1、 = 2 * ROMAN II非平衡態統計物理氣體運動方程第一節玻爾茲曼方程全同粒子，近獨立體系，粒子數不變空間。單粒子微觀狀態用（）描述，（）張開的空間稱。平衡態系統的微觀狀態可用分布函數描述為單粒子能量處于（）處的粒子數的密度分布。思考題：與正則系綜理論的關系，例如，如何寫出配分函數。非平衡態粒子數密度與時間t有關關鍵：如何求f ？ 顯然，如果t是微觀時間，求解的難度和解微觀運動方程差不多。所以，t一般是某種介觀時間或宏觀時間。先試圖寫下f的運動方程再討論如何求解如果粒子不受外力，沒有粒子間的碰撞，我們有粒子流守恒方程如何來的？對積分 左邊： 中單位時間粒子數的增加右邊： 單位時間流入的粒

2、子數。 注意：的方向為向外的，至少在局部是常數，所以，是從dS流入的粒子數，因為 另一方法：沒有外力，至少在局部是常數。時刻處于處的粒子 t時刻處于的粒子因為在內粒子移動 如果粒子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互碰撞玻爾茲曼方程為由粒子碰撞引起的粒子數密度的變化假設只有兩體碰撞邊界條件不重要外力只對單粒子運動起作用，不影響碰撞不同相空間點的f沒有關聯時間標度遠大于分子碰撞時間 空間標度遠大于分子尺度二體碰撞 入射 出射 能量守恒動量守恒逆過程也類似 出射 入射 能量守恒動量守恒在處，t時刻由產生的概率為在處增加的粒子數為在t時刻，在處減小的粒子數為注意：這里我們假設t是介觀時間，已略去分子碰撞

3、細節。習題：假設，計算出中對的積分第二節 一些簡單例子1、平衡態“平衡”（這似乎是充分條件）設即為平衡態的解的形式, 還必須受到限制，如等。思考題：為什么？（因為 ）2、沒有碰撞，沒有外力解為為t0時粒子數分布例如：t0時，溫度為T的氣體凝聚于原點。即 歸一化常數思考題：為什么取這樣的形式？注意：原點為宏觀原點，微觀粒子還在運動 是Boltzmann分布計算t時刻的粒子數分布率因為對粒子系統，單粒子積分限可取為 粒子隨時間擴散，經t時間后，處粒子由t0時動量為的粒子而來。3、沒有碰撞，有外力例如：二維稀箔電子氣為平均粒子數密度注意：* 因為空間尺度遠大于分子尺度，所以，體積元之間的力也是外力*

4、 如粒子均勻分布，體積元之間的相互作用力抵消 * 庫侖力力程較長，所以沒有碰撞。設， 是常數（習題） 假設較小，取一級近似， 即這是一個 Ansatz，一個時間空間較均勻的分布。當然，平衡態的分布更均勻，但我們希望研究離平衡態不遠的較均勻的非平衡態。注意：這里已略去這高階項無關 此時沒有平衡態注意： 還是的函數，而不是是由引起的粒子數分布解的條件，或說震蕩的條件是當 小，即空間比時間更均勻些，由對稱性： 這是所謂色散關系。比較自由粒子，第三節 碰撞與擴散假設沒有外力，電子之間不碰撞，但會和晶體中的雜質碰撞碰撞是一種特殊的力的作用，力程較短。能量守恒雜質 動量不守恒 為的方向，為散射率。設體系離

5、平衡態不遠 假設雜質分布空間均勻，所以有因子 但和雜質的碰撞不一定在時間方向均勻，所以不一定有注意：是解的參數，不是動量變量。由玻爾茲曼方程（*）由于的大小不變，所以只是的方向的函數。方程（*）有點象量子力學中Schrodinger方程，只是相互作用有點怪，但是至少還是線性。不妨用類似方法求解。習題：證明為線性方程定義內積（也即矢量乘法）的方向矢量因此所有構成一線性空間設 的本征值和本征矢為則一般解為假設非常小（離平衡態不遠，因為平衡態趨向均勻），可對作微擾展開。先解的本征方程。顯然是一個解注意到不是的函數，所以任何積分為零的函數的本征值為（散射率）。 是球諧函數考慮到，這便是所有解，因為構成

6、完備系。定態微擾論，對展開代入本征方程可以逐階計算由非簡并微擾論類似地設和的夾角為，即取為的z軸方向，則，所以，唯一的非零項來自于 為平均自由時間。當t增大，的貢獻迅速消失，但對，當很小，下降十分緩慢，這是粒子數守恒的結果。因為當，與無關，對的積分即為總粒子數，但對的積分為零，所以即代表總粒子數。當t足夠大，略去的項這是典型的擴散方程。越大，D越小，擴散越快。第四節 碰撞與聲波、粘滯系數、熱傳導沒有作用力設由玻爾茲曼方程說明：為自由部分為高階項，略去一階項為因子左右兩邊消去一階項為由能量守恒定義內積若能求解本征方程則仍然先解的本征方程，再對作微擾展開的本征值的大小大約可以從估計*（碰撞率）由粒子數守恒、能、動量守恒，有，以及相應的五個本征矢其中為對的平均說明：1、常數，顯然 2、則 由能量守恒 0這里是為了正交歸一化 （否則 不正交）3、則由動量守恒 0按照量子力學中的微擾論，一階微擾矩陣為的本征值即為取為z方向（即方向）顯然，由于正交性，的矩陣元全部是零。對其他三個指標說明： 是顯然的，因為為奇函數 因為 為偶函數由于為偶函數，所以 和 亦非零。的本征值為結論：在一階近似下，沒有得到非零的實部，需