1、課時訓練19空間向量與空間角1.直線l1,l2的方向向量分別是v1,v2,假設v1與v2所成的角為,直線l1,l2所成的角為,那么().A.=B.=-C.cos =|cos |D.cos =|cos |答案:D2.A,P,平面的一個法向量n=,那么直線PA與平面所成的角為().A.30B.45C.60D.150答案:C解析:設直線PA與平面所成的角為,那么sin =|cos|=.=60.3.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1B1和BB1的中點,那么直線AM與CN所成角的余弦值為().A.B.C.D.答案:D解析:如圖,建立坐標系,那么A(1,0,0),M,C

2、(0,1,0),N,.cos=.4.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,假設AB=BB1,那么AB1與C1B所成的角的大小為().A.60B.90C.105D.75答案:B解析:取AC的中點D,建立如圖坐標系,設AB=a,那么B,C1,A,B1.cos=0.AB1與C1B所成的角為90.5.如圖,過邊長為1的正方形ABCD的頂點A作線段EA平面AC,假設EA=1,那么平面ADE與平面BCE所成的二面角的大小是().A.120B.45C.135D.60答案:B解析:以A為原點,分別以AB,AD,AE所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如下列圖的空間直角坐標系,那么E(0,0,1),B(1,0,0

3、),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).設平面BCE的法向量為n=(x,y,z),那么有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量為=(1,0,0),所以cosn,=,故平面ADE與平面BCE所成的二面角為45.6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側棱BB1的中點,那么直線AE與平面A1ED1所成角的大小為().A.60B.90C.45D.以上都不對答案:B解析:以點D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖.由題意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,

4、0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).設平面A1ED1的一個法向量為n=(x,y,z),那么令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos=-1.所以=180.所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90.7.在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD為邊長是1的正方形,PA=2,那么AB與PC的夾角的余弦值為.答案:解析:由于()=1cos 45=1,又|=1,|=,cos,=.8.在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,那么直線BC與平面PAC所成的角為.答案:30解析:以O為原點建立空間直

5、角坐標系Oxyz,設OD=SO=OA=OB=OC=a,那么A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,從而=(2a,0,0),=(a,a,0).設平面PAC的一個法向量為n,可求得n=(0,1,1),那么cos=.所以=60.所以直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.9.在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中點,求平面EAC與平面ABCD所成角的正弦值.解:如下列圖,以A為原點,分別以AC,AB,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設PA=AB=a,AC=b.連接BD,與AC交于點O,取AD的中點

6、F,連接OF,OE,EF,AE,那么A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),所以D(b,-a,0),P(0,0,a),所以E,O,=(b,0,0).因為=0,所以.因為,所以=0,所以.因此EOF為平面EAC與平面ABCD所成的角.因為cos=,所以平面EAC與平面ABCD所成角的正弦值為.10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1DAN.(1)求cos;(2)求直線AD與平面ANM所成角的大小;(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的大小.解:(1)建立空間直角坐標系,如圖.=(5,2,4),=(0,8,-4),=0+16-16=0,.cos=0.(2)A1DAM,A1DAN,A1D平面ANM,=(0,8,-4)是平面ANM的一個法向量.又=(0,8,0),|=4,|=8,=64,cos=.