1、抗震結構設計多媒體講義第三章 重點掌握 底部剪力法 振型分解反應譜法 了解內容 豎向地震作用 罕遇地震作用下的抗震變形驗算本章學習內容p 地震作用；地震作用；p 地震作用效應；地震作用效應；p 建筑結構的動力特性；建筑結構的動力特性；p 地震反應；地震反應；p 求解方法：求解方法：p 靜力法；靜力法；p 反應譜法；反應譜法；p 時程分析法；時程分析法；p Push OverPush Over分析法。分析法。概述概述單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.1 計算簡圖計算簡圖 某些工程結某些工程結構，如單層廠房構，如單層廠房、水塔等，可將、水塔等，可將該結構中參與振該

2、結構中參與振動的所有質量全動的所有質量全部折算至頂部，部折算至頂部，而將墻、柱視為而將墻、柱視為一個無重量的彈一個無重量的彈性桿，這樣就形性桿，這樣就形成了一個單質點成了一個單質點體系。體系。運動方程建立方法D.Alembert原理虛位移原理Hamiltion原理 能量法單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.2 運動方程運動方程x0(t)x(t)外力與慣性力相互平外力與慣性力相互平衡，即外力與慣性力衡，即外力與慣性力之和之和=0S阻尼力阻尼力D彈性恢復力彈性恢復力S慣性力慣性力I 單質點動力方程的建立單質點動力方程的建立 (Jean Le Rond dAlembe

3、rt,1717-1783)法國著名的物理學家、數學家和天文學家 )()(0txtxmI (t)x-cDkx(t)S022xxxx 單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.2 運動方程運動方程S 0( )( )( )( )mx tcx tkx tmx t I+S+D=0:2;/:則有令mCmk原理 可見，單質點彈性體可見，單質點彈性體系在地震作用下的運動方系在地震作用下的運動方程，即結構動力學中的單程，即結構動力學中的單質點強迫振動質點強迫振動.)()(0txtxmI )(tx-cD)(tkxS單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.3 自

4、由振動自由振動022xxx 1.1.自由振動方程自由振動方程X(0)=0=0.05=0.2sin)0()0(cos)0()(txxtxetxt單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.2 運動方程運動方程單位: s單位: 1/s(Hz)單位: rad/s=2 f=2/TT=1/f=2/212.2.自振周期與自振頻率自振周期與自振頻率單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.2 運動方程運動方程m/k圓頻率(角頻率)、質量質量剛度剛度阻尼阻尼系數系數m/c2阻尼比kmmcr22臨界阻尼系數cr020.050.s.T0600當當=1時的阻尼時的阻

5、尼系數即為系數即為Cr3.3.質量、剛度與阻尼質量、剛度與阻尼單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.4 強迫振動強迫振動1.瞬時沖量及其引起的自由振動P 荷載荷載P與作用時間與作用時間dt乘積乘積 Pdt稱為沖量稱為沖量, 由由動量定律得動量定律得, 其值等于動量的增量其值等于動量的增量Pdt=mv-mv0如質點初始為靜止狀態，則有如質點初始為靜止狀態，則有v=Pdt/m(0)0 x(0)/xPdt m(0)(0)( )e (0)cossintxxx txtt( )esintPdtx ttmtx(t)tP(t)t面積=Pdt單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈

6、性體系的地震反應分析3.2.4 強迫振動強迫振動2.杜哈默積分20:2xxxx 目的 方程的特解dt)t(x0 ( )esintPdtx ttm d )(xPdt0 m=1tt()0( )( )esin()txdx ttd tP(t)t面積=Pdt(Duhamel)杜哈默積分()0001( )( )( )esin()tttx tdx txtdDied 29 Apr 1872 (born 5 Feb 1797) French mathematician and physicist who proposed a theory dealing with the transmission of hea

7、t in crystal structures based on the work of the French mathematiciansJean-Marie-Constant Duhamel單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.4 強迫振動強迫振動單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析3.2.4 強迫振動強迫振動2.杜哈默積分tttdtxtxxtxtx0)(0)(sine )(1sin) 0 () 0 (cos) 0 (e)( 0( )( )( )( )mx tcx tkx tmx t 022xxxx 通解特解 當體系的初始狀態為靜止時,

