Vn 到自身的線性變換.則 T 在基 =P 下的矩陣為問題 怎樣求基 ，使得T 在下的矩陣有較簡單的形式？分析：任取V 的一個基 ，且T = A. 若將方陣 A 相似化簡為 B ，即考慮兩種簡單形式的矩陣： 分塊對角陣 對角矩陣？2 線性變換及其矩陣表示不變子空間定義 定義 設(shè) ， 是 的子空間，若 有 ，則稱 是 的不變子空間，記為 例 ，記 的核與值域分別為則 均是 的不變子空間。2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2 線性變換及其矩陣表示2