1、薛定諤方程 第27章 薛定諤 Erwin Schrodinger奧地利人 1887-1961 創立量子力學獲1933年諾貝爾物理學獎目 錄 1 薛定諤方程 2 無限深方勢阱中的粒子 4 一維諧振子 3 量子隧穿效應有了德布洛意提出的物質波， 就應有一個與之對應波動方程。薛定諤對此提出了一個波方程，這就是后來在量子力學中著名的薛定諤方程。1 薛定諤方程 1926年，在一次學術討論會上，當年輕的薛定諤介紹完德布羅意關于粒子波動性假說的論文后，物理學家德拜（P.Debey）評論說：認真地討論波動，必須有波動方程。 幾個星期后，薛定諤又作了一次報告。開頭就興奮地說：“你們要的波動方程，我找到了！”這個

2、方程，就是著名的薛定諤方程。 薛定諤方程是量子力學的基本動力學方程，它在量子力學中的作用和牛頓方程在經典力學中的作用是一樣的。 同牛頓方程一樣，薛定諤方程也不能由其它的基本原理推導得到，而只能是一個基本的假設，其正確性也只能靠實驗來檢驗。由自由粒子波函數微分，得由非相對論粒子能量動量關系式，如自由粒子這就是一維自由粒子(無勢場)的薛定諤方程。得一、自由粒子的薛定諤方程？推廣到粒子在勢場U(x, t) 中運動二、在勢場中運動粒子的薛定諤方程 在一維勢場 U(x,t) 中的粒子替換原來的 E 后得到 推廣到三維：一般的薛定諤方程：由自由粒子波函數微分，得由非相對論粒子能量動量關系式，如自由粒子這就

3、是一維自由粒子(無勢場)的薛定諤方程。得一、自由粒子的薛定諤方程？推廣到粒子在勢場U(x, t) 中運動用分離變量法：將波函數寫成 即 時，當勢能與時間無關，三、定態薛定諤方程代入薛定諤方程可得：該方程不含時間，稱為定態薛定諤方程。定態波函數振動因子數學上：E 不論取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解滿足波函數的物理條件（單值、有限、連續）。這些特定的E值稱為能量本征值各E值對應的 叫能量本征函數 本征波函數故該方程又稱為：能量本征值方程定態波函數:波函數的物理條件用來描寫實物粒子的波函數應滿足的物理條件1.標準條件：單值、有限、連續因為，粒子的概率在任何地方只能有

4、一個值； 不可能無限大；不可能在某處發生突變。 2.歸一化條件 粒子在空間各點的概率總和應為l*在量子力學中用 薛定諤方程式加上波函數的物理條件求解微觀粒子在一定的勢場中的運動問題(求波函數，狀態能量，概率密度 等)1.由粒子運動的實際情況 正確地寫出勢函數 U(x)2.代入定態薛定諤方程3.解方程4.解出能量本征值和相應的本征函數5.求出概率密度分布及其他力學量量子力學解題的一般思路：方勢阱是實際情況的極端化和簡化例：金屬內部自由電子的運動。0 xU(x)=0U= a勢函數U= 一、一維無限深方形勢阱 2 無限深方勢阱中的粒子粒子在0 x a范圍內自由運動，但不能到達x 0或x a范圍。1. 定態薛定諤方程 阱外：阱內： 根據波函數有限阱外:2. 求通解二、薛定諤方程和波函數令阱內:則：其通解為3. 由波函數的標準化條件定特解(1)解的形式成為通解為處應已有A=0，要求，只能 sinka 等于零即(2)又單值、有限條件已滿足；由連續條件定特解： 1