1、PAGE PAGE 9說明：本次觀課議課，我們選用了自己的課例，主要出于講出自己理解的思考，無論是話題選擇還是課例選擇，都完全是自己的，這樣便于表達真正的自我，不足是沒有視頻看，所以我們盡可能采用了PPT投影，把我們要表達的直觀呈現，希望大家能夠理解。兩個課例，根據時間，決定講一個還是兩個。低年級數學教學如何上出“數學味”“數學味”是數學學科的本質，數學課堂最終靠什么吸引學生？要靠數學知識本身的魅力。有人認為，低年級數學內容簡單，上不出應有的“數學味”，好像低年級數學教學人人都會，沒有專業性可言，于是，我們在安排課務時，低年級數學課成了老弱病殘教師的療養科目，在我們許多老師的視野內，低年級數學

2、教學，成為含金量最低的科目。事實真的如此嗎？讓我們用具體的課例作出回答：計算課，不能僅止步于“會”算兩位數減兩位數（退位）教學設計及反思兩位數減兩位數（退位）筆算，是蘇教版教材一年級最后一課。與以往的學習內容相比，豎式計算時首次運用了計算輔助符號小圓點，其基本意義有三點：第一是表示“個位上不夠減”這樣一個判斷過程；第二表示個位上已經加10這樣一個計算過程；第三表示十位上已經減1，而且只能減1這樣一個計算過程。這么豐富的內涵，教材限于篇幅，不可能完全展開，學生看書只能看到豎式這么一個現成結果，最多只能按照教材中的思路，回答出個位上0減6不夠減，怎么辦？之類的問題，一般不會把小圓點作為一個新出現的

3、符號而特別關注，更不可能把列豎式前的用小棒擺、用計數器撥等操作過程與豎式怎么列？緊密聯系起來。一般家教輔導，也是教學生模仿教材的形式：個位不夠減，向十位退1作10。會簡單模仿，表示學生已有所了解，但不能代替老師的教，因為我們不能僅局限于會算，同時也要著力于理解為什么這么算，盡可能讓學生自己發現怎么算，在自主發現過程中主動理解為什么這么算，發展創造意識與能力，培養多方面的數學素養。再來讓我們了解一下學情：學生在擺小棒或撥計數器時，最容易犯的錯誤是從十位算起；書寫時最容易弄錯的是書寫順序的混亂，譬如先寫個位上的得數，再在十位上面畫小圓點，這是學生思路不清的一個表現。筆算減法首先要從個位減起，個位相

4、減時存在夠減與不夠減兩種情況，所以首先有一個思維判斷的過程，如果不夠減，要從十位上退1，轉化成十幾減幾，這種看不見的內部操作是鍛煉學生思維的載體，也是數學學習的困難所在。不僅需要算，更需要先思。算與思已經交織在一起，對動腦的要求大大加強，對多種感官參與學習的要求也是大大加強，這是學習重難點的根本所在。基于以上思考，我們本課的教學目標就不能僅僅停留在會算的層面，而應該讓學生自主探索計算過程，建構屬于自己的豎式模型，提高計算能力，這是本課的第一個目標；第二個目標是在探索建構的過程中樹立學好數學的自信心，學會用符號表示思考過程，規范數學表達，促進思維能力的提高；第三個目標發展學生的數感，積累計算的活

5、動經驗，感悟計算過程中轉化、對應等數學思想。怎樣落實上述三個方面的目標呢？首先，充分發揮操作在探究算法過程中的不可替代作用。學生對“兩位數減兩位數（退位）”這樣過程比較復雜的計算，方法的掌握需要建立在強大的操作活動的基礎上，沒有操作的支撐，學生不容易真正理解算理，也不能真正建構起屬于自身的算法過程，所以各種不同版本的教材，都安排有操作學具的活動，其出發點正是基于學生的年齡特征和學習心理。蘇教版教材安排了兩種操作活動，一是擺小棒，一是撥計數器。擺小棒，拆開一捆小棒就是10根，容易發現個位上最終是十幾減幾，十位上是幾減幾；而撥計數器，更接近于豎式計算，但十位上撥去一顆珠子，就要在個位上同時撥上10

