1、17.1曲線與方程 知識清單1曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線上的點與一個二元方程的實數解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線.曲線既可以看作是符合某種條件的點的集合，又可以看作是滿足某種條件的動點運動的軌跡，因此，此類問題有時也叫做軌跡問題.2求動點的軌跡方程的步驟(1)建系建立適當的坐標系；(2)設點設軌跡上的任一點；(3)列式列出動點所滿足的關系式； (4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為的方程式，并化解；(5)證明證明所求方程即為符合條

2、件的動點軌跡方程.3曲線的交點兩曲線與的公共點坐標是方程組的解，方程組有幾個解，兩曲線就有幾個公共點；若方程組無解，兩曲線就沒有公共點.4判斷直線與圓錐曲線的位置關系時，通常將直線的方程（、不同時為0）代入圓錐曲線的方程.消去（也可以消去）得到一個關于變量（或變量）的方程，即消去（或）后得（或）.(1)當時，則有，直線與曲線相交；，直線與曲線相切；，直線與曲線 eq oac(,1) 相離 .(2)當時，即得到一個一次方程，則與相交，且只有一個交點，此時，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對稱軸的位置關系是 eq oac(,2) 平行 .5連接圓錐曲線上兩個點的

3、線段稱為圓錐曲線的弦.直線，曲線，與的兩個不同的交點、，則是方程組的兩組解.方程組消元后化為關于（或者）的一元二次方程.判別式，應有.所以是方程的解.由根與系數的關系（韋達定理）求出.所以、兩點間距離為，即弦長公式.也可以寫成關于的形式，其弦長公式為 eq oac(,3) .6已知弦的中點，研究的斜率和方程.(1) 是橢圓的一條弦，中點坐標為，則的斜率為.運用點差法求的斜率，設、都在橢圓上，兩式相減得，.即.故(2)運用類比的方法可以推出：已知是雙曲線的弦，中點，則； 已知拋物線的弦的中點，則.突破方法方法 求軌跡方程的常用方法例 (2011廣東,19，14分)設圓與兩圓中的一個內切，另一個外

4、切.(1)求的圓心軌跡的方程.(2)已知點，且為上動點.求的最大值及此時點的坐標.解題思路 （1）利用圓與圓的位置關系，得圓心滿足條件，再利用定義法求解.（2）就點是否共線討論，求出的值，再比較進而確定點坐標.解析 設兩已知圓的圓心分別為，對應的半徑分別為，則.于是有，故此兩已知圓相離.(1)設圓的圓心，半徑為，由題設知：，于是有或，即圓心的軌跡是以為焦點，4為實軸長的雙曲線,的方程為，即.(2)由(1)及題設知：恰為雙曲線的右焦點，在兩支之間，且；當點、不共線時，；當點、共線時，直線的方程為，即.由知，得或若在軸上方有，得，若在軸下方有.的最大值為2；此時點的坐標為.【方法點撥】求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系“翻譯”成含、的等式就得到曲線的軌跡方程.由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法.(2)定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動點的軌跡方程.(3)幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質（如線段的垂直平分線，角平分線的性質等），可以用幾何法，列出關系式，再代入點的坐標較簡單.(4)相關點法：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）的運動而運動的.如果相關點所滿足