1、1積分變換第八章 Fourier變換Fourier 變換是積分變換中常見的一種變換，它既能夠簡化運算 ( 如求解微分方程、化卷積為乘積等)，又具有非常特殊的物理意義。 的地位，而且在各種工程技術中都有著廣泛的應用。因此，Fourier 變換不僅在數學的許多分支中具有重要2周期函數在一定條件下可以展開為Fourier級數；全實軸上的非周期函數不能有Fourier級數表示；引進類似于Fourier級數的Fourier積分來表示非周期函數(周期趨于無窮時的極限形式).所以Fourier 變換是在周期函數的Fourier級數的基礎上發展起來的。31 Fourier積分公式1.1 Recall:周期函數

2、的 Fourier 級數則在 的連續點處有在 的間斷處，上式左端為(A)區間 上滿足如下條件(稱為 Dirichlet 條件)：(1) 連續或只有有限個第一類間斷點；(2) 只有有限個極值點(不能震蕩太厲害) .( Dirichlet 定理)設 是以 T 為周期的實值函數，且在定理4稱之為基頻。其中,令則 (A) 式變為O(A)改寫An5這些簡諧波的(角)頻率分別為一個基頻 的倍數。頻率成份，其頻率是以基頻 為間隔離散取值的。” 這是周期信號的一個非常重要的特點。認為 “ 一個周期為 T 的周期信號 并不包含所有的意義周期信號可以分解為一系列固定頻率的簡諧波之和，表明相位反映了在信號 中頻率為

3、 的簡諧波 這兩個指標完全定量地刻畫了信號的頻率特性。反映了頻率為 的簡諧波在信號 中振幅所占有的份額；沿時間軸移動的大小。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6引進復數形式對其中()L,2,1)(1sincos)(1)(1sincos)(1)(122222222220=+=-=-D-ncdtetfTdttnitntfTcdtetfTdttnitntfTcdttfTcnTTtinTT-nTTtinTTnTTwwwwww機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 8)(122級數化為復數指數形式：Fourier+-=-+-=ntinTTinntinnedefTecwwtwtt得O分析由即 的模與輻角正好

4、是振幅和相位。定義稱 為 離散振幅頻譜；稱 為 離散相位頻譜；稱 為 離散頻譜，記為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 9通常，函數 f(t) 表示某系統的按時間變化的性質，叫做在時域中表示的性質。而頻譜 描述了這種性質在頻域中的表示。因此傅里葉級數也是一種從時域到頻域的變換。例 求矩形波函數延拓為周期函數的傅立葉級數的復指數形式和離散頻譜解：不妨令T=4, 1-1otf(t)11-13T=4f4(t)t10則于是11前面計算出1-13T=4f4(t)tw11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 12即非周期函數可視為一個周期為無窮大的“周期函數”。 對任何一個非周期函數f (t)都可以看成是由

5、某個周期函數fT(t)當T時轉化而來的.13當 T 越來越大時，取值間隔越來越小；當 T 趨于無窮時，取值間隔趨向于零，因此，一個非周期函數將包含所有的頻率成份。即頻譜將連續取值。 當 時，頻率特性發生了什么變化？離散頻譜變成連續頻譜。結論其頻譜是以 為間隔離散取值的。Fourier 級數表明周期函數僅包含離散的頻率成份，分析：13機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 14 例如將前例的周期擴大一倍, 令T=8, 得周期為8的周期函數f8(t)，這時15則在T=8時,w1-17T=8f8(t)t16如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計算出w當 T 趨于無窮時，取值間隔趨向于零，即頻譜將連續

6、取值。 將那個頻率上的輪廓即sin/函數的形狀看作是 方波函數 f (t)的各個頻率成份上的分布, 稱作方波函數 f (t)的傅里葉變換。171.2Fourier積分公式與Fourier積分存在定理18O w1 w2 w3 wn-1wnw192020機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 21Fourier 積分公式的三角形式222 Fourier變換2.1 Fourier變換的定義(2) Fourier 逆變換(簡稱傅氏逆變換)稱為傅氏變換對，記為與-1(1) Fourier 正變換(簡稱傅氏正變換)定義其中，稱為原象函數稱為象函數， Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一