6、顆珠子，對十進制計數法的特點體現得更加明顯，更容易幫助學生理解“退1作10”這一退位減法的核心。所以我們一般先擺小棒，再撥計數器。在操作學具活動中，一方面我們要充分利用這兩種操作活動，讓學生真正經歷完整的操作過程，不能把操作僅僅當作一種豎式計算的驗證，而作為一種實實在在的探究，使操作成為豎式計算的一種動作化思維，成為理解豎式計算過程的強大的形象支撐；同時在建構豎式模型的過程中，要不斷讓模型得到操作的關照，操作是模型的基礎，模型是操作的升華，相互相成，相得益彰。其次，從反思的視角明晰小圓點的意義及其使用條件，讓小圓點成為一種自覺而不是簡單的模仿。在過程中學會用符號表達思考，規范數學表達，發展數學

7、思維。在學生初步建構起豎式模型后，通過追問的形式，讓豎式模型再一次回到操作的關照中。豎式中“小圓點”是我們以前沒有的，那么這個小圓點表示什么意義呢？圍繞“小圓點”這一本課的關鍵，使其成為學生關注的焦點。這個焦點有三層意義，前面已有解釋不再重復。進一步追問：我們什么情況下使用這樣的“小圓點”，突出小圓點的使用條件，也就是退位減法與不退位減法的本質區別，使學生明確：不是今天學退位減法，就所有的題都加小圓點，以前學習不退位減法，所有的題都不加小圓點；將來，當退位、不退位減法混在一起時，就再也弄不清楚什么情況下使用小圓點。是因為個位相減時不夠減，我們才需要在十位上加這么一個小圓點，提醒我們十位上已經退

8、1，個位上就要加10。通過這樣的反思，對小圓點來一次全面清晰的認識，小圓點的使用不再僅僅是一種簡單的模仿，而是一種出自思考過程與結果的自然表達。在以學為主的課堂上，學生成為學習的真正主人，但教師的作用不是削弱了，而是加強了，在哪里加強。第一、要在規范表達上加強。數學是嚴謹的，無論是操作還是表達，都有數學本身一套嚴謹、嚴密的邏輯體系，它與學生的思維特點，年齡特征并不是完全吻合的，這時教師該出手時就要出手，在學生剛入門時就要幫助學生領進正門，這樣才能真正促進學生思維的發展與數學素養的切實提高。譬如，對于5026，在操作計數器時，先撥去十位上的“1”還是先撥去十位上“2”是有本質區別的；對于十位上撥

9、去1后，個位上直接撥上4還是先撥上10，再撥去6，本質上應該是一樣的，只不過把后面的兩個動作連貫而成了，而對于4327，我們需要的恰恰是連貫的動作；再譬如，對于豎式的書寫順序，是先點小圓點，還是先寫個位上的得數，也是有本質區別的，我們應該是先點小圓點，再寫個位上的得數。操作過程是這樣，基于操作的表達也是這樣。第二、課堂學習是學習的一種生態，學生成為學習的主人，需要教師創造條件，讓學生在適宜的土壤、陽光、水份中自由地生長。再次，計算能力的提高，不能單純為了計算而計算，不能一味靠重復強化，需要結合實際數學問題的解決；需要結合發展數感，積累數學活動經驗、感悟數學思想，通過綜合素養的提升，讓計算能力提

10、高有更雄厚的數學素養的滋養；需要適度順向強化，也需要必要的逆向推理，讓計算始終得到思維的關照。為此，我們在鞏固環節，要注意形式的變化，把上述幾個方面的意圖得到體現。【板塊一】師：同學們，我們先來熱身一下。1. 開火車：直接報出得數。129=3 159=6 119=2 169=7 138=5 157=8 145=9 126=6 526=46 768=68師：說說768怎么算？76分成60和16,16減8等于8，60+8=68。追問：為什么不分成70+6。【一個兩位數分成幾十加多少，要根據減數來確定，這一點口算與筆算是相通的，這里的追問為退位筆算打下伏筆。無論是口算還是筆算，其包含的數學思想是相通

