1、高中數學全程學習方略配套課件幾類不同增長的函數模型人教A必修1.了解和體會函數模型在社會生活及科研中的廣泛應用. 2.理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義以及三種函數模型的性質的比較.3.掌握常見增長函數的定義、圖象、性質，并能體會其增長的快慢以及應用. 1.本課重點是幾類不同函數模型增長的含義及差異.2.本課難點是怎樣選擇數學模型分析解決實際問題.1.三種函數模型的性質(1)指數函數解析式：_；單調性：在(0，+)上的增減性：_；圖象的變化：隨x增大逐漸與_軸平行.y=ax(a1)增函數y(2)對數函數解析式：_；單調性：在(0，+)上的增減性：_；圖象的變化：隨x增大逐漸與_軸平行.y=

2、logax(a1)增函數x(3)冪函數解析式：_；單調性：在(0,+)上的增減性：_；圖象的變化：隨_值不同而不同.y=xn(n0)增函數n2.三種函數的增長速度的比較函數y=ax(a1)、y=logax(a1)、y=xn(n0)在區間(0,+)上：(1)單調性:_函數；(2)增長速度：y=ax(a1)：隨著x的增大，y增長速度_，會遠遠大于y=xn(n0)的增長速度，y=logax(a1)的增長速度_；(3)存在一個x0,當xx0時，有_.增越來越快越來越慢axxnlogax1.函數y=x2與y=2x在(4，+)上哪一個增長得更快些？提示：由圖象可知.y=2x的增長速度遠遠快于y=x2的增長

3、速度.Oyx2 4 8y=x2y=2x16128422.在區間(0,+)上，當a1，n0時，是否總有logaxxnax成立？提示：不是，但總存在x0，使得當a1,n0，xx0時，logaxxnax成立.3.在函數y=3x，y=log3x，y=3x，y=x3中增長速度最快的是_.【解析】由各函數的增長差異可判斷出y=3x的增長速度最快.答案：y=3x1.三類函數模型的增長差異(1)對于冪函數y=xn，當x0，n0時，y=xn才是增函數，當n越大時，增長速度越快.(2)指數函數與對數函數的遞增前提是a1，又它們的圖象關于y=x對稱，從而可知，當a 越大，y=ax增長越快；當a越小，y=logax增

4、長越快，一般來說，axlogax(x0,a1).(3)指數函數與冪函數，當x0，n0，a1時，可能開始時有xnax，但因指數函數是“爆炸型”函數，當x大于某一個確定值x0后，就一定有axxn.2.三種函數模型的表達形式及其增長特點(1)指數函數模型：能用指數型函數f(x)=abx+c(a，b，c為常數，a0，b1)表達的函數模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數值增大的速度越來越快，常稱之為“指數爆炸”.(2)對數函數模型：能用對數型函數f(x)=mlogax+n(m，n，a為常數，m0，a1)表達的函數模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數值變化的越來越慢，常

5、稱之為“蝸牛式增長”.(3)冪函數模型：能用冪型函數f(x)=ax+b(a，b，為常數，a0，1)表達的函數模型，其增長情況由a和的取值確定，常見的有二次函數模型和反比例函數模型. 函數模型的增長差異【技法點撥】函數模型增長差異問題的處理技巧(1)處理的關鍵是確定變量間的關系，不能僅僅根據自變量較大時對應的函數值比較，還要看函數值的變化趨勢.(2)對數函數模型適合描述先快后慢，增長速度比較平緩的變化規律，指數函數模型適合描述先慢后快，增長速度急劇上升的變化規律，依據其規律可幫助快速的選擇函數模型.【典例訓練】1.某商品的價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來的價格

6、相比，變化的情況是( )(A)增長了7.84%(B)減少了7.84%(C)減少了9.5%(D)不增不減2.研究函數y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在0,+)上的增長情況.【解析】1.選B.設該商品原價為a，則四年后的價格為a(1+ 0.2)2(1-0.2)2=a1.220.82=0.921 6a，所以a-0.921 6a=0.078 4a=7.84%a，故變化的情況是減少了7.84%.2.分別在同一個坐標系中畫出三個函數的圖象(如圖),從圖象上可以看出函數y=0.5ex-2的圖象首先超過了函數y=ln(x+1)的圖象,然后又超過了y=x2-1的圖象,即存在一個x0滿足 -2