8、其初位移和初速度均為0, 則上式中的第一項為0, 故杜哈默積分也就是初始處于靜止狀態的單自由體系地震位移反應的計算公式.單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.1 水平地震作用水平地震作用 的基本公式的基本公式0( )( )( )( )mx tcx tkx tmx t )t(kx)t(xm)t(xm 0)t(xc)t(kx)t(xm)t(xm)t(I 0)()()(0txtxta ()00( )( )sin()tta txetd max| )(|taSa)(txmk)(tx2ttdtextx001)(sin)()()( 單自由度彈性體系的水平地震

9、作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.1 水平地震作用水平地震作用 的基本公式的基本公式 慣性力不是真實作用于建筑上的力；慣性力不是真實作用于建筑上的力； 質點的相對位移與慣性力成正比；質點的相對位移與慣性力成正比； 慣性力可以反映地震對建筑物影響的大小；慣性力可以反映地震對建筑物影響的大小； 利用慣性力的最大值對結構進行抗震驗算，就可以利用慣性力的最大值對結構進行抗震驗算，就可以 將動力轉化為靜力問題；將動力轉化為靜力問題； 慣性力慣性力I(t)正比與加速度，所以質點絕對加速度的正比與加速度，所以質點絕對加速度的 最大值是抗震設計的關鍵。最大值是抗震設計的關鍵。單自由

10、度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.2 地震反應譜地震反應譜2()max0max022| ( )|( )sin()|ttTaSa txetdTT 地面運動加速度記錄)(x0 阻尼比阻尼比=0.05 結構自振周期結構自振周期T=0.88s)t(x)t(x)t(a 0t)t(d )t(sine )(x)t(a00 T-Sa加速度反應譜Response spectrummaxa|)t(a|S改變值改變值反應譜法的發展與地反應譜法的發展與地震地面運動的記錄直接相震地面運動的記錄直接相關。關。1923年，美國研制出年，美國研制出第一臺強震地震地面運動第一臺強

11、震地震地面運動記錄儀，并在隨后的幾十記錄儀，并在隨后的幾十年間成功地記錄到許多強年間成功地記錄到許多強震記錄，其中包括震記錄，其中包括1940年的年的ElCentro波波和和1952年年的的Taft波波等多條著名的強震等多條著名的強震地面運動記錄。地面運動記錄。1943年發年發表了以實際地震紀錄求得表了以實際地震紀錄求得的加速度反應譜。的加速度反應譜。單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.2 地震反應譜地震反應譜Number of Points=2688; Time Interval=0.02sMaximum=3417.00mm/s2(at 2

12、.14 seconds)Minimum=-2631.00mm/s2 (at 2.46 seconds)IMPERIAL VALLEY EARTHQUAKE - EL CENTRO MAY 18, 1940T2單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.2 地震反應譜地震反應譜 時間 t結構自振周期 T 時間 t0絕對加速度 a(t) 時間 tT0T10123456Ta(t).0.0.0.0單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜水平地震作用的水平地震作用的絕對最大值絕對最大值F=

13、mSa已知周期已知周期T和阻尼比和阻尼比 加速度反應譜加速度反應譜 通過加速度反應譜，通過加速度反應譜，可以求出特定地震記錄下可以求出特定地震記錄下任一單自由度彈性體系的任一單自由度彈性體系的最大水平地震作用。最大水平地震作用。 加速度反應譜帶加速度反應譜帶量綱，無法進行多波量綱，無法進行多波比較。不便于設計人比較。不便于設計人員使用。員使用。標準反應譜標準反應譜GkxSgxmgmSFmax0max0aa g|x|kmax0 地震系數地震系數maxa|x|S0 動力系數動力系數單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜max

14、0| x 0max|xkg1.地震系數 地震系數表示地面運動的最大加速度與重力加速度之比。地震系數表示地面運動的最大加速度與重力加速度之比。 地面運動加速度愈大，則地震烈度越高，故地震系數與地震地面運動加速度愈大，則地震烈度越高，故地震系數與地震烈度之間存在一定的對應關系。烈度之間存在一定的對應關系。 烈度每增加一度，地震系數烈度每增加一度，地震系數 k值將大致增加一倍。值將大致增加一倍。 地震系數與地震烈度的關系如下：地震系數與地震烈度的關系如下：地震系數地震系數k地震系數與地震烈度的關系地震系數與地震烈度的關系單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜

