1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1已知且，函數，若，則（ ）A2BCD2執行下面的程序框圖，則輸出的值為 （ ）ABCD3用一個平面去截正方體，則截面不可能是（ ）A正三角形B正方形C正五邊形D正六邊形4已知集合，ByN|yx1，xA，則AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x25已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（ ）ABCD06已知全集，集合，則（ ）ABCD7已知數列，是首項為8，公比為得等比數列，則等于（ ）A64B32C2D48如圖，平面四邊形中，為等邊三角形，現將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD9命題：存在實數，對任意實數，使得恒成立；：，為奇

3、函數，則下列命題是真命題的是（ ）ABCD10設，則“ ”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件11阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的哲學家、數學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數學家.據說，他自己覺得最為滿意的一個數學發現就是“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為 （ ）ABCD12在中，分別為所對的邊，若函數

4、有極值點，則的范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設，滿足條件，則的最大值為_.14已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF=60，則|FR|等于_.15已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 16某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1 000名學生的成績，并根據這1 000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在250，400)內的學生共有_人三、解答題：共70分。

5、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量18（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（）求橢圓的標準方程；（）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.19（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側棱上一點，已知.（）證明:平面平面；（）求二面角的余弦值.20（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優秀傳統文化中的動漫題材，創作出一批又一批的優秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統計數據如下表（已知該公司的年利

6、潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.21（12分）如圖，在中，角的對邊分別為，且滿足，線段的中點為.（）求角的大小；（）已知，求的大小.22（10分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給

7、出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據分段函數的解析式，知當時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當時，且由于，則可知：，則，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數的應用，由分段函數解析式求自變量.2D【解析】根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，結束循環，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環結構，條件分支結構，屬于中檔題.3C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C考點：平面的基本性質及推論4A【解析】解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】集合x

8、Z|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故選：A【點睛】此題考查求集合的并集，關鍵在于準確求解不等式，根據描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.5B【解析】根據題意可得，利用向量的數量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選：B【點睛】本題考查了向量數量積求夾角，需掌握向量數量積的定義求法，屬于基礎題.6D【解析】根據函數定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數定義域的求解，屬于基礎題.7A【解析】根據題意依次計算得到答案.【詳解】根

9、據題意知：，故，.故選：.【點睛】本題考查了數列值的計算，意在考查學生的計算能力.8A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.9A【解析】分別判斷命題和的真假性，然后根據含有邏輯聯結詞命

10、題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數，故為真命題.所以為真命題. 、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.10C【解析】根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可【詳解】a，b（1，+），ablogab1，logab1ab，ab是logab1的充分必要條件，故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的解法是解決本題的關鍵11C【解析】設球的半徑為R，根據組合體的關系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公

11、式求解.【詳解】設球的半徑為R，根據題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為 .故選：C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數學史了解，屬于基礎題.12D【解析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數的極值，涉及函數與方程思想思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型. 首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根，從而可得.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】作出可行域，由得，平移直線，數形結合可求的最大值.【詳解】作

12、出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當直線經過可行域內的點時，最小，此時最大.解方程組，得，.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規劃，屬于基礎題.142【解析】由題意知：，.由NRF=60，可得為等邊三角形，MFPQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，.M，N分別為PQ，PF的中點，PQ垂直l于點Q，PQ/OR，NRF=60，為等邊三角形，MFPQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，F為HR的中點，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.15【解析】

13、由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.16750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.00350=1，得a=0.006，所以10000.004+0.006+0.00550=750。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得， 將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值

14、的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18（）；（）詳見解析.【解析】（）把點代入橢圓方程，結合離心率得到關于的方程，解方程即可；（）聯立直線與橢圓方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（）由已知橢圓過點得，又，得，所以，即橢圓方程為.（）證明： 由，得，由，得，由韋達定理可得，設的中點為，得，即，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性

15、質、直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關鍵;屬于中檔題.19（）證明見解析；（）.【解析】() 先證明，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；()根據題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】()證：由已知得又 平面，平面，而故，平面 平面，平面平面()由()知，推理知梯形中，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則 ，設平面的法向量為，則令，則，是平面的一個法向量設平面的一個法向量為 令

16、，則 是平面的一個法向量= 又二面角為鈍二面角，其余弦值為.【點睛】本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.20（），該公司年年利潤的預測值為億元；（）.【解析】（）求出和的值，將表格中的數據代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（）利用（）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數，然后利用組合計數原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（）根據表中數據，計算可得，又，關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），

17、該公司年的年利潤的預測值為億元.（）由（）可知年至年的年利潤的估計值分別為、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.21（）；（）.【解析】（）由正弦定理邊化角，再結合轉化即可求解；（）可設，由，再由余弦定理解得，對中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進而得解【詳解】（）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（）設，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整