7、種充分條件.23與 Fourier 級數中系數的物理意義一樣，Fourier 變換同樣稱 為振幅譜；稱 為相位譜。刻畫了一個非周期函數的頻譜特性，不同的是，非周期函數的頻譜是連續取值的。一般為復值函數，故可表示為稱 為頻譜密度函數(簡稱為連續頻譜或者頻譜)；定義反映的是 中各頻率分量的分布密度，它 對一個時間函數 f (t)作傅氏變換, 就是求這個時間函數 f (t)的頻譜密度函數.24例 1 求矩形脈沖函數 的付氏變換及其積分表達式。做 Fourier 逆變換，即可得到的 Fourier 積分表達式。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2526tf (t)272.2 單位脈沖函數及其傅氏變換

8、 在物理和工程技術中, 常常會碰到單位脈沖函數. 因為有許多物理現象具有脈沖性質, 如在電學中, 要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產生的電流; 在力學中, 要研究機械系統受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈沖函數.28 在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖, 現在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數, 則 當t0時, i(t)=0, 由于q(t) 在t=0處不連續, 從而在普通導數意義下, q(t)在這一點是不可導的.29如果我們形式地計算這個導數, 則得 這表明在通常意義下的函數類中找不到一個

9、函數能夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數, 簡單記成d-函數:有了這種函數, 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續分布的量那樣, 以統一的方式加以解決.30de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數稱為單位脈沖函數。由于31 可將d-函數用一個長度等于1的有向線段表示。這個線段的長度表示d-函數的積分值, 稱為d-函數的強度.tOd (t)1(1) 篩選性質 性質 設函數 是定義在 上的有界函數， 且在 處連續， 則 一般地，若 在 點

10、連續， 則 32 可見d-函數和任何連續函數的乘積在實軸上的積分都有明確意義。(2) 對稱性質 函數為偶函數，即 33(1) 單位沖激函數 并不是經典意義下的函數，而是一 個廣義函數(或者奇異函數)，它不能用通常意義下的 “值的對應關系”來理解和使用，而總是通過它的性質 注 來使用它。 (2) 單位沖激函數有多種定義方式，前面給出的定義方式 是由 Dirac(狄拉克)給出的。 34 利用篩選性質，可得出 函數的 Fourier 變換： 即 與 1 構成Fourier變換對 按照 Fourier 逆變換公式有 1 -1 重要公式 稱這種方式的 Fourier 變換是一種廣義的Fourier變換。

11、 在 函數的 Fourier 變換中，其廣義積分是根據 函數的 注 性質直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的， 35例如常數, 符號函數, 單位階躍函數以及正, 余弦函數等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈沖函數及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂廣義是相對于古典意義而言的, 在廣義意義下, 同樣可以說,原象函數f(t) 和象函數F(w) 構成一個傅氏變換對. 在物理學和工程技術中, 有許多重要函數不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件36證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得例1 證明：1和2pd (w)構成傅氏變換對.證法1： 重

12、要公式 利用篩選性質37例2 求正弦函數f (t)=sinw0t的傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|例 3 證明：證：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 39機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 403 Fourier變換與逆變換的性質 這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質, 為了敘述方便起見, 假定在這些性質中, 凡是需要求傅氏變換的函數都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質時, 不再重述這些條件.1.線性性質:412. 位移性質:證明： 返回機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 42推論：證明： 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 433. 相似性：證明：43機動 目錄 上頁 下頁

13、返回 結束 44例1 計算 。 方法1：（先用相似性，再用平移性）44機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 45方法2：（先用平移性，再用相似性）45機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 464.微分性： 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 475.積分性： 6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式48 實際上, 只要記住下面五個傅里葉變換, 則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質導出.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例3 若 f (t)=cosw0t u(t), 求其傅氏變換。（位移性質）)()(2j00220wwdwwdpwww+-+-=)()j(1)()j(121)(0000wwpdwwwwpdwww+-+-=F1)(j)(wpdw+tu2ee)()(jj00ww+=-tutftt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2 利用傅氏變換的性質求d (t-t0),性質像函數微分性質)()(wFittf=F機動 目錄 上頁 下頁