7、 =x02-1,當xx0時,ln(x+1)x2-10.5ex-2.y= -2Oyxy= x2-1y= ln(x+1)【思考】處理函數模型增長差異問題的關鍵是什么？提示：處理函數模型增長差異問題的關鍵是確定變量間的關系.【變式訓練】有一組數據如下表：現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，則其中最接近的一個是( )(A)v=log2t (B)v=(C)v= (D)v=2t-2t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01【解析】選C.取t=1.992，代入A,得v=log22=11.5，代入B,得v= =-11.5，代入C,得v= =1.5，代入D，得v=

8、22-21.5.同理取t=3.0代入可知C項最符合，故選C. 圖象信息遷移題【技法點撥】圖象信息題的解答策略(1)明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義(2)從圖象形狀上判定函數模型.(3)抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點(最大值點)、最低點(最小值點)及折線的拐角點等.(4)通過方程、不等式、函數等數學模型化實際問題為數學問題.【典例訓練】1.如圖，ABC為等腰直角三角形，直線l與AB相交且lAB，直線l截這個三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y，點A到直線l的距離為x，則yf(x)的圖象大致為四個選項中的( )2.如圖所示，折線是某電信局規定打長途電話所需要付的電話費y(元)

9、與通話時間t(分鐘)之間的函數關系圖象，根據圖象填空：(1)通話2分鐘，需付電話費_元;(2)通話5分鐘，需付電話費_元;(3)如果t3，則電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系式為_.【解析】1.選C.設ABa，則y ，其圖象為拋物線的一段，開口向下，頂點在y軸上方故選C.2.(1)由圖象可知，當t3時，電話費都是3.6元.(2)由圖象可知，當t=5時，y=6，需付電話費6元.(3)當t3時，y關于t的圖象是一條直線，且經過(3,3.6)和(5,6)兩點，故設函數關系式為y=kt+b，則解得故電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系式為y=1.2t(t3).答案：(1)3.

10、6 (2)6 (3)y=1.2t(t3)【互動探究】題2中的已知條件不變，若通話費用為4.5元，則通話時間是多少？【解析】由題2的解析結合圖象可知，當y=4.5元時，通話時間超過3分鐘，故電話費與時間滿足函數關系式y=1.2t(t3), 4.5=1.2t,t=3.75(分鐘).故若通話費用為4.5元時，通話時間為3.75分鐘.【思考】解決本題1,2的關鍵是什么？提示：(1)解決本題1的關鍵是根據條件建立面積y關于x的關系式;(2)解決本題2的關鍵是讀懂題目所給函數圖象，借助圖象處理問題.【變式訓練】(2012萬州高一檢測)“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡

11、了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點用S1,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則與故事情節相吻合的是( )【解析】選B.由于烏龜慢慢爬行可看作勻速運動，函數S1=f(t)，圖象是直線,兔子先跑后停再跑；函數S2=g(t)圖象是直線，且中間一段是與S軸垂直的；可排除C,最后根據烏龜先到終點知烏龜用時短，排除A、D，綜上知B吻合故事情節. 兩種方案的選擇【技法點撥】“四步走”解函數應用題第一步:閱讀、理解題意,認真審題.讀懂題中的文字敘述,理解敘述所反映的實際背景,領悟從背景中概括出來的數學實質.審題時要抓住題目中的關鍵量,善于聯想、化歸

12、,實現應用問題向數學問題的轉化.第二步:引進數學符號,建立數學模型.一般地，設自變量為x,函數為y,并用x表示各相關量,然后根據已知條件,運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式,將實際問題轉化為一個數學問題,實現問題的數學化,即所謂建立數學模型.第三步:利用數學方法將得到的常規數學問題(即數學模型)解答,求得結果.第四步:再轉譯成具體問題作出解答.【典例訓練】1.某公司為了適應市場需求，對產品結構做了重大調整調整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與產量x的關系，則可選用( )(A)一次函數 (B)二次函數(C)指數型函數 (

13、D)對數型函數2.某工廠生產某種產品,每件產品的出廠價為50元,其成本價為25元,因為在生產過程中平均每生產一件產品有0.5立方米污水排出,為了凈化環境,工廠設計兩套方案對污水進行處理,并準備實施.方案一:工廠的污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費2 元,并且每月排污設備損耗費為30 000元;方案二:工廠將污水排到污水處理廠統一處理,每處理1立方米污水需付14元的排污費.問:(1)工廠每月生產3 000件產品時,你作為廠長,在不污染環境,又節約資金的前提下應選擇哪種方案? 通過計算加以說明；(2)若工廠每月生產6 000件產品,你作為廠長,又該如何決策呢?【解析】1.選D.一