15、3.3.3 標準反應譜標準反應譜max0| x 2.動力系數 動力系數是單質點最大絕對加速度與地面最大加速度之比。動力系數是單質點最大絕對加速度與地面最大加速度之比。 動力系數表示單質點的動力效應，表示質點的最大絕對加速動力系數表示單質點的動力效應，表示質點的最大絕對加速度比地面最大加速度放大了多少倍。度比地面最大加速度放大了多少倍。 值與地震烈度無關，有利于多條地震記錄進行了比較和統值與地震烈度無關，有利于多條地震記錄進行了比較和統計。計。 0max|aSx單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜max0| x 3.標準

16、反應譜 與與T 的關系曲線稱為的關系曲線稱為譜曲線；譜曲線； 它與加速度反應譜在形狀上完全一樣；它與加速度反應譜在形狀上完全一樣；反應反應譜又稱標準反應譜。譜又稱標準反應譜。0.05.02.50.731.472.202.933.670.00(a/g)(T/s)Damping ratio=0.00Damping ratio=0.05Damping ratio=0.100.05.02.52.04.06.08.010.0(T/s)Damping ratio=0.00Damping ratio=0.05Damping ratio=0.101.0EL-centro波的標準加速度反應譜波的標準加速度反應譜

17、EL-centro波的加速度反應譜波的加速度反應譜 標準反應譜標準反應譜(反應譜反應譜)與加速度反應譜的區別與加速度反應譜的區別單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜3A. 平均反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜n 1 9 5 9 年 ， 美 國 人年 ， 美 國 人Housner為了將已獲得為了將已獲得的強震記錄用做抗震的強震記錄用做抗震設計的依據，提出了設計的依據，提出了平均反應譜的概念。平均反應譜的概念。n 平均反應譜是將多平均反應

18、譜是將多條反應譜曲線進行簡條反應譜曲線進行簡單的平均或經過一定單的平均或經過一定的統計平均后給出一的統計平均后給出一條完全光滑的曲線。條完全光滑的曲線。n 平均反應譜可以是平均反應譜可以是有量綱的加速度反應有量綱的加速度反應譜，也可以是無量綱譜，也可以是無量綱的標準反應譜。的標準反應譜。多條波的平均加速度反應譜多條波的平均加速度反應譜 影響反應譜影響反應譜的因素的因素單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜場地條件對反應譜的影響場地條件對反應譜的影響0.05.02.52.04.06.08.010.0(T/s)硬土硬土巖石巖

19、石軟土軟土1.0p在平均反應譜曲在平均反應譜曲線中，線中，的最大值的最大值max當阻尼比為時，平均當阻尼比為時，平均為；為；p場地越硬，自振場地越硬，自振周期越小的建筑地震周期越小的建筑地震反應越大；場地越軟，反應越大；場地越軟，自振周期偏大的建筑自振周期偏大的建筑地震反應越大；地震反應越大；p結構的自振周期結構的自振周期與場地的自振周期接與場地的自振周期接近時，結構的地震反近時，結構的地震反應最大。應最大。 影響反應譜影響反應譜的因素的因素單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.3 標準反應譜標準反應譜 當地震烈度基本當地震烈度基本相同時，震中

20、距遠時，相同時，震中距遠時，峰值點偏于較長的周期，峰值點偏于較長的周期，近時則偏于較短的周期；近時則偏于較短的周期； 在離大地震震中在離大地震震中較遠的地方，高柔結構較遠的地方，高柔結構因其周期較長所受到的因其周期較長所受到的地震破壞，將比在同等地震破壞，將比在同等烈度下較小或中等地震烈度下較小或中等地震的震中區所受到的破壞的震中區所受到的破壞更嚴重。更嚴重。震中距對加速度反應譜的影響震中距對加速度反應譜的影響0.05.02.50.731.472.202.933.670.00(a/g)(T/s)M=7.75,R=80kmM=6.75,R=30kmM=5.75,R=16km單自由度彈性體系的水平

21、地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜 Sa/g與體系自振周期與體系自振周期T之之間的關系作為設計用反應譜間的關系作為設計用反應譜，并將，并將Sa/g用用表示，稱表示，稱為地震影響系數，設計反應為地震影響系數，設計反應譜又稱譜又稱反應譜。反應譜。00.1Tg5Tg6.0maxgTT2max450.max2maxgTT.52012T/s地震影響系數地震影響系數曲線曲線maxmaxmaxmax0.452.25kkkxSgxgSmax0m

