1、第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7 變形體的虛功原理 n5-8 互等定理 5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移一、結構位移計算概述1、位移的概念 結構在荷載、溫度變化、支座移動與制造誤差等各種因素作用下發生變形，因而結構上各點的位置會有變動。這種位置的變動稱為位移。 位移是矢量，可分解為三個位移分量，即兩個線位移（一般?？紤]水平位移和豎向位移），一個轉角位移（簡稱角位移）。2、位移產生的原因及其計算目的

2、位移計算的目的產生位移的原因(1) 荷載作用；(2) 溫度變化和材料脹縮；(3) 支座沉降和制造誤差。(1) 驗算結構的剛度；(2) 為超靜定結構的內力計算打下基礎。位移按位置變化的參考狀態（參照位移按位置變化的參考狀態（參照物）可分為：物）可分為： v 絕對位移（一般稱位移）絕對位移（一般稱位移）v 相對位移相對位移 3、位移的分類絕對位移指結構上的指結構上的一個一個指定截面，位指定截面，位移后的新位置相對其位移前舊移后的新位置相對其位移前舊位置的改變。如圖位置的改變。如圖1 1所示所示C C截面截面的位移。的位移。 絕對位移是以絕對位移是以結構未變形前的結構未變形前的初始狀態初始狀態為參考

3、狀態的為參考狀態的。 ucCCBvccC圖1 相對位移相對位移指結構上的兩個指定截面，位移后指結構上的兩個指定截面，位移后新的位置關系相對其位移前舊位置新的位置關系相對其位移前舊位置關系的改變。關系的改變。 相對位移是結構上的相對位移是結構上的兩個截面互以兩個截面互以對方對方為參考狀態的。為參考狀態的。(a) (b) 圖2 AB=AH+BHCD=C+DAB=AV-BV二、虛功原理及其兩種表現方式虛功原理：具有理想約束的質點系在某一位置處于平衡的充分必要條件是，對于任何虛位移，作用于質點系的主動力所作的虛功總和等于零。虛功中的力和位移之間沒有因果關系，即虛虛功中的力和位移之間沒有因果關系，即虛功

4、的力和位移功的力和位移不相關不相關。這是虛功區別于實功。這是虛功區別于實功的的重要特點重要特點。 虛功可大于零也可小于零虛功可大于零也可小于零。(a)(a)力狀態力狀態 (b)(b)位移狀態位移狀態 LbaBCBCC虛力方程虛力方程 求位移。求位移。 虛位移方程虛位移方程求內力、約束力；求內力、約束力；由于虛功中的由于虛功中的兩種狀態不相關兩種狀態不相關的特點，的特點，可使其中的一種狀態是虛設的，而另一可使其中的一種狀態是虛設的，而另一種是真實的狀態。因此，虛功方程演變種是真實的狀態。因此，虛功方程演變出兩種形式及應用：出兩種形式及應用： v 虛位移方程及應用（剛體系）虛位移方程虛位移方程使體

5、系上使體系上真實的平衡力系真實的平衡力系，在體系，在體系可能的任意可能的任意微小的剛體虛位移微小的剛體虛位移上，上，所作的外力總虛功等于零的方程。所作的外力總虛功等于零的方程。虛位移方程用于求真實的未知力（內力、約虛位移方程用于求真實的未知力（內力、約束力、支座反力）。束力、支座反力）。虛位移方程用于求真實的未知力虛位移方程用于求真實的未知力（內力、約束力、支座反力）。（內力、約束力、支座反力）。 如圖如圖3 3所示以杠桿（機構），所示以杠桿（機構），B端上有端上有一集中荷載一集中荷載FP，求，求A端需用多大的力端需用多大的力FA，該杠桿體系能平衡。，該杠桿體系能平衡。(a) (b) 圖3 使

6、機構發生約束允許的任意使機構發生約束允許的任意微小剛體虛位移微小剛體虛位移，見，見圖圖(b)(b)。因為欲求的力。因為欲求的力FA要使圖要使圖(a)(a)所示體系為平所示體系為平衡力系，所以該力系上的所有外力在圖衡力系，所以該力系上的所有外力在圖(b)(b)所示所示的虛位移上總外力虛功等于零，得虛位移方程：的虛位移上總外力虛功等于零，得虛位移方程： 0BPAAFF即：即： PABAFF由虛位移圖的幾何關系，知：由虛位移圖的幾何關系，知：acAB ()() PAFacF 所以：所以：LbaBCB C BPCBB(=1)(a) (b) 例例1 1試用試用單位位移法單位位移法（虛位移法）求圖（虛位移