14、次函數保持均勻的增長，不符合題意；二次函數在對稱軸的兩側有增也有降；而指數型函數是“爆炸式”增長，不符合“增長越來越慢”，因此，只有對數型函數最符合題意，先快速增長，后來越來越慢2.解題流程.求值判斷下結論構造函數設工廠每月生產x件產品時，依方案一的利潤為y1，依方案二的利潤為y2，由題意知y1=(50-25)x-20.5x-30 000=24x-30 000, y2=(50-25)x-140.5x=18x.(1)當x=3 000時，y1=42 000, y2=54 000，y1y2(2)當x=6 000時，y1=114 000, y2=108 000，y1y2應選擇方案二處理污水應選擇方案一

15、處理污水【想一想】(1)解決題1的關鍵點是什么？(2)解決題2時的方法是什么？提示：(1)解決題1的關鍵點是了解到此函數增長的情況初期增長迅速，后來越來越慢.(2)解決題2時的方法是先把每種方案都列出來，然后進行比較，最后作出選擇.【變式訓練】某文具店出售軟皮本和鉛筆，軟皮本每本2元，鉛筆每根0.5元，該店推出兩種優惠辦法：(1)買一本軟皮本贈送一根鉛筆；(2)按總價的92%付款.現要買軟皮本4本，鉛筆若干根(不少于4根)，若購買鉛筆數為x根，支付款數為y元，試分別建立兩種優惠辦法中y與x之間的函數關系式，并說明使用哪種優惠辦法更合算？【解題指南】根據題意列出兩個一次函數關系式，利用變量的范圍

16、，比較兩函數的大小，從而確定使用哪種優惠辦法更合算.【解析】由優惠辦法(1)得到y與x的函數關系式為:y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4，且xN).由優惠辦法(2)得到y與x的函數關系式為：y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4，且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36，解得x=34，且當4x34時，0.5x+60.46x+7.36，當x34時，0.5x+60.46x+7.36，即當購買鉛筆數少于34根(不少于4根)時，用優惠辦法(1)合算；當購買鉛筆數多于34根時，用優惠辦法(2)合算；當購買鉛筆數是34根時，兩種優惠辦法支付的總錢數是相同的，即一樣合算.

17、【規范解答】巧用函數圖象比較大小【典例】(12分)已知函數f(x)=2x和g(x)=x3，在同一坐標系下作出它們的圖象，結合圖象比較f(8)，g(8)，f(2 012)，g(2 012)的大小.【解題指導】【規范解答】列表x -10123 f(x) 1248g(x) -101827 2分 描點、連線,得如圖所示圖象： 4分則函數f(x)=2x對應的圖象為C2，函數g(x)=x3對應的圖象為C1. 6分g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(9),f

18、(10)g(10)，1x12,9x210,x18x22 012. 8分從圖象上知，當x1xx2時，f(x)g(x);當xx2時，f(x)g(x), 10分且g(x)在(0,+)上是增函數,f(2 012)g(2 012)g(8)f(8). 12分【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示及解題啟示總結如下：(注：此處的見規范解答過程)失分警示在解答過程中若在處把函數的對應圖象找錯，直接影響后面的函數值大小的判斷，在考試中最多給2分,是考試中常出現的失分點. 在解答過程中，雖處解答正確，但卻沒能由特殊值的函數值的大小，總結出兩函數圖象交點x1，x2的范圍，即處的1x12,9x210,x1

19、8x22 012，則此種情況會導致后面的函數值的大小比較失誤,在考試中最多給68分. 失分警示在解答過程中若漏掉處，雖然處正確，但本題沒有給出結論性的答案,屬于解題步驟不完整，在考試中最多得10分. 解題啟示(1)要熟記基本函數圖象的特點，并把握好指數函數、對數函數、冪函數圖象的增長特點.(2) 結合圖象分析圖中曲線的特點與區別，聯想對應的函數解析式.(3)解答題目要步驟完整，需要下總結性結論的，最后一定要點明，規范步驟. 【規范訓練】(12分)已知0 x20，利用圖象說明 和log2x的大小關系.【規范答題】作出f(x)= 和g(x)=log2x的圖象，如圖所示： 4分Oyxf(x)=g(x)=log2x510152024由圖象可知：在(0,4)內， log2x; 6分x=4或x=16時， =log2x； 8分在(4,16)內 log2x; 10分在(16,20)內 log2x. 12分1.當x越來越大時，下列函數中