11、的，那就是把幾十幾減幾十幾轉化成十幾減幾、幾十減幾十。】口算不錯，再來練練筆算。2. 用豎式計算（每一排左邊的同學做左面一題，右邊的做右面一題，請兩位同學寫到黑板上）。 4321 5926師：我們評價一下，左邊的一題做得怎樣？右面的呢？筆算時要注意什么？數位對齊，從個位算起。【不管是退位還是不退位，其筆算的順序是一致的，而與口算的順序是不同的。筆算是從個位算起，而筆算是從高位算起。這里復習筆算，可以為退位筆算找到合適的生長點。】筆算也不賴。3.師：接下來讓我們看一幅圖，小星、小梅都是喜歡收集郵票的同學，你能根據圖中的信息，提一個用減法計算的問題嗎？算式怎么列？教師板書：5026，師：這就是我們

12、今天要學習的內容：兩位數減兩位數（板書課題）。【板塊二】5026等于多少呢？。師：小組合作：先用小棒擺一擺或用計數器撥一撥，再想想用豎式怎樣計算。師：哪一個小組到前面匯報。師：可以這樣開始說：我們用小棒是這樣擺的50減26，個位上0減6不夠減，先拆開一捆小棒，表示從十位退1，到個位上作10，個位上10減6等于4，十位上5退1后剩4，4減2等于2，50-26=24。追問：有什么問題想問問他們嗎？為什么要把一捆小棒拆開？（因為個位上0減6不夠減，所以從十位退1作10，拆開一捆，變成10根。）師：個位不夠減時，我們應該從十位退1作10。師：為了讓我們看得更清楚，再看一看課件演示過程。師：有沒有哪一個

13、組用計數器撥的？到前面補充。師：可以怎樣開始說呢？我們用計數器是這樣撥的50減26，個位上0減6不夠減，先從十位上撥去一顆珠子，個位上撥上10顆珠子，個位上10減6等于4，十位上4減2等于2，50-26等于24。追問：有什么問題想問問他們嗎？師：從個位開始減，為什么先要從十位上撥去一個珠子？（個位上0減6不夠減，先從十位上撥去一顆珠子，個位上撥上10顆珠子，這樣就夠減了。）【讓學生完全充分地操作，這是理解退位減法算理的基礎，同時操作、表達、思維協同發展，不但有怎么操作的過程，更有為什么這樣操作的思考；不但有外顯的動作結果，也有內隱的語言表達；不但有擺小棒，還有撥計數器。不同的操作相互補充，不同

14、層次的學生相互補充，真正幫助學生從感性形象入手，確保每個學生都能從動手操作的過程中真正獲得屬于自己的形象支撐。學生的智慧來自于指尖，同時這樣的智慧能有效地促進數學的思維。學生在自主建構的過程中，需要這樣的操作，也需要這樣的表達，還需要這樣展示的舞臺，以飛揚各自的個性，檢驗操作的成果，分享操作的智慧，感受操作過程中的數學思想怎樣轉化，把不夠減轉化成構建。】師：誰來評價一下剛才小組的表現。師：上臺展示的小組表現真好，讓我們表揚一下。師：同學們剛才擺小棒、撥計數器的過程，用豎式又怎么寫呢？老師聽你的，你說，老師寫。讓學生說完整。有什么問題想問嗎？老師有這么幾個疑問，追問：這個小圓點表示什么意思？（退

15、1作10，說具體，表示十位上減1，變成4減2，個位上加10，變成10減6）什么情況下使用這樣的小圓點？這個小圓點相當于擺小棒時的哪一步？撥計數器時的哪一步？誰能把豎式的計算過程完整地說一說？【在理解退位減法算理的過程中，我們不但需要做實操作，更需要跨越操作，讓思維脫離具體的小棒、算珠，從更一般的意義上把握其中的數學內涵。在學生初步建構起豎式模型后，小圓點意義的建構還需要回頭看，通過回頭看，讓小圓點的意義得到進一步的確認，并得到升華，這是意義建構過程中關鍵的慢鏡頭。這個小圓點相當于擺小棒時的哪一步？撥計數器時的哪一步？這時操作的意義得到了自然的升華。這是本節課的數學味之所在，也是有教師教與沒有教

