1、97年度攜手計畫現職教師教材教法暨教學策略研習國小高年級數學科補救教學報告人：信德國小張煥泉張煥泉小檔案學歷：東山國小、信德國小、大成中學、新竹高中、花蓮師範學院-數理系、新竹教育大學-數學教育研究所經歷：信德國小教師、訓導組長、教導主任苗栗縣數學領域輔導團員、苗栗縣數學領域輔導團員副召集人教育部國民中小學數學領域教科書審定委員(第三階段9092；第二階段9096)教育部中央課程與教學輔導諮詢教師(9697)概 念 構 圖教學者學習者教學達成教學目標達成學習目標不會會追求理解的認知過程解決一個數學問題的處理流程事實呈現什麼？經過了什麼過程？得到什麼結果？認識您的授課對象與其特性攜手計畫課後扶助

2、的受輔學生受輔學生的普遍特性 1.先天未必不良 2.後天失調 3.學習意願低落 4.注意力不集中 5.記憶短暫 6.理解能力差 7.其他特殊教育範疇兒童學習數學的可能困難：一語文能力缺陷使其在了解或表達數學常用詞彙、關鍵字及概念方面有困難；二知覺能力缺陷使其在辨識或閱讀數字與數學符號、分類能力有困難；三注意力缺陷使其在正確抄寫數字或數學符號與檢視運算細節時有困難；四數學能力缺陷使其在依循計算步驟或推理方面有困難。 兒童面臨數學的可能困境： 一無法決定什麼問題需要解決；二無法過濾不相關字句以掌握題目重點；三無法整合題目中的訊息並決定解決方式；四無法監控自己的解題歷程；五無法覺察外在回饋並產生自我

3、校正行為。 七項使學生不喜歡學數學的主因： 1.忽視個別差異，經年累月給予所有學生一樣的課堂要求及作業；2.只強調數學方法，未強調教學方法的教學方式，數學課堂上多是一題解過一題，一頁做過一頁；3.數學作業多為紙筆式，未能採用多元化的作業方式；4.堅持學生須採用某種方法解題而忽略了其實數學可有多種解法；5.在學生犯錯時給予額外的數學作業以示懲罰；6.採用訓練方式來教數學，學生往往面對同一類型題目時，須做非常多機械式的練習；7.在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。 七項使學生不喜歡學數學的主因： 學生自己造成的學習障礙 學習態度不佳，敷衍了事、馬虎應付、練習是做給

4、老師看的，作業是向父母交代用的。 只看外表線索而不深入探究內涵文義。例：甲有5元，甲比乙多3元，乙有多少元？ 錯誤的類推和遺忘某些條件導致錯誤的過程例：7+8=8+724=42 不願用心思考，事事依賴注意力無法持續。 補救教學的策略 一、補救和輔導並重： 二、補足先備能力：三、教材簡化、淺化： 四、熟練後推思考法和前推思考法： 五、用具體的圖線表徵有助於解答： 六、加強語文的閱讀能力，及發表能力： 議論分紛(善變的分數規則)1+1=2的經驗 好容不易建立出 可是到了分數乘法 又不對了應該要 除法出現時 分數工具論vs 分數理解說未能對分數概念進行掌握，僅從計算規則、程序性的角度進行思考的後果，

5、易導議論分紛。規則變了又變，一再改變。加、減、乘、除都不一樣。根本功要紮實 進入工具分數意義要先理解運算概念要能掌握誰對呢？1個披蕯平分給3個人，每人得到1/3個披蕯，此時用畫圖表徵的結果如下：中低年級老師認為1/3中的1是3塊披蕯中的1小塊。陳老師並不認同，他覺得1/3中的1是1個披蕯，因為1個披蕯平分給3個人是13=1/3，那個1應該是指1整個披蕯，而不是1小塊披蕯。局部整體 vs 除的結果師：何謂1/7？生：將一段平分為7份，取其中的1份。師：何謂2/7？生：將一段平分為7份，取其中的2份。局部全體Vs單位分數累加1/7 + 1/7 =( )眾生：1/7 +1/7 =2/14 孩子的想法

6、1/7 是1/7 +1/7 是怎麼看就是2/14 怎麼會等於分數 Vs 比(用分數代表比到底是什麼意思？)布題：某位棒球選手，在與日本隊比賽時出場4次，擊出 3支安打，他的打擊率為3/4。另一場與韓國比賽中，出場也是4次，擊出2支安打，這場打擊率為2/4。二場比賽總共的打擊率是多少？解：通常我們的作法為3/4+2/4=5/8。Q：為什麼此時我們不用分數的加法原理來算3/4+2/4=5/4。Q：學生是否會問為什麼又回到分子加分子，分母加分母？老師您要的到底是如何？學生的3/5代表什麼？5等分裡面的3等分局部整體概念3個1/5單位分量的累加數線上的一點抽象到整個3/5為一個數字，而非二個數字。二數