7、法）求圖(a)(a)所示簡支梁的支座所示簡支梁的支座B的約束反力。的約束反力。 分析分析：圖圖(a)(a)是一個平衡力系。是一個平衡力系。圖圖(b)(b)是可繞是可繞A鉸作剛體轉動（鉸作剛體轉動（1 1個自由個自由度）的體系。度）的體系。 可知，靜定結構可利用剛體的虛功原理可知，靜定結構可利用剛體的虛功原理（虛位移方程）求力。（虛位移方程）求力。求解：(1)(1)去掉去掉B支座鏈桿支座鏈桿(2)(2)按擬求支座反力讓機構發生按擬求支座反力讓機構發生 單位虛位移見圖單位虛位移見圖(b) (b) (3)(3)寫出虛位移方程寫出虛位移方程01PPByFF(4)(4)求解虛位移方程求解虛位移方程v 虛

8、力方程及應用虛力方程及應用使體系上使體系上虛設的平衡力系虛設的平衡力系，在，在體系真實的剛體位移上所作的體系真實的剛體位移上所作的外力總虛功等于零的方程。外力總虛功等于零的方程。 虛力方程虛力方程虛力方程用以求真實的位移(a) LcdBkk(b) Bk圖4靜定結構在支座發生位移時，是靜定結構在支座發生位移時，是滿足約滿足約束允許的剛體位移，并且不產生內力。束允許的剛體位移，并且不產生內力。 在擬求位移截面，按假定的位移方向，作在擬求位移截面，按假定的位移方向，作用一用一單位集中荷載單位集中荷載（或單位力，或單位力（或單位力，或單位力偶），由平衡條件可求得虛力狀態的支座偶），由平衡條件可求得虛力

9、狀態的支座反力，進而利用虛力原理求得位移。故該反力，進而利用虛力原理求得位移。故該方法又稱為方法又稱為單位荷載法單位荷載法。 虛設力狀態虛設力狀態如圖如圖4(b)4(b)所示所示 在支座移動時的位移計算公式EGCDEGCD3RF1RF2RF(a) (b) 圖5 虛力方程01332211cFcFcFRRR則所求位移為： 31iRicF例26m6m4m10cm20cmC(1)(1)求頂鉸求頂鉸C C的豎向位移；的豎向位移；(2)求求C C鉸兩側截面的相對轉角位移鉸兩側截面的相對轉角位移求解：(1) CF=3/4BxF=1/2By(2)(2)按位移計算公式計算位移按位移計算公式計算位移21)(5 .

10、17)1043()2021(cmcFiRiCV(3)(3)計算頂鉸兩側截面的相對計算頂鉸兩側截面的相對 轉角位移轉角位移 F=0ByCF=1/4Bx相對轉角位移 215 . 2)1041(radcFiRi () 思考思考n1、虛位移原理和虛力原理的相同點和不同點。n2、已知支座位移，如何求解靜定結構的位移？第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7 變形體的虛功原理 n5-8 互等定理 n局部變形時靜定結構的位

11、移計算舉例n局部變形時的位移公式n結構位移計算的一般公式n位移計算的一般步驟 n廣義位移和虛設狀態 圖示懸臂梁在B處兩個相鄰截面有相對轉角 。求A點的豎向位移例1解：圖a中的實際位移狀態改用圖b來表示。在B處加鉸，把實際位移狀態明確的表示為剛體體系的位移狀態。虛設力系如圖c所示，在A點沿擬求位移方向虛設單位荷載，在鉸B處還必須虛設一對彎矩 。M一、局部變形時靜定結構的位移計算舉例解答1Ma 10MMa 根據平衡條件可求出：圖c中的平衡力系在圖b中的實際位移上作功，得虛功方程如下：解得：圖a中，截面B有相對剪切位移 ，試求A點與桿軸成 角的斜向位移分量 。例2解：如圖b所示，將截面B切開，加上兩

12、根平行桿軸的鏈桿，使能產生相對剪切位移，但不能產生相對軸向位移，從而把實際位移狀態明確地表示為剛體體系的位移狀態解答sinQF10QF在擬求位移的方向虛設單位荷載。為保證剛體平衡，在截面B的兩側設一對剪力Q，其數值可根據平衡條件求出圖c中的平衡力系在圖b中的實際位移上作功，得虛功方程解得sinQF 圖示為局部變形問題的一個典型情況。懸臂梁除B點附近有微段ds有局部變形外，結構其它部分沒有變形。微段的局部變形包括三部分：軸線伸長應變為 ；平均剪切應變為 ；軸線曲率為二、局部變形時的位移公式0微段兩端截面的三種相對位移(b)相對軸向位移相對剪切位移相對轉角位移局部變形時的位移公式0ddsddsds