16、師教的區別之一。】5026大家都會算了，老師把4321 改成4327，你們還會算嗎？完成書上的試一試。師：誰寫到黑板上。師：寫得怎樣，你能把計算過程完整地說一遍嗎？師：我們可以這樣敘述計算過程。同桌互相說一說。師：仔細觀察一下，今天學習的兩位數減兩位數，跟前面學習的兩位數減兩位數，有什么不同？所以我們特別要注意什么？【板塊三】師：讓我們用剛才學到的方法完成想想做做1。展示學生的作業，注意收集錯誤作業，正好改錯。師：看第1題，說來說一說計算過程。師：如果這樣寫，錯在哪里？2. 陳老師帶40元，想買一個書包，夠嗎？你是怎么判斷的？還有不同的想法嗎？如果老師不算，先判斷得數是幾十多，因為5015得數

17、是三十多，三十多小于40，所以夠，這樣可以嗎？看來在解決實際問題時，我們可以列豎式算出得數，再比較；也可以先判斷得數是幾十多，再比較。3.剛才是老師出題，其實我們也可以自己出題，自己解答，編一道得數是十幾的減法算式。同桌互改。老師也出了幾題，但有些數藏在方框里，你能找出來嗎？最后一題，一共有幾種填法？分成幾類？片段二剛才是老師出題，其實我們也可以自己出題，自己解答，下面請同學們編一道得數是十幾的減法算式，做完后讓同桌批改。展示學生的作業。師：老師也出了幾題，但有些數藏在方框里，你能找出來嗎？展示老師出的題（出示下圖1）。（2）生1：方框中的數是3。師：怎么想到的？生2：5上面有小圓點，表示十位

18、上剩下4，4減3等于1，所以方框中應該是3。生3：我贊同。師：出示上圖2。生4：我認為老師題出錯了。因為43即使退位，也只能退1，4退1剩3，3減1不可能等于1。師：真了不起，還能發現老師出題中的錯誤。那怎么改就可能正確了呢？生5：把4改成3。師：這時方框中填幾？生5：方框中是7，3317=16。生6：也可以把減數十位上的“1”改成2，這時方框里也填7，4327=16。師：看來這個小圓點表示退位時，只能表示退1。【如何幫助學生提高計算能力，我們一般的做法是學生初步掌握算法后就讓學生反復的“練”，但一味地要求學生練習老師出的規范的同一面孔的題，練習的積極性不會很高，這里老師讓學生自己出題，自己練

19、，完全把學生當成練習的主人，練習的積極性高就在情理之中，同時為了幫助學生鞏固對退位的認識，采用知道被減數與差，倒退減數的策略，讓對退位的認識得到充分的顯現，且有能算的，有不能算的，真正鍛煉學生對退位的完整認識，把計算能力與培養學生的數感有機地融合。這是本課數學味的第二個亮點。數學味的本質是調動主動參與學習的積極性，讓學生高認知地參與學習，而不是簡單模仿。】【板塊四】談話：這節課學習了什么內容。讓我們一起回顧學習過程，在剛才的學習過程中你有什么感悟？【板塊五】補充習題第51頁第2、4題。總結數感培養的關鍵期在第一學段，數感培養是貫穿整個數與代數領域學習的基本線索。數感更確切地說，就是“數的意識”

20、，就是具體問題中數與數之間關系的一種認識，核心是數的大小關系，數的意識的培養必須通過解決具體問題來實現，譬如，在兩位數減兩位數的退位減法中，被減數個位上的數一定要小于減數個位上的數，這樣才需要退位，同時被減數十位上的數減去1以后，再減去減數十位上的數，才等于差十位上的數，這里有一種特例要關注，如果兩位數減兩位數，差是一位數，如果不退位，那么兩個數十位上的數字相同，如果退位，那么被減數十位上的數字比減數十位上的數字多1。如果在計算時，能夠有意識地關照到這些，那么計算能力與數的意識同步發展，事半功倍，而一味地單純地練習計算，不從培養數的意識的角度關注計算，不但學生對數學的情感得不到激發，同時計算能