7、相除的結果例如3個餅分給5個人，每人得到多少個餅？相當於比的問題某選手在比賽中擊出3支安打，總打擊數為5次，安打與總打數的比值3/5分數概念發展脈絡之整理等分的概念平分的概念局部整體表示二數(或二量)的並置關係分數初步概念，尚未開始運算單位分量累加開始運算(假分數才可以出現)數線上一點尚有具體量可以看到，還未完全到抽象的數概念，引用距離的概念。兩數相除的結果分數意義的擴充相當於比的問題用分數來表示比值的結果有理數等值分數是初步概念分數的等價集(集合概念)值得深思的幾個點？老師們的補救教學如何進行？依教學進度作深度練習(練熟)在計算題上可能可以達成某種效果但是文字題(應用問題)時，卻時常遇到瓶頸

8、。老師的資源和支援在哪裡？鼓勵孩子主動去學習。善用學生好發問的特性(讓學生當主角)鼓勵學生多發表、並給予肯定形成共識概念發散&概念收斂&概念提昇&精熟學習(可善用ICR或Flash檔) 想和老師談談的幾個問題語文能力 vs 解文字題數學語言符號教學流程整數乘、除法教材分析國小常見問題舉隅單位量和單位數的困擾？除法的困難公分公分=平方公分 時間和時刻一樣嗎？單位量和單位數的困擾？一隻青蛙有4條腿，5隻青蛙共有幾條腿？45=( )和54=( )一樣嗎？學生假設混淆兩者，老師有何教學方法？信德國小阿康老師的方法簡介：學生對除法的可能困難：四則運算中，除法的唸法和其他不一樣！ 除法的直式長得怪怪的 ！

9、 為何在算除法時要估商呢？引入除法教學時(包含除)，直式算則時的境境解釋(等分除)！除法為何要從高階處開始運算呢 ？餘數小於除數的問題。 例如：4=1.10.6，求=？ 公分公分？國小學生在量與實測的教材中，學習的量有哪些？直觀比較、直接比較、間接比較、個別單位、普遍單位和公式化等階段的不同！ 公分公分=平方公分、公分公分公分=立方公分 、公克公克=？時間和時刻一樣嗎？時間怎麼描述？時刻呢？如何區分時間和時刻？撥鐘的重要性！ 時刻+時間的教學？解文字題 vs 語文能力學童不會算文字題，和語文能力有密切的關係嗎？看不懂題意或文字，當然不會算，看懂題意或文字，一定就會算嗎？大聲唸三次題目，對理解題

10、意是否有幫助？看不懂題目的意思或不理解題意，是溝通的問題，不是數學的問題。理解題意，但是不會算，這才是數學問題。溝通問題與數學問題，是兩類不同的問題，不宜混為一談。數學語言符號教學流程：數學課程分三階段引入數學語言符號第一階段：引入數學符號之前第二階段：引入數學符號第三階段：引入數學符號以後第一階段：引入數學符號之前教學的重點是：理解題意；有成功解題的經驗；逐漸形成解題活動類型。第二階段：引入數學符號教學的重點是：形成解題活動類型；掌握算式摘要記錄的意義；掌握算式填充題問題記錄的意義。第三階段：引入數學符號以後教學的重點是：提升解題效率；引入算則；精熟學習。整數乘法教材分析 人們為什麼會發明乘

11、法？發明乘法對我們有那些幫助？3個蘋果和5個蘋果合起來，共有幾個蘋果？(題意和解題工具分別是什麼？)乘法問題知多少？-1/5以問題盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？為例，可以從哪些不同的角度來看問題？1、視為加法問題2、視為倍的問題3、視為比的問題4、視為單位量轉換的問題盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？ 加法問題：？，使用加法當做解題的工具。盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？ 倍的問題：當相同數量相加的情境經常出現，為了提升解題效率，發展新的工具-乘法-來簡化或替代加法。的倍是多少個？。盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？ 比的問題：將每盒都有3個蘋果視為一個單位，使用比當做解題的工具。： 。個盒盒個。盒蘋果有個，盒

