1、 對于隨機向量(X,Y),除了EX,EY,DX,DY以外,還知道X與Y之間的關系.下面引入協方差和相關系數。第四節 協方差和相關系數定義 稱數值E(X-EX)(Y-EY) 為隨機變量X與Y的協方差。 一 協方差記作即Covariance 另一個常用的計算公式:協方差的性質: 其中a,b是常數 若X與Y相互獨立, 則 但, X與Y 未必相互獨立.(4) 若X與Y不相互獨立, 則 證：X與Y獨立,則D(X+Y)=DX+DY18. 設(X,Y)的聯合概率密度 求 (1) (2) X與Y不獨立。解： 所以(2) 由于 ，所以 X與Y不獨立.求當時, 有當時,例2 設定義 稱數值相關系數或標準協方差,二

2、 相關系數為隨機變量X與Y的記作XY, 或簡記作, 即: 定理 若X與Y相互獨立，則 即： X與Y相互獨立 X與Y不相關但, X與Y不相關不一定X與Y相互獨立。定義 若隨機變量X與Y的相關系數=0, 則稱X與Y不相關。 例1 設隨機變量X和Y的聯合分布律 YX -1 0 1 -1 0 0 1 驗證: X與Y不相關，但X與Y不獨立。證 由已知條件可以分別計算出X,Y的邊沿分布律:X-101PY-101P則有因Y與X的分布律相同, 故 即X與Y不相關;即因此X與Y不相互獨立.另一方面例2 若X的概率密度f(x)為偶函數,且E(X2)+, 試證|X|與X不相關, 但|X|與X不相互獨立.xf(x)為

3、奇函數, 故又知|x|x f(x)為奇函數, 故可得Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)證從而有Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)=0因此, |X|與X不相關.E(X2)0, 使 由于，則故|X|與X不相互獨立.|X|與X不相互獨立. (舉反例)f(x)為偶函數, 證明定理 設 =0 X與Y相互獨立 ；XY=0 X與Y不相關.對服從二維正態分布的隨機變量(X,Y)，X與Y獨立 X與Y不相關對一般隨機變量(X,Y)，X與Y獨立 X與Y不相關，反之不真。例 3 設隨機變量且(1) 當=0時, 求Z的概率密度fZ(z)及D(XY);(2)當時, 求及

4、.解: (1) 由=0知, X與Y相互獨立, Z=X-2Y+1并由得: 所以, Z=X-2Y+1服從正態分布,故ZN(-1,17), Z的概率密度為 由X與Y的獨立性, 知X2與Y2也獨立, 則 (2) 當時, 求 (柯西施瓦茲不等式)設X,Y為任意隨機變量，則 (1) E(XY)2E(X2)E(Y2) (2) 等式成立存在常數t0 , 使P Y=t0X 1 等式 E(XY)2 = E(X2)E(Y2)成立存在常數t0 ，使u(t0)=E(t0XY)2=0 PY=t0X1證: (1) 記u(t)=E(tXY)2 0, t為任意實數，=E(X2) t22E(XY)t+E(Y2) 0故 =2E(X

5、Y)24E(X2)E(Y2) 0柯西許瓦茲不等式成立。定理 對相關系數相關系數的性質:其中a,b是常數.越接近于1時, X與Y越接近線性關系。由此可知：相關系數刻劃了隨機變量X與Y之間線性關系的近似程度。時，X與Y之間以概率1成立線性關系。 |=1 存在常數t0 ，使 PYEY=t0(XEX)=1即 PY=t0X+EY-t0EX=1即 PY=aX+b=1證：(1) 由柯西施瓦茲不等式定理得：矩是一些數字特征的泛稱或總稱。在概率論和數理統計中,矩占有重要的地位。矩、協方差矩陣矩的概念前面討論的數學期望、方差、協方差等數字特征都是某種矩.在理論和實際中，這些數字特征還不夠用， 還需要更多的其它矩。

6、若 存在，稱它為X的k階原點矩；存在，定義 設X和Y是隨機變量,若顯然, X的數學期望EX=EX1就是一階原點矩,就是二階中心矩。方差稱它為X的k階中心矩。此外，定義: k階中心絕對矩(k+l )階原點混合矩(k+l )階中心混合矩 k階原點絕對矩若 稱為n維隨機向量的協方差矩陣。協方差矩陣定義 對于n維隨機向量則矩陣存在，顯然協方差矩陣是一個對稱矩陣.二維正態隨機變量(X1,X2)的概率密度為 若令 (X1,X2)的協方差矩陣為 則有于是(X1,X2)的概率密度可寫成推廣到n維正態隨機變量(X1,X2,Xn)概率密度為其中 n維正態隨機變量(X1,X2,Xn)的定義.(在多元統計分析和隨機過程中要用到)一.單項選擇題1.則下列結論正確的是( )2.盒中有2個紅球3個白球，有放回取球20次，每次取一球，設X為取到紅球的次數，Y為取到白球的次數，則下列結論中錯誤的是( )設：AA3.設r.v,(X,Y)N(0,1;1,1;0),則下列結論正確的是( )4.設X的概率密度為且EX=3/4,則下列各式中正確的是( )則PX+Y1= X的邊緣概率密度fX(x)=5.設X與Y相互獨立, 且EX=2,EY=3,則E(X+Y)2=( )(A)51 (B)10 (C)25 (D)30二.填空題1.設r.v.(X,Y)的概率密度為1/4設r.v.X服從參數為的指數分布，則5