1、5/5高二數學教案：最小二乘估計教案教學目標：1、掌握最小二乘法的思想2、能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程教學重點：最小二乘法的思想教學難點：線性回歸方程系數公式的應用教學過程回憶：上節課我們討論了人的身高與右手一拃長之間的線性關系 ,用了很多種方法來刻畫這種線性關系 ,但是這些方法都缺少數學思想依據。問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些?想法：保證這條直線與所有點都近(也就是距離最小)。最小二乘法就是基于這種想法。問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效?設直線方程為y=a+bx ,樣本點A(xi ,yi)方法一、點到直線的距離公式方法二、顯然方法二能有效地表示

2、點A與直線y=a+bx的距離 ,而且比方法一更方便計算 ,所以我們用它來表示二者之間的接近程度。問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度?例如有5個樣本點 ,其坐標分別為(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3 ,y3) ,(x4 ,y4) ,(x5 ,y5)與直線y=a+bx的接近程度：從而我們可以推廣到n個樣本點：(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(xn ,yn)與直線y=a+bx的接近程度：使得上式到達最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線 ,這種方法稱為最小二乘法問題4、怎樣使 到達最小值?先來討論3個樣本點的情況設有3個點(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3

3、 ,y3) ,那么由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：整理成為關于a的一元二次函數 ,如下所示：利用配方法可得從而當 時 ,使得函數 到達最小值。將 代入式 ,整理成為關于b的一元二次函數 ,同樣使用配方法可以得到 ,當時 ,使得函數 到達最小值。從而得到直線y=a+bx的系數a ,b ,且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數：其中由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。例題與練習例1 在上一節練習中 ,從散點圖可以看出 ,某小賣部6天賣出熱茶的杯數(y)與當天氣溫(x)之間是線性相關的。數

4、據如下表氣溫(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1杯數(yi)/杯 20 24 34 38 50 64(1) 試用最小二乘法求出線性回歸方程。(2) 如果某天的氣溫是-3 oC ,請預測可能會賣出熱茶多少杯。解：(1)先畫出其散點圖i xi yi xi2 xiyi1 26 20 676 5202 18 24 324 4323 13 34 169 4424 10 38 100 3805 4 50 16 2006 -1 64 1 -64合計 70 230 1286 1910可以求得那么線性回歸方程為y =57.557-1.648x(2)當某天的氣溫是-3 oC時 ,賣出熱茶的杯數估計為：

5、練習1 x ,y之間的一組數據如下表 ,那么y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 ( D )x 0 1 2 3y 1 3 5 7(A)(2 ,2) (B)(1.5 ,0) (C)(1 ,2) (D)(1.5 ,4)練習2 某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：商店名稱 A B C D E銷售額(x)/千萬元 3 5 6 7 9利潤額(y)/百萬元 2 3 3 4 5(1) 畫出銷售額和利潤額的散點圖;(2) 假設銷售額和利潤額具有相關關系 ,計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。解：(1)(2)數據如下表：i xi yi xi2 xiyi1 3 2 9 62 5 3

6、25 153 6 3 36 184 7 4 49 285 9 5 81 45合計 30 17 200 112可以求得b=0.5 ,a=0.4線性回歸方程為：小結1、 最小二乘法的思想2、 線性回歸方程的系數：“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼 ,從最初的門館、私塾到晚清的學堂 ,“教書先生那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業。只是更早的“先生概念并非源于教書 ,最初出現的“先生一詞也并非有傳授知識那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食 ,先生饌；?國策?中的“先生坐 ,何至于此？等等 ,均指“先生為父兄或有學問、有德行的長輩。其實?國策?中本

7、身就有“先生長者 ,有德之稱的說法。可見“先生之原意非真正的“教師之意 ,倒是與當今“先生的稱呼更接近。看來 ,“先生之根源含義在于禮貌和尊稱 ,并非具學問者的專稱。稱“老師為“先生的記載 ,首見于?禮記?曲禮? ,有“從于先生 ,不越禮而與人言 ,其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識者 ,與教師、老師之意根本一致。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩固了所學的材料,又鍛煉了學生的寫作能力,同時還培養了學生的觀察能力、思維能力等等,到達“一石多鳥的效果。作業：P60 習題1-8 第1題課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可。可以寫在后黑板的“積累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學生輪流講解,也