22、ax0aa 單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜 地震影響系數地震影響系數maxmaxk抗震設防烈度抗震設防烈度6789地震系數地震系數k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40地震影地震影響系數響系數最大值最大值設防烈度設防烈度0.1130.23(0.338)0.45(0.675)0.90多遇烈度多遇烈度0.040.08(0.12)0.16(0.24)0.32罕遇烈度罕遇烈度-0.50(0.72)0.90(1.20)1.40水平地震影響系數最大值水平地震影響系數最大值(阻尼比阻尼比=0.05)單自由度

23、彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜 地震影響系數與地震系數的關系地震影響系數與地震系數的關系抗震設防烈度抗震設防烈度6789地震系數地震系數k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40地震影地震影響系數響系數最大值最大值設防烈度設防烈度0.1130.23(0.338)0.45(0.675)0.90多遇烈度多遇烈度0.040.08(0.12)0.16(0.24)0.32罕遇烈度罕遇烈度-0.50(0.72)0.90(1.20)1.400.1130.230.450.902.250.050.100.200.45kma

24、x 不同烈度下地震影響系數的比例關系不同烈度下地震影響系數的比例關系2.82設防烈度多遇烈度2罕遇烈度約 倍設防烈度單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜 特征周期特征周期 Tg特征周期特征周期 (s)設計地震分組設計地震分組場場 地地 類類 別別IIIIIIIV第一組第一組0.250.350.450.65第二組第二組0.300.400.550.75第三組第三組0.350.450.650.90 特征周期是對應于反應譜峰值區拐點的周期，可根據特征周期是對應于反應譜峰值區拐點的周期，可根據場地類別和地震動參數區劃的特征周期分

25、區采用。場地類別和地震動參數區劃的特征周期分區采用。 其值與建筑物所的在地區可能發生地震的震源機制、其值與建筑物所的在地區可能發生地震的震源機制、震級大小、震中距遠近及場地條件等有關。震級大小、震中距遠近及場地條件等有關。單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應譜3.3.4 設計反應譜設計反應譜 設計地震分組設計地震分組 為了與我國地震動參數區劃圖接軌；為了與我國地震動參數區劃圖接軌； 將將89規范的設計近震和設計遠震改為設計地震分組；規范的設計近震和設計遠震改為設計地震分組； 特征周期不僅與場地類別有關，而且還受震級大小、特征周期不僅與場地類別有關，而且

26、還受震級大小、震中距和場地條件的影響，設計地震分組可以反映這些震中距和場地條件的影響，設計地震分組可以反映這些影響；影響； 一般省會城市取第一組，各城市可按規范附錄取值。一般省會城市取第一組，各城市可按規范附錄取值。多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.1 計算簡圖計算簡圖 對于質對于質量比較分散量比較分散的結構，為的結構，為了能夠比較了能夠比較真實地反映真實地反映其動力性能其動力性能，可將其簡，可將其簡化為多質點化為多質點體系，并按體系，并按多質點體系多質點體系進行結構的進行結構的地震反應分地震反應分析。析。不等高單層廠房不等高單層廠房多層框

27、架結構建筑多層框架結構建筑多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.2 運動方程運動方程x2x0(t)11S1 二質點體系的瞬時動力平衡二質點體系的瞬時動力平衡 m1m2x1 0212111212111101xcxcxkxkxxm 0111DSI02222121222121220121211121211111xmxkxkxcxcxmxmxkxkxcxcxm 01 xmxkxcxm 動力方程的建立動力方程的建立多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.2 運動方程運動方程 剛度系數與阻尼系數的求解剛度系數

28、與阻尼系數的求解1m1m2k2k1k2k11k21k2k1k11k2k12k22k200剛剛度度系系數數222221122111kkkkkkkk222221122111kkkkkkkk222221122111cccccccc多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.3 自由振動自由振動002221212221211111xkxkxmxkxkxm 1. 自由振動對于二自由度無阻尼體系，運動方程對于二自由度無阻尼體系，運動方程如下：如下：tXxtXxsinsin2211上述微分方程組的解為：上述微分方程組的解為： 02Xmk寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式