12、蘋果有多少個？ 單位量轉換問題：盒蘋果有多少個？個合起來是多少個？單位量轉換：個蘋果 是一種情境：當人們選擇不同的單位量時，可以有不同描述個數的方式。(原單位是個，假設以新單位盤、堆來描述時)個蘋果的描述1以個為單位量：個個 以堆個為單位量：堆個以盤個為單位量：盤個以個為單位量時，堆共有個，其中單位量是，單位數是，總量個是。 個蘋果的描述2以箱個為單位量：1/3 箱1/3 個以片四分之一個為單位量：片個 1/4以36個為單位量時， 1/3箱共有個，其中單位量是36，單位數是 1/3 ，總量 1/3個36 是。 整數除法教材分析人們為什麼會發明除法？發明除法對我們有那些幫助？除法概念上常見問題有

13、哪些？除法算則上常見問題有哪些？三個階段引入除法運算第一階段：引入除法算式之前教學的重點是：理解題意；有成功解題的經驗；逐漸形成解題活動類型。第二階段：引入除法算式教學的重點是：形成解題活動類型；掌握除法算式摘要記錄的意義；掌握除法算式填充題問題記錄的意義。第三階段：引入除法算式以後教學的重點是：提升解題效率；引入除法算則。除法問題的語意就問題語意的觀點，除法問題可以區分為等分除問題及包含除問題：包含除問題總量及單位量，單位數未知，例如：個蘋果，個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？等分除問題總量及單位數，單位量未知，例如：個蘋果，平分裝成盤，儘量裝完，一盤可以裝多少個蘋果，剩

14、下幾個蘋果？第一階段：引入除法算式前包含除問題：可能有那些解題策略？如何記錄過程記錄？以包含除問題個蘋果，個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？解題策略？如何記錄過程記錄？累加策略 累減策略第一階段：引入除法算式前等分除問題：以等分除問題個蘋果，平分裝成盤，儘量裝完，一盤可以裝幾個蘋果？剩下多少個蘋果？為例，學童可能有那些解題策略？如何記錄過程記錄？一次一盤分個策略 嘗試錯誤策略第二階段：引入除法算式(1) 開放解題，等分除與包含除是兩種不同的問題類型，會有不同的解題策略。(2) 限制解題策略，限制包含除問題使用連減策略，等分除問題使用一人一次分個策略，透過都可以使用減法算式來

15、記錄的特徵，幫助學童將等分除與包含除問題視為相同的解題活動類型。第二階段：引入除法算式(3) 引入包含除問題的算式記錄摘要記錄(4) 引入等分除問題的算式記錄透過一次一盤分個策略，將等分除問題轉換成包含除問題，借用包含除問題的摘要記錄來記錄等分除問題。包含除及等分除問題算式的意義包含除問題： . 解題活動 蘋果 蘋果 盤 蘋果摘要記錄 蘋果 蘋果 盤 蘋果 兩者的意義一致原型等分除問題： . 解題活動 蘋果 蘋果 盤 蘋果 摘要記錄 蘋果 盤 蘋果 蘋果兩者的意義不一致，教師宜澄清：個蘋果和盤互換關係。盤和個蘋果互換關係。第三階段：引入除法算式後強調解題效率包含除的解題策略： 連減策略 先乘後

16、減策略有效率十進結構的先乘後減策略被除數及除數同時換單位策略等分除的解題策略： 轉換為包含除策略 被除數為多單位結構策略除法架構範圍和注意重點事項1逐步處理讓學生將題意視為一樣為止 等分除與包含除語意題目的解題方式不同，需都處理且透過轉換成同一種運作類型限制解題策略、使用相同過程記錄。 除法架構範圍和注意重點事項2引入算式前 過程記錄連續減加同一數量，可用乘法的簡約紀錄表示。形成解題類型從題意、過程紀錄掌握在計數：a個中每b個分一次，可分c次剩下d個 除法架構範圍和注意重點事項3引入算式 儘量分完、完全分完的語意影響記錄abcd引入 算式記錄了什麼？題目做法和答案 可先引入無餘數再引入餘數，將

17、沒有餘數視為餘數是0，再得到紀錄共識或直接引入有餘數的紀錄方式ab( )( )引入 算式填充題的格式 未計算出答案時記錄題目做法，注意在未解題前並不知餘數是否為零，不可省略( ) 。較小數量除法、除法記錄逐漸熟練 除法架構範圍和注意重點事項4引入算式後 (策略發展)一次一次分屢次分過程記錄：減法記錄先乘後減逐步先乘後減減少先乘後減次數使用多單位結構直式紀錄直式計算成人算則被除數與除數同時轉換單位的策略 National Professional Teacher Team團結力量大！讓大家的努力化為蘊%$!#ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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