21、力的提高因缺乏挑戰，而不能得到質的提升。其次讓我們回顧本課數學活動經驗的積累，數學思想方法的感悟。解決問題，需要計算，更需要判斷，且判斷常常發生在計算之前，這是不退位減法中不曾擁有的經驗，引申開來，做簡單的計算題，同樣需要判斷、推理等一系列思維活動的廣泛參與，而不僅僅是按程序機械計算，上述練習2實際問題的解決，也包含有這樣的考量，讓學生積累這樣的經驗，那么數學學習就有了靈性。這里的數學思想很明顯有轉化的數學思想，包含兩層轉化，一是兩位數減轉化成兩次一位數相減；二是不夠減轉化成夠減。轉化中又有對應的數學思想，個位與個位上的數相減，結果相應地寫在個位上；十位與十位上的數相減，結果相應地寫在十位上；

22、十位上的“1”退到個位上就要相應地作10。這些數學思想，都是正確計算所必需的，是簡單地自學課本，感悟不到或體會不深的。數學思想是數學學習的靈魂，靈魂常常是隱藏得很深，不容易被發現的，但感悟還是不感悟這樣的靈魂，常常決定了數學學習是否具有靈性。在教學中我們不是要強加給學生一個個抽象的名詞，而是要讓學生真真切切地感悟到其中隱藏的道理，這樣的道理就是數學問題解決中常用到的數學思想。豐富習題的數學意義 從一道復習題的教學片斷說起教材上的習題往往蘊藏著深刻的數學內涵。教學時，教師要發揮自身的創造性與能動性，更多地關注“數學化”過程，從而豐富習題的數學意義。要在智慧與親和之間尋求和諧，努力創造適合兒童的數

23、學情境，讓學生的體會更豐富更厚實。蘇教版二年級（上冊）在乘法口訣和口訣求商（二）的單元復習中安排了這樣一道習題： 顯然，這道習題蘊藏著深刻的數學內涵。那么，如何讓學生感受習題更豐富的數學意義呢？下面就幾個教學的片段與大家做一些深層的思考。【片段實錄】1.體會算式“有生命”，在創造中探究。學生先獨立完成，再逐組題交流、校對。師：我知道，大家一定每做完一組題就有話要說，說說吧。生1：我發現每組兩道題的得數一樣。生2：我知道為什么它們的得數一樣，因為3可以拿出1給1，這樣1+3就變成2+2了，2個2相加也可以寫成22。生3：我也可以舉個例子，1+3+5，可以讓5借2給1，這樣就是3個3相加，也就是3

24、3。師：誰聽懂了？也能來舉例說說嗎？生：我聽懂了。我們看第三組，5分1給3，7分3給1，這樣就是4個4相加了，也就是4416。師：太了不起了，每個算式都是有生命的，都可以根據我們的需要變化！那誰也能創造出一組這樣的算式呢？ 4人小組可以商量商量，說說自己的想法。（小組討論后交流。）生1：我們創造了這樣一組算式1+3+5+7+925，5525。生2：我們還可以創造1+3+5+7+9+1136，6636。生3：還可以寫1+3+5+7+9+11+1349，7749。2.運用算式的“有生命”，在驗證中發現。生1：老師，我發現一個秘密，上面的加法算式都是從1開始的一些單數，下面乘法的兩個乘數相同。生2：

25、而且我還發現，加數有幾個，就是幾乘幾。師：你能具體解釋解釋嗎？ 生2：1+3+5是3個加數，就是33，1+3+5+7是4個加數，就是44。師：真的有這樣的秘密？認真觀察，然后在4人小組里互相說說，看看有沒有這樣的秘密。學生紛紛發言表示確實有這樣的秘密，顯得特別興奮。師：這么說，你們認為1+3+5+7+9+11+13+15+17會等于幾乘幾呢？學生自覺地數了起來，然后齊喊：99。師：我不太相信，能算算嗎？學生算出1+3+5+7+9+11+13+15+1781，99=81。師：看來大家發現的秘密還真行！那么，881+3+5+該加到幾啊？生（齊）：1+3+5+7+9+11+13+15。師：為什么停了