29、為： 02mk頻率方程為：頻率方程為：12112212122212221211211111211121kkmXXxxkkmXXxx對應于對應于2. 主振型振動過程中兩質點的位移比為：振動過程中兩質點的位移比為： 在振動過程中的任意時刻，兩在振動過程中的任意時刻，兩個質點的位移比值保持不變，這種個質點的位移比值保持不變，這種振動形式通常稱為主振型，簡稱振振動形式通常稱為主振型，簡稱振型。型。 由于主振型只取決于質點位移由于主振型只取決于質點位移之間的相對值，故為了簡單起見，之間的相對值，故為了簡單起見，通常將其中某一個質點的位移值定通常將其中某一個質點的位移值定為為1，稱為振型規一化。，稱為振型

30、規一化。多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.3 自由振動自由振動 00kTjkTjXkXXmX3. 主振型的正交性111112122212112222sinsinsinsinxXtXtxXtXt 任一質點的振動都由各主振型疊加而成，質點的位移比例也任一質點的振動都由各主振型疊加而成，質點的位移比例也不再是常數。不再是常數。當 j k 時：當 j = k 時： 廣義剛度廣義質量kkTkkkTkKXkXMXmX多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.3 自由振動自由振動 01710133381488

31、0017101500060148802121.XkXXkX.XmXXmXTkTjTkTjk11 =k1+ k2 = 5104 + 3104=8104kN/mk12 = k21= - k2=-3104kN/mk22 = k2=3104kN/m 11111164.291.977TTXmXMXkXK 222222125.4536.65TTXmXMXkXKm1=60tk1= 5104kN/mm2=50tk2= 3104kN/mX12= 1X11= 0.488X22= -1X21= 1.710 例題例題計算簡圖計算簡圖12多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3

32、.4.4 振型分解法振型分解法 01mxcxkxmx 以二個自由度在地震作用以二個自由度在地震作用下的強迫振動為例，振動方程下的強迫振動為例，振動方程如下：如下：2221222221212221 振型分解法意義在于：振型分解法意義在于： 將將x(t)表示成多個振表示成多個振型的線性組合，而組合系型的線性組合，而組合系數或各個振型對總位移的數或各個振型對總位移的權重（比例）系數為權重（比例）系數為qi(t)，由于，由于x(t)為時間的函數為時間的函數，故，故qi(t)也為時間的函數也為時間的函數，稱，稱 qi(t)為廣義坐標。為廣義坐標。即即x(t)=廣義坐標廣義坐標振型。振型。 從而將多自由度

33、體系從而將多自由度體系的解簡化為單自由度體系的解簡化為單自由度體系的解。的解。11112212112222( )( )( )( )( )( )xtqt Xqt Xxtqt Xqt X解的表達形式如下：解的表達形式如下：此法即為振型分解法此法即為振型分解法（modaldecompositontechqiue）。）。1 111 112 211 112 21 02 221 122 221 122 22 0mx c x c xk x k xmxmxc x c xk x k xmx多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.4 振型分解法振型分解法 對于多自由

34、度體系：對于多自由度體系：11112211121122222211221122( )( )( ).( ).( )( )( )( ).( ).( ).( )( )( ).( ).( )( )( )( ).( ).( )jjnnjjnniiijjinninnnjjnnxtqt Xqt Xqt Xqt Xxtqt Xqt Xqt Xqt Xxtqt Xqt Xqt Xqt Xxtqt Xqt Xqt XqtnnX第第1振型振型第第j振型振型1( )( )nijjx tq t Xj為振型為振型i為質點為質點 01mxcxkxmx 多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振

35、型分解法3.4.4 振型分解法振型分解法 對于多自由度體系：對于多自由度體系： 11112111221222221212.jnjniiiijininnjnnnnnxqXXXXxqXXXXxXqxqXXXXXXXXxq1( )( )nijjx tq t X xXq多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.4 振型分解法振型分解法 對于多自由度體系：對于多自由度體系： ij,j ,iqXx,Xtqtx,jijnji表示振型點令表示質)()(1 瑞利阻尼令kmc,21 01 xmxkxcxm 0211xmxkxkmxm 0211 xmqXkqXkmqXm

