主講教師：總課時：124

第一講

函數(shù)的概念高等數(shù)學12023/6/7引言一、什么是高等數(shù)學?初等數(shù)學—

研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學—

研究對象為變量,運動和辯證法進入了數(shù)學.數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù),運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學,有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.恩格斯笛卡兒目錄上頁下頁返回結(jié)束22023/6/71.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù).2.微積分學:1)多元函數(shù)微分學4.

常微分方程主要內(nèi)容2)一元積分學.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)一元微分學;3.多元微積分:2)二重積分;3二、如何學習高等數(shù)學?1.認識高等數(shù)學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2.學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學.一門科學,只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步.第一節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束華羅庚4謝謝觀賞2019-8-23給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒

(1596～1650)法國哲學家,數(shù)學家,物理學家,他是解析幾何奠基人之一.1637年他發(fā)表的《幾何學》論文分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點,進而提出了“另外一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法”,從而提出了解析幾何學的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點.把幾何問題化成代數(shù)問題,作圖法,5謝謝觀賞2019-8-23華羅庚(1910～1985)我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻,發(fā)表專著與學術(shù)論文近300篇.偏微分方多復變函數(shù)論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生的成長非常關(guān)心,他提出治學之道是“寬,專,漫”,即基礎(chǔ)要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域.1984年來中國礦業(yè)大學視察時給給師生題詞:“學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng)”.6謝謝觀賞2019-8-23

三、高等數(shù)學的性質(zhì)與作用

高等數(shù)學是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的基礎(chǔ)理論課之一，它是理工科大學生必修的數(shù)學基礎(chǔ)理論課程，也是學習后續(xù)數(shù)學的必修課，還是學習其他專業(yè)的必修課。

高等數(shù)學的概念、理論和方法對于學生畢業(yè)后從事科學研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可缺少的內(nèi)容。同時也是參加具有選拔功能的水平考試的必備基礎(chǔ)。

通過本課程的教學，使學生掌握較完整的高等數(shù)學基本知識的同時，注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力、綜合運用能力和數(shù)學語言及符號的表達能力。結(jié)合習題課、課后作業(yè)、考試等相關(guān)教學環(huán)節(jié)提高學生綜合運用基本概念、基本理論、基本方法分析問題和解決問題的能力，并逐步培養(yǎng)學生科學求實、嚴謹準確的作風。通過本課程教學，與其它數(shù)學基礎(chǔ)課共同達到全面提高學生數(shù)學素質(zhì)的目的。笛卡兒目錄上頁下頁返回結(jié)束7謝謝觀賞2019-8-23第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—

研究對象—

研究方法—

研究橋梁函數(shù)、極限、連續(xù)8謝謝觀賞2019-8-23

第一章二、函數(shù)一、集合機動目錄上頁下頁返回結(jié)束§1

函數(shù)9謝謝觀賞2019-8-23元素a

屬于集合

M,記作元素a

不屬于集合M

,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10謝謝觀賞2019-8-23表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合和有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11謝謝觀賞2019-8-23無限區(qū)間半開區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結(jié)束閉區(qū)間12謝謝觀賞2019-8-23點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:13謝謝觀賞2019-8-23主講教師：陳殿友總課時：124

第二講

函數(shù)的概念高等數(shù)學14謝謝觀賞2019-8-23二、函數(shù)1.函數(shù)的概念

定義2.設有兩個變量x和y，如果對于x所考慮范圍內(nèi)的每一個值，y按一定的規(guī)則對應著一個確定的值，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x).

定義3.對于自變量x變化范圍內(nèi)的每一個值x0，函數(shù)y有一個確定的值y

0與之對應，我們稱函數(shù)在點x0處是有定義的，使函數(shù)有定義的全體的點的全體（也就是x的變化范圍）稱為函數(shù)的定義域。定義域自變量因變量15謝謝觀賞2019-8-23f(D)稱為值域函數(shù)圖形:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束16謝謝觀賞2019-8-23(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束17謝謝觀賞2019-8-232.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱

說明:

還可定義有上界、有下界、無界(見上冊P11)

例如函數(shù)f(x)=sinx在（-∞，+∞）內(nèi)是有界的，數(shù)1就是它的一個上界，數(shù)-1就是它的一個下界。為有界函數(shù).在I

上有界.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.|sinx|≤1

又如對于任一實數(shù)x都成立，故函數(shù)f(x)=sinx

（-∞，+∞）內(nèi)是有界的.這里的M=1（當然也可以取大于1的任何數(shù)M而使|f(x)|≤M成立）.18謝謝觀賞2019-8-23

例如f(x)=x2在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞增的，而在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)遞減的.在區(qū)間（-∞，+∞）上不是單調(diào)的.

又如，函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)單調(diào)性當

時,稱為I

上的稱單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).為I

上的19謝謝觀賞2019-8-23(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記機動目錄上頁下頁返回結(jié)束20謝謝觀賞2019-8-23又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記機動目錄上頁下頁返回結(jié)束21謝謝觀賞2019-8-23(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束22謝謝觀賞2019-8-23主講教師：陳殿友總課時：124

第三講

函數(shù)的概念高等數(shù)學23謝謝觀賞2019-8-233.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)習慣上,的反函數(shù)記成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):

設函數(shù)y=f(x),當變量x在一個區(qū)域Df內(nèi)變化時，變量y在區(qū)域Rf內(nèi)變化，如果對于變量y在區(qū)域Rf內(nèi)任取一個值y0，變量x在區(qū)域Df內(nèi)有x0，使y0=f(x0),則x變量是y變量的函數(shù),用表示，函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).24謝謝觀賞2019-8-232)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)25謝謝觀賞2019-8-23(2)復合函數(shù)則

兩個函數(shù)的所謂復合，實際上就是中間變量介入自變量到因變量的變化過程.設有如下兩個函數(shù)稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù):函數(shù)但函數(shù)不能構(gòu)成復合函數(shù)

.可定義復合26謝謝觀賞2019-8-23機動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復合函數(shù).例如,可定義復合函數(shù):27謝謝觀賞2019-8-234.函數(shù)的運算：加法，乘法，商。

設函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D=D1∩D2≠則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:和(差)f±g:（f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;積f.g：（f.g)(x)=f(x).g(x),x∈D;商28謝謝觀賞2019-8-23例：設函數(shù)f(x)的定義域為(-l,l)，證明必存在的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).證先分析如下：假如這樣的g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x).于是有f(－x)=g(－x)+h(－x)=g(x)－h(huán)(x).29謝謝觀賞2019-8-23利用（１）﹑（２）式，就可作出們作如下證明：作這就啟發(fā)我則g(x)+h(x)=f(x).且30謝謝觀賞2019-8-235.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學,P17–P21)機動目錄