1、高等機構學高等機構學YSU燕山大學機械工程學院燕山大學機械工程學院n 螺旋理論基礎螺旋理論基礎n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理n 空間機構的位置分析空間機構的位置分析n 運動影響系數原理運動影響系數原理n 空間機構動力學空間機構動力學n 基于約束螺旋理論的并聯機構型綜合基于約束螺旋理論的并聯機構型綜合n 空間機構的奇異分析空間機構的奇異分析本門課程的主要本門課程的主要學習內容學習內容 位置正解位置正解 已知輸入參數求輸出參數，即已知輸入參數求輸出參數，即已知驅動器位置求解已知驅動器位置求解 動平臺的位姿。動平臺的位姿。 位置位置反解反解 已知輸出參數求輸入參數，即已

2、知輸出參數求輸入參數，即已知動平臺位姿求解已知動平臺位姿求解驅動器的位置。驅動器的位置。注意：注意：串聯機構位置正解易于處理，逆解相對困難串聯機構位置正解易于處理，逆解相對困難; ;并并聯機構位置正解處理困難，逆解相對容易，但一些少聯機構位置正解處理困難，逆解相對容易，但一些少自由度并聯機構的逆解處理也相對困難。自由度并聯機構的逆解處理也相對困難。空間機構位置分析空間機構位置分析解析法解析法:根據機構的結構組成特征建立約束方程組，采用多種方根據機構的結構組成特征建立約束方程組，采用多種方法從約束方程組中消去中間參數，得到單參數多項式后再求解。法從約束方程組中消去中間參數，得到單參數多項式后再求

3、解。方法包括矢量代數法、幾何法、矩陣法和四元數法等。方法包括矢量代數法、幾何法、矩陣法和四元數法等。 優點是可以得到全部解優點是可以得到全部解; ;缺點是難度較大，只有方法上的通用缺點是難度較大，只有方法上的通用性，但個例均須結合具體情況進行分析和處理。性，但個例均須結合具體情況進行分析和處理。 數值法數值法:采用的方法用數值逼近的方法解非線性方程組（例如：采用的方法用數值逼近的方法解非線性方程組（例如：牛頓迭代法）。數值法可以較快地的求得任何機構的實數解，但牛頓迭代法）。數值法可以較快地的求得任何機構的實數解，但一般不能得到全部解。一般不能得到全部解。 一般而言，初值選取及搜索算法對收斂性及

4、精度影響較大。一般而言，初值選取及搜索算法對收斂性及精度影響較大。空間機構位置分析空間機構位置分析分析方法分析方法6-SPS并聯機構位置分析并聯機構位置分析6-SPS6-SPS機構上、下平臺以機構上、下平臺以6 6個分支相連，每個分支相連，每個分支兩端是兩個球鉸，中間是一個移動個分支兩端是兩個球鉸，中間是一個移動副。副。為六自由度機構。為六自由度機構。iiPPPR其中，其中，R為上平臺的方向余弦矩陣，為上平臺的方向余弦矩陣，P為上平臺坐標系原點在固定參考為上平臺坐標系原點在固定參考系中的坐標。二者均為已知量。系中的坐標。二者均為已知量。建立如圖所示坐標系。建立如圖所示坐標系。當給定機構的各個當

5、給定機構的各個結構尺寸后，利用幾何關系，可以很容易結構尺寸后，利用幾何關系，可以很容易寫出上下平臺各鉸鏈點在各自坐標系中的寫出上下平臺各鉸鏈點在各自坐標系中的坐標值，再利用下式可求出上平臺鉸鏈點坐標值，再利用下式可求出上平臺鉸鏈點在固定參考系下的坐標值。在固定參考系下的坐標值。則則6個驅動器桿長矢量個驅動器桿長矢量Li可以表示為：可以表示為：iiiLPB3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構由定平臺機構由定平臺O-A1A2A3，動平臺動平臺D-a1a2a3以及三個對稱的以及三個對稱的RPSRPS分支構成。分支構成。 構的所有邊長都為構的所有邊長都為M 。( (初始位形初始位形

6、下下li=M。) ) 3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 3 3個個RPSRPS分支可以對動平臺分支可以對動平臺施加一個約束力。施加一個約束力。123(100;001)(010;100)(001;010)rrr$ 這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無關關，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構只剩下只剩下三個三個“轉動轉動”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構動平臺有機構動平臺有3 3個轉動自由度，個轉動自由度，三個獨立參數可以確定