36、 TjX兩邊同乘以 qXmXTj njnjTjqqqqX,X,X,XmX 2121jjqM 0211 xmXqKqKMqMTjjjjjjjj 多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.4 振型分解法振型分解法 1201TjjjjjjjjM qMKqK qXmx 0121TjjjjjjjjjXmxKKqqqMMMjjjMK jTjjMImX22120jjjjjjqqqx jjj2221022xqqqjjjjjjj tj)t (jjjjjd )t (sine )(xtttqjj001 2222211121212221221122221221221211

37、22 njjijjnjjijiXtXtqtx11n個獨立的微分方程個獨立的微分方程多自由度體系多自由度體系單自由度體系單自由度體系多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法多自由度彈性體系地震反應分析的振型分解法3.4.4 振型分解法振型分解法 定理定理n,.,j,Xnjjij211112211ninjijiiX.XXX12211nnijjiiiX.XXX11122112222211211221111nnijjiiinnjjnnjjX.XXXX.XXXX.XXX 111inniX 111iTjnniTjmXXmX jTjTjXmXmX1 證明證明:nijiinijiijXmXm121多自由度體系

38、的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法 txtxmtFiii 0 多自由度體系，質點多自由度體系，質點i上的地震上的地震作用為：作用為： njjijjinjjijXttxXtxtx1100 njjjijiittxXmtF10 一般采用的一般采用的方法是先求出對方法是先求出對應于每一振型的應于每一振型的最大地震作用（最大地震作用（同一振型中各質同一振型中各質點地震作用將同點地震作用將同時達到最大值）時達到最大值）及其相應的地震及其相應的地震作用效應，然后作用效應，然后將這些效應進行將這些效應進行組合，以求得結組合，以求得結構的最大地震作構的最大地震作

39、用效應。用效應。多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法1. 振型的最大地震作用 max0ttxXmtFjjijiji 0max,jjiixttgGm g n,.,j,m,.,i,GXFijijjji2121 相應于第相應于第 j 振型自振周期振型自振周期 Tj 的地震影響系數的地震影響系數 集中于集中于 i 質點的重力荷載代表值質點的重力荷載代表值 j 振型的振型參與系數振型的振型參與系數 j 振型振型 i 質點的水平相對位移質點的水平相對位移 如何利用各振型的最大地震作用來總和結構總的地震作用如何利用各振型的最大地震作用來總和結構總的

40、地震作用效應，即產生振型如何組合，以確定合理地震作用效應的問題效應，即產生振型如何組合，以確定合理地震作用效應的問題。 振型組合的方法振型組合的方法平方和開方法（平方和開方法（SRSS法）法）完全二次項組合法（完全二次項組合法（CQC法）法） 將各振型的地震作用效應以平方和開方法求得的結構地震將各振型的地震作用效應以平方和開方法求得的結構地震作用效應，與將各振型的地震作用先以平方和開方法進行組合作用效應，與將各振型的地震作用先以平方和開方法進行組合，隨后計算其作用效應，兩者的結果是不同的。，隨后計算其作用效應，兩者的結果是不同的。 振型個數的取值，一般采用前振型個數的取值，一般采用前23個即可

41、。個即可。多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法2. 振型組合2jSS多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法iiiGXF1111解解: :(1) 相應于第一振型的相應于第一振型的質點水平地震作用為質點水平地震作用為:1158016001358025090211.maxTTgniiiniiiXmXm12111123115048806015048806022.kN940896048802311158011.FkN869895012311158012.Fm1=60tk1= 5104kN

42、/mm2=50tk2= 3104kN/mX12= 1X11= 0.488X22= -1X21= 1.710 例題例題計算簡圖計算簡圖s.T35801s.T156028 8度度,I,I類場地類場地, ,設計地設計地震分組為第一組震分組為第一組. .m1=60tk1= 5104kN/mm2=50tk2= 3104kN/mX12= 1X11= 0.488X22= -1X21= 1.710 例題例題計算簡圖計算簡圖s.T35801s.T15602多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法iiiGXF2222(2) 相應于第二振型的相應于第二振型的質

43、點水平地震作用為質點水平地震作用為:1601600122.maxniiiniiiXmXm1221222330150711601507116022.kN5378960711233016021.FkN31889501233016022.F0.1T2=0.156sTg8 8度度,I,I類場地類場地, ,設計設計地震分組為第一組地震分組為第一組. .多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.1 振型分解反應譜法振型分解反應譜法kN272318869kN41122197110222221.V.V按平方和開方法按平方和開方法,有有:69.840.9第一振型第一振型69.8110.718.