26、？生：滿8個了。師：我們剛才從簡單的三組題開始，發現了很多，靜靜地想想自己的收獲吧。（教室里特別安靜，學生們沉思著，突然有一人舉起了小手。）3.由此及彼，提出新的研究。生：老師，如果是雙數連著加起來也會有這些秘密嗎？師：由一個問題想到了另一個問題，太讓老師感動了！可老師也不知道答案，大家說怎么辦呢？生：老師，我們可以試試呀！師：太棒了！那我們就舉例試試吧。生1：2+46，不能寫成兩個相同的數相乘。生2：2+4+612，也不能寫兩個相同的數相乘。生3：我發現可以寫乘法的，2+46，236；2+4+612，3412。（受到生3的啟發，其他學生紛紛舉手爭著要發言。）師：先不忙下結論，4人小組趕快討論

27、討論，再舉例試試，看看真的是這樣嗎？【教學反思】也許孩子們的“發現”在我們看來微不足道，表達也不是那么嚴密，但在上述片段中卻給予了教師毫不掩飾的感動。學生剛學完19的乘法口訣，坦白地說，做這個習題之前，并沒有太多太高的期望。但習題本身豐富的數學內涵，驅動著我創造性地解讀教材，并更多地關注“數學化”過程，盡可能散發出更多的“數學味”。認真教過這個習題的老師都有體會，學生做完習題很容易發現每組的兩道題結果相等，但想要更深入地讓學生發現規律卻不容易。于是，教師們通常的處理方法是：引導學生發現“和相等”；關注加法算式的特點；關注乘法算式的特點。表面上看，學生似乎應該算“對此有所體會”了，但細究一下呢？

28、這里的體會缺少了最關鍵的一步：加法算式與乘法算式之間的聯系！而這正是“和相等”的落腳點，正是為什么相等、怎樣才相等的關鍵。所以，在上面的教學中，教師把學生“體會”的重點放在“為什么相等”與“怎樣才相等”這兩個關鍵處。對于二年級的學生來說，理解如此抽象的數學意義，難度是可想而知的。本著這樣的思考，教師用“每個算式都是有生命的，都可以根據我們的需要變化”這樣富有童趣的語言表達加法算式與乘法算式之間的聯系，學生也在“變化”中生動地體會兩者之間的關系：1+3+5，可以讓5借2給1，這樣就是3個3相加，也就是33。鄭毓信先生在數學文化學一書中指出：“數學應主要地被看成為人類的一種創造活動。”每每讀鄭老這

29、句話，總覺得說起來容易做起來難。“創造”該是多么神圣的詞語與多么高端的行為！可是看完這個片段，不禁讓人恍然大悟：“創造”不需要刻意地索取什么，教師要做的只是將靜態的文本數學轉化為教育形態的數學，將學科數學進一步轉化為兒童數學。“誰聽懂了？也能來舉例說說嗎？”“可老師也不知道答案，大家說怎么辦呢？”看似平實的話語，關注的是學生的真實體驗，表達的是教師內心深處對學生潛能的承認和激發，給學生提供的是一個思考的機會，一個交流的空間，一個平等和諧的氛圍。上面教學片斷中，在學生舉例說出自己的一些發現后，教師及時地提出：誰也能創造出一組這樣的算式呢？也許，此 “創造”不是鄭老所說的“創造”，但通過創造出新的一組算式，卻能讓學生的“體會”外化，是學生對內心“體會”的另一種表達方式。通過“創造”，可以讓這種“體會”更加地豐富與厚實。但畢竟這樣的體會讓孩子有些戰戰兢兢、猶豫不決，因此教學隨后進行的驗證也就順理成章的了。孩子們在驗證中進一步真實地體會著，在體會中更多地收獲著、驚喜著教學一定不僅僅是幫助學生解疑，更重要的是促使學生“生疑”！顯然，上面的教學片段并不滿足于學生的“體會”，更想激起一些思考！而學生能由“單數”相加想到“雙數”相加，著實讓人贊賞！贊賞的理由之一：能自己發現并提出有思考價值的問題，就如我們成人發現一個有意義的研究課題一般，