13、ddsRd應用剛體體系虛功原理，根據截面B的相對位移，分別求出A點的位移 。并將結果進行疊加，得局部變形位移公式：0()NQNQdMdF dF dMFFds 三、結構位移計算的一般公式0()NQRKKMFFdsF c 01()RKKNQF cMFFds這里的積分號表示沿桿件長度積分，總和號表示對結構中各桿求和。其中最后一項表示給定支座位移cK的影響。結構位移計算的一般公式還可用變形體的虛功原理導出。由外虛功內虛功，即得iWW一般公式四、結構位移計算的一般步驟 求結構在某一點沿某一方向的位移，其計算步驟為：(1) 虛設一單位荷載狀態，在結構的所求位移處作用與位移相應的單位荷載，注意單位荷載應與所

14、求位移相一致。(2) 在單位荷載作用下，根據平衡條件，求出結構的內力和支反力。(3) 利用結構位移計算的一般公式求出相應的位移，計算出的結果為正值時，則表明所求位移與單位荷載方向一致，負值時則表明實際位移與單位荷載方向相反。 0()NQRKKMFFdsF c 廣義位移的計算 本章所討論的位移可以引申為廣義位移：它既可以是某點沿某一方向的線位移或某一截面的角位移，也可以是某兩個截面的相對位移等。為了能夠應用位移計算的一般公式，虛設單位荷載必須與所求位移產生虛功，因此，虛設單位荷載應與廣義位移相一致。廣義位移和虛設狀態 求一點水平方向線位移，沿水平方向加單位集中力實際結構荷載求一點角位移，加單位力

15、偶 求兩點相對位移在其連線加一對反向單位集中力 求一點豎直線位移，沿豎直方向加單位集中力 求兩截面相對轉角，加一對反向單位力偶 水平位移轉角位移相對角位移豎向位移相對線位移桁架的轉桁架的轉角位移？角位移？作業nP163n5-1（c）；5-3n5-8第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7 變形體的虛功原理 n5-8 互等定理 n計算步驟n各類結構的位移公式 n截面平均切應變 和系數k 計算步驟計算荷載作用下的

16、位移時，可按下列順序求出：荷載內力應力應變，下為靜定結構的彈性位移的具體計算步驟：（1）根據荷載情況，求出結構各截面的內力；（2）根據內力，求出相應的彎曲、拉伸、剪切應變： （3）將上述應變代入靜定結構位移計算的一般公式，可得：dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNPGAkFEAFEIMQPNPP0,各類結構的位移公式(1) 梁和剛架 由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位移計算可簡化為 (2) 桁架 桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面積、軸力均為常數，故位移計算可簡化為 dsEIMMPEAlFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPN各類結構的位移公式(3) 組合結構桁

17、梁混合結構中，一些桿件以彎曲為主，一些桿件只受軸力，故位移計算可簡化為 (4) 拱 對于拱結構，當壓力線與拱軸線相近時，應考慮彎曲變形和軸向變形，即 dsEAFFdsEIMMNPNPEAlFFdsEIMMNPNP截面平均切應變 和系數k 001ASdAIb根據截面切應變的分布函數 ，應用虛功原理推得截面平均切應變為：( )y根據荷載引起的剪力求出切應變，代入上式可進一步推導出截面形狀系數k的公式，根據不同的截面形狀，系數k可做如下取值：矩形 6/5圓形 10/9薄壁圓環形 2工字形或箱形 A/A1(腹板)第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計

18、算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7 變形體的虛功原理 n5-8 互等定理 n梁的位移計算n桁架的位移計算n曲桿的位移計算例3求圖示懸臂梁A端的豎向位移 ，并比較彎曲變形與剪切變形對位移的影響。設梁的截面為矩形。彎曲位移虛設單位荷載實際荷載qxFFqxMQPNPP, 0,2121, 0,QNFFxMGAqldxqxGAdsGAFFkEIqldxqxxEIdsEIMMlQPQQlPM204026 . 0)(1(2 . 1821)(1總位移420.68MQqlqlEIGA 由于梁的軸力為零，故總位

19、移為較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。二者的比值為2420.64.88QMqlEIGAqlGAlEI對比討論21.07( )QMhl2h設橫向變形系數u=1/3，E/G=2(1+u)=8/3，對于矩形截面，I/A= /12(h為截面高度)，代入上式，得：當梁的高跨比h/l是1/10時，則 1.07，剪力影響約為彎矩影響的百分之一，故對于一般的梁可以忽略剪切變形對位移的影響。但是，當高跨比增大為0.5時，上式的比值增大為0.27，因此，對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。QM例4圖a為一屋架，屋架的上弦桿和其它壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其它拉桿采用鋼桿。計算簡圖如b所示。設屋架承受均布荷