7、機構的位三個獨立參數可以確定機構的位姿。姿。 在進行反解時，動平臺的姿態在進行反解時，動平臺的姿態是已知的。可用一個姿態矩陣描是已知的。可用一個姿態矩陣描述為：述為： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置機構位置分析分析 三個轉動副在三個轉動副在定坐標系定坐標系中的坐標為中的坐標為 三個球面副在三個球面副在動坐標系動坐標系中的坐標為：中的坐標為： 位置反解位置反解123000 000MMMAAA1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置機構位置分析分析 動坐標

8、系與定坐標系之間的坐標變換公式為動坐標系與定坐標系之間的坐標變換公式為 位置反解位置反解iiaoRa(5) 假設動坐標系的原點在定坐標系中的坐標為假設動坐標系的原點在定坐標系中的坐標為 xyzoooo(4)3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置機構位置分析分析 (2)(3)(4)代入代入(5)，可以得到三個球面副在，可以得到三個球面副在定坐標系定坐標系中的坐標為：中的坐標為： 位置反解位置反解111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrMroMroM

9、rMroMrMraaa(6)3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置機構位置分析分析 由于受轉動副的限制，每個由于受轉動副的限制，每個RPSRPS分支只能在垂直于分支轉動副的平分支只能在垂直于分支轉動副的平面內運動，球副的坐標應滿足面內運動，球副的坐標應滿足 由由(5)(6)，可以得到動平臺原點，可以得到動平臺原點的坐標為的坐標為 位置反解位置反解123xyzaMaMaM(7)T1121223132662621 1 136262xyzooMrrrrroo(8)3-RPS并聯角臺并聯角臺機構位置機構位置分析分析 根據驅動副桿長的定義，有根據驅動副桿長的定義，有 位置反解位置反解 (1,2,3)iiil

10、Aai 將式將式(2)(6)代入式代入式(9) ，可以得到驅動副的長度，可以得到驅動副的長度為為(9)222122313212221112323221112226262(1)(1)222262(1)(12)2262(1)(12)22rrrrllMrrrlrrr (10)3-US并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構由定平臺機構由定平臺O-A1A2A3，動平臺動平臺D-a1a2a3以及以及三個對稱的三個對稱的US分支構成。分支構成。 構的所有邊長都為構的所有邊長都為M 。( (初始位形下初始位形下li=M。) ) 3-US并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析US分支可以對動平臺施加一

11、分支可以對動平臺施加一個約束力。個約束力。123(010;001)(001;100)(100;010)rrr$ 這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無關關，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構只剩下只剩下三個三個“轉動轉動”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-US并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構動平臺有機構動平臺有3 3個轉動自由度，個轉動自由度，三個獨立參數可以確定機構的位三個獨立參數可以確定機構的位姿。姿。 在進行反解時，動平臺的姿態在進行反解時，動平臺的姿態是已知的。可用一個姿態

12、矩陣描是已知的。可用一個姿態矩陣描述為：述為： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-US并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 三個轉動副在三個轉動副在定坐標系定坐標系中的坐標為中的坐標為 三個球面副在三個球面副在動坐標系動坐標系中的坐標為：中的坐標為： 位置反解位置反解123000 000MMMAAA1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)3-US并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 動坐標系與定坐標系之間的坐標變換公式為動坐標系與定坐標系之間的坐標變換公式為 位置反解位置反解iiaoRa(5) 假設動坐標系的原

13、點在定坐標系中的坐標為假設動坐標系的原點在定坐標系中的坐標為 xyzoooo(4)3-US并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 (2)(3)(4)代入代入(5)，可以得到三個球面副在，可以得到三個球面副在定坐標系定坐標系中的坐標為：中的坐標為： 位置反解位置反解111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrMroMroMrMroMrMraaa(6)3-US并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 由于球面副位于一個以U副為球心的球面上，則球面副

14、中心點的坐標應滿足如下的約束方程 位置反解位置反解222211122222222222333xyzxyzxyzaaaMaaaMaaaM(7)將式（6）代入式（7），可以的到動平臺原點坐標的三元二次方程組，從而可以求解出動平臺原點坐標，進而可以解出驅動副的轉角3-CS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構由定平臺機構由定平臺O-A1A2A3，動平臺動平臺D-a1a2a3以及以及三個對稱的三個對稱的CS分支構成。分支構成。 構的所有邊長都為構的所有邊長都為M 。( (初始位形下初始位形下li=M。) ) 3-CS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析CS分支可以對動平臺施加一分支可以對動

