1、1.2充分條件與必要條件1.理解充分條件、必要條件與充要條件的意義.2.會判斷p是不是q的充分條件、必要條件、充要條件.121.一般地,“若p,則q”為真命題,即pq,就說p是q的充分條件,q是p的必要條件.“若p,則q”為假命題,即p q,就說p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.【做一做1-1】 “|x|=|y|”是“x=y”的條件.(填“充分”或“必要”)解析:若x=1,y=-1,則|x|=|y|,但xy;而x=y|x|=|y|.答案:必要【做一做1-2】 若pq,則qp.(填“”或“ ”)解析:“若p,則q”和“若q,則p”互為逆否命題,具有等價性.pq就是“若p,則q”為真命題,故

2、qp.答案:122.若pq,且qp,則pq,就說p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果pq ,那么p與q互為充要條件.知識拓展1.若pq,但q p,則p是q的充分不必要條件.2.若qp,但p q,則p是q的必要不充分條件.3.若pq,且qp,則p是q的充分必要條件(簡稱為充要條件).4.若p q,且q p,則p是q的既不充分也不必要條件.【做一做2-1】 已知a,b是實數,則“a0,且b0”是“a+b0,且ab0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:“a0,且b0”可以推出“a+b0,且a

3、b0”,反之也是成立的.答案:C12A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A 1.從集合關系上看充分條件、必要條件和充要條件的意義剖析若命題p,q對應的集合分別為A,B,則p,q之間的關系可借助集合知識來判斷(如圖).若AB,則p是q的充分條件,因為若有xA,可得xB,如圖;若AB,則p是q的必要條件,因為要使xB,則xA是必不可少的,如圖;若A=B,則p是q的充要條件,如圖;若AB,且BA,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件,如圖.例如,A=中學生,B=學生,AB,即某人是中學生,必是學生,所以“某人是中學生”是“某人是學生”的充分條件.“某人

4、是學生”,那么他不一定是中學生;而“某人不是學生”,那么他一定不是中學生,所以“某人是學生”是“某人是中學生”的必要條件.2.判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法和應注意的問題剖析(1)充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結論q之間的因果關系,在結合具體問題進行判斷時,要采用以下思路:確定條件p是什么,結論q是什么;嘗試從條件推結論,若pq,則充分性成立,p是q的充分條件;考慮從結論推條件,若qp,則q是p的充分條件,即p是q的必要條件,必要性成立.(2)對于充要條件,要熟悉它的同義詞語.在解題時常常遇到與充要條件同義的詞語,如“當且僅當”“必須且只需

5、”“等價于”“反過來也成立”.準確地理解和使用數學語言,對理解和運用數學知識是十分重要的.題型一題型二題型三題型四【例1】 判斷下列各題中p是q的什么條件.(1)p:x1,q:x21;(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思 1.判斷p是q的什么條件,主要是判斷pq及qp這兩個命題是否成立,若pq,q p,則p是q的充分不必要條件;若p q,qp,則p是q的必要不充分條件;若pq,qp,則p與q互為充要條件2.關于充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件,當不容易判斷pq及qp的真假時,也可以從集合的角度去判斷,并結合集合中“小集合大

6、集合”的關系來理解,這對于解決與邏輯有關的問題是大有益處的.題型一題型二題型三題型四A.充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析:x2+x+m=0有實數解,答案:A題型一題型二題型三題型四【例2】 已知p:2x2-3x-20,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)0.若p是q的充分不必要條件,求實數a的取值范圍.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思利用充分條件、必要條件、充要條件的關系求參數的取值范圍的步驟如下:(1)化簡p,q;(2)根據充分性、必要性將p,q之間的關系轉化為集合之間的關系;(3)利用集合之間的關系建立不等關系;(4)求解參

7、數的取值范圍.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】 已知P=x|a-4xa+4,Q=x|x2-4x+30.若“xP”是“xQ”的必要條件,求實數a的取值范圍.解:Q=x|x2-4x+30=x|1x0,所以x1,x2同號.又x1+x2=-m-20,所以x1,x2同為負數,即關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充分條件是m2.必要性:因為關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根,設其為x1,x2,且x1x2=1,所以m2,即關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的必要條件是m2.題型一題型二題型三題型四反思有關充要條件的證明問題,要分清哪個是條件,哪個是結論,誰是誰的什么條件,由“條件”“結論”是證明命題的充分性,由“結論”“條件”是證明命題的