44、337.5第二振型第二振型72.2112.4總剪力圖總剪力圖多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法1.1.結構底部剪力結構底部剪力j j 振型的底部剪力為振型的底部剪力為nijijFV10niijijjGx1niijijjGGxG111niiGG1組合后的結構底部剪力組合后的結構底部剪力njEKjVF120第第j j振型振型Fj1Fj2Fj3Vj0jjjijjiGxF njniijijjGGxG11211)(G1多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法 njniijijjGGx1121)(12151nn.

45、n n為質點數為質點數高振型影響系數高振型影響系數單質點體系單質點體系, ,=1無窮多質點體系無窮多質點體系, ,=0.75規范取規范取=0.85,G.Gniieq1850GFeqEk1Geq結構等效總重力結構等效總重力荷載代表值荷載代表值FEK結構底結構底部總剪力部總剪力iiiiGXFF11112.2.質點的地震作用質點的地震作用iiGH1111111nnEKiiiiiFFH G 111niiiH G nkkkEKGHF111地震作用下各樓層地震作用下各樓層水平地震層間剪力水平地震層間剪力為為多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法質點的地震作用為

46、質點的地震作用為EKnkkkiiiFGHGHF1nikkiFVH1G1GiHinF1FiFiHX1nX1iX111H 頂部附加地震作用的計算頂部附加地震作用的計算 當層數較多時，由于當層數較多時，由于高振型高振型的影的影響，按上式計算的頂部地震剪力偏小響，按上式計算的頂部地震剪力偏小, ,故故需調整。需調整。 為了修正，在頂部附加一個集中力為了修正，在頂部附加一個集中力FFn n。多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法1HkHH1G1GiHknF1FiFX1nX1iX11FnEKnnFF頂部附加地震作用系數頂部附加地震作用系數頂部附加水平地震作用頂

47、部附加水平地震作用)1 (1nEKnkkkiiiFGHGHF頂部附加地震作用系數頂部附加地震作用系數多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法21850iieqgm.G解解: :(1) 等效總重力荷載代等效總重力荷載代表值為表值為:kN916895060850.eq1GFEKkN110691611580.(2) 結構總水平地震作用為結構總水平地震作用為:(3) 各質點的地震作用為各質點的地震作用為:1(1)iiiEKnnkkkH GFFH G1158016001358025090211.maxTTgm1=60tm2=50tX12= 1X11= 0.48

48、8X22= -1X21= 1.710 例題例題s.T35801s.T156028 8度度,I,I類場地類場地, ,設計地震分組設計地震分組為第一組為第一組. .多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法10.080.070.08 0.3580.070.0986nT因因T1Tg1112160 9.8 4(1)106.1 1 0.098635.9kN60 9.8 4 50 9.8 8EKnkkkHGFFH G 259.8kNF kN510110609860.FFEKnn59.835.910.572.2112.470.3106.2m2=50tm1=60t 底

49、部剪力法的適用條件底部剪力法的適用條件多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法底部剪力法適用于一般的多層磚房等砌體結構、內框架和底部框架底部剪力法適用于一般的多層磚房等砌體結構、內框架和底部框架抗震墻磚房、單層空曠房屋、單層工業廠房及多層框架結構等低于抗震墻磚房、單層空曠房屋、單層工業廠房及多層框架結構等低于40m以剪切變形為主的規則房屋。以剪切變形為主的規則房屋。 突出屋面附屬結構地震內力的調整突出屋面附屬結構地震內力的調整 震害表明，突出屋面的屋頂間（電梯機房、水箱間）、女兒墻、煙囪震害表明，突出屋面的屋頂間（電梯機房、水箱間）、女兒墻、煙囪等，

50、它們的震害比下面的主體結構嚴重。等，它們的震害比下面的主體結構嚴重。 原因是由于突出屋面的這些結構的質量和剛度突然減小，地震反應隨原因是由于突出屋面的這些結構的質量和剛度突然減小，地震反應隨之增大。之增大。鞭梢效應鞭梢效應 抗震規范抗震規范規定：采用底部剪力法時，突出屋面的屋頂間規定：采用底部剪力法時，突出屋面的屋頂間、女兒