15、平臺施加一個約束力。個約束力。123(010;001)(001;100)(100;010)rrr$ 這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無這三個約束力在空間交錯分布，相互之間線性無關關，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構，約束了機構動平臺的三個移動自由由度，機構只剩下只剩下三個三個“轉動轉動”自由度自由度。 自由度分析自由度分析3-CS并聯角臺并聯角臺機構位置分析機構位置分析 機構動平臺有機構動平臺有3 3個轉動自由度，個轉動自由度，三個獨立參數可以確定機構的位三個獨立參數可以確定機構的位姿。姿。 在進行反解時，動平臺的姿態在進行反解時，動平臺的姿態是已知的。可用一個姿態矩陣描是已知

16、的。可用一個姿態矩陣描述為：述為： 位置反解位置反解111213212223313233rrrrrrrrrR(1)3-CS并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析三個球面副在三個球面副在動坐標系動坐標系中的坐標為：中的坐標為： 位置反解位置反解1236666630 22 22000MMMMM aaa(2)(3)假設動坐標系的原點在定坐標系中的坐標為假設動坐標系的原點在定坐標系中的坐標為 xyzoooo111112111212122122321223131323132662623626266262 362626626236262xxxyyyzzzoMroMrMroMrMroMroMrMroMrM

17、roMroMrMroMrMraaa3-CS并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析動坐標系與定坐標系之間的坐標變換公式為動坐標系與定坐標系之間的坐標變換公式為 位置反解位置反解iiaoRa(5)(4)(1)(2)(3)代入代入(4)，可以得到三個球面副在，可以得到三個球面副在定坐標系定坐標系中中的坐標為：的坐標為：3-CS并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 由于球面副位于一個以C副為中心線的圓柱面上，則球面副中心點的坐標應滿足如下的約束方程 位置反解位置反解222112222222233yzxzxyaaMaaMaaM(6)3-CS并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 位置反解位置反解

18、將式(5)代入式(6)，可以的到動平臺原點坐標的三元二次方程組(7)3-CS并聯并聯角臺角臺機構位置機構位置分析分析 位置反解位置反解從式(6)中可以求解出動平臺原點的坐標，而驅動副的尺寸可以通過下面的表達式得到(8)工作空間工作空間工作空間的分類工作空間的分類1、位置空間（定姿態空間）給定平臺姿態的條件下，參考點所能達到的所有位置A AB BC CT000,姿態角：姿態角：0100 1、位置空間（定姿態空間）工作空間的分類工作空間的分類2、姿態空間給定參考點位置的條件下，平臺所能達到的所有姿態固定點T000,zyx位置：位置：工作空間的分類工作空間的分類3、靈巧空間平臺能夠以任何位姿達到的空

19、間集合靈巧點靈巧點A AB BO O工作空間的分類工作空間的分類4、可達空間平臺能夠以至少一種路徑達到的位姿集合可達點可達點okABCO工作空間的分類工作空間的分類1、支腿長度限制最低位置最低位置最高位置最高位置工作空間的限制因素工作空間的限制因素2、關節運動范圍工作空間的限制因素工作空間的限制因素3、支腿干涉限制工作空間的限制因素工作空間的限制因素位置工作空間的計算位置工作空間的計算000,角度：角度：zyx, 位置：位置：動平臺中心點動平臺中心點點點A000,定姿態：定姿態：ql000000,zyxq 反解反解61 ll支腿位移：支腿位移：滿足約束滿足約束記下記下A A點為工作空間點點為工

20、作空間點考察下一點考察下一點000,zyx位置工作空間的計算位置工作空間的計算ox0zz A面面zoxy sinx cosyzz 柱坐標柱坐標abcdocabdeA面面4/2/位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示A面面zB面面zC面面o位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4X向 (m)Y向 (m)z=0.2m z=-0.1m z=0m z=0.1m 位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示最大內切空間最大內切空間位置工作空間的形狀和大小隨著給定姿態的不同而發生變化01015位置工作空間的三維表示位置工作空間的三維表示動平臺三維轉動的動平臺三維轉動的歐拉角歐拉角描述方法描述方法(T&T angles)csscsssccscsccccssccssccsscccRRRRRzzyzm)()()()()()()()()()()()()()(姿態工作空間的計算與表示姿態工作空間的計算與表示將將3-RPS3-RPS角臺機構的姿態工作空間