20、載q作用。試求頂點C的位移。內力Np(1F)N11Fl AE桿件FNP(kN)l(cm)A(cm2)材料 AD-4.74F0.263lA1鋼筋混凝土1.58 1.97DC-4.42F0.263lA11.58 1.84 /DE-0.95F0.088l0.75A10 0 /C E1.50F0.278lA2鋼筋0 0A E4.50F0.278l3A21.50 0.63 /EG3.00F0.222l2A21.50 0.5 /合計 1.1322Fl A EPNN lEA22Fl A EN桁架的位移計算1A2A上表中 是上弦桿的截面面積： 1824432。表中的 是 22鋼筋的截面面積，等于3.8。112

21、241523.811.132()13000/,3900043.0 102.0 101.66( )CCFlAEA EqlqN m FNEMPaEMPacm 1A根據表中的結果，即得：設原始數據給定如下（跨度L12m）：荷載混凝土鋼筋代入上式可得：例5.曲桿的位移計算圖6a所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧AB的圓心角為 ，半徑為R。設均布豎向荷載q沿水平線作用。試求B點的豎向位移。曲桿的位移計算PPPMMNNQQ kdsdsdsEIEAGA 實際荷載虛設荷載212sincosPPPMqxNqxQqx sincosMxNQ 曲桿的位移計算,MNQ,M N Q用 分別表示 所引起的位移，

22、得3222sincosAAPMBBAAPNBBAAPQBBMMqdsx dsEIEINNqdsxdsEAEAQQ kkqdsxdsGAGAsin ,(1 cos ),xRyRdsRd用 作變數曲桿的位移計算4223233MNQqREIqREAkqRGA43232321(coscos)23321(coscos)331(1 cos)3MNQqREIqREAkqRGA 如果 ，則090代入上式并積分得作業5-9；5-11第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖

23、乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7 變形體的虛功原理 n5-8 互等定理 n圖乘法及其應用條件 n幾種常見圖形的面積和形心位置 n應用圖乘法時的幾個具體問題 圖乘法及應用條件 y0是在MK 圖形心C 對應處的Mi 圖標距，A 是MK 圖的面積。BABAkBAkixdAEIdsMxEIdsEIMMtantan1dsMdAk利用靜矩的概念0AxxdABAEIAyAxEI00tan圖乘法及應用條件1. 應用條件桿段應是等截面直桿段；兩個圖形中至少有一個是直線，標距 y0 應取自直線圖形中。2. 正負號規定面積 A 與標距 y0 在同一側時，乘積取正號；反之取負號。常見圖形的面積和形心 三

24、角形二次拋物線二次拋物線二次拋物線三次拋物線n 次拋物線應用圖乘法時的幾個具體問題 (1)如果兩個圖形都是直線圖形,則標距可任取自其中一個圖形。(2)如果一個圖形為曲線，另一個圖形為折線，則應分段考慮。(3) 如果圖形比較復雜，可以將圖形分解為幾個簡單圖形，分項計算后再進行疊加。 2211yAyAdxMMki332211yAyAyAdxMMki應用圖乘法時的幾個具體問題 (4)對于非標準拋物線的圖乘，由于彎矩圖中的非標準拋物線是由疊加原理獲得，因此可以將非標準拋物線分解為標準拋物線圖形和直線圖形。 例4 試計算下圖所示懸臂粱B 點的豎向位移，EI 為常數。 解答 )(3322111320EIP

25、llPlEIdxMMEIlP22121PllPlAlly32320例5 試求出下圖所示剛架結點B 的水平位移,EI 為常數。 解答 )(83211232432414333EIqllqllqllqlEIdsEIMMP128324,422132332321qllqlAqlAqllqlAlylyly21,32,323212/2ql2/2ql作業P202 5-21；5-24第5章虛功原理與結構位移計算 n5-1 應用虛力原理求剛體體系的位移 n5-2 結構位移計算的一般公式 n5-3 荷載作用下的位移計算 n5-4 荷載作用下的位移計算舉例n5-5 圖乘法 n5-6 溫度改變時的位移計算 n5-7變形

26、體的虛功原理 n5-8 互等定理 溫度作用時的位移計算對于靜定結構溫度變化時，材料發生伸縮變形，結構因而產生位移。位移的計算仍然應用虛功原理。下圖所示位移剛架結構，桿件的上邊緣溫度上升t1，下邊緣上升t2，沿截面高度h是按直線變化的，變形后截面仍將保持為平面。 線膨脹系數 溫度改變時的位移計算軸線處溫度升高曲率線膨脹系數 1212210,ttthththt0t軸向應變hthdsdsttdsd)(12溫度改變時的位移計算應用虛功原理可得 dstFdshtMdsFdsMNN0dsFtdsMhtN0當溫度、桿的高度沿每一根桿件的全長為常數時，可得 例6-5 試分析下圖所示剛架 C 點的水平位移，已知剛架各桿外側溫度無變化，內側溫度上升了10 0C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對稱，截面高為 h，線膨脹系數為。 解答aahdsFtdsMhtN101020CtttCttt10,5)(2112210例6試求圖示剛架C點的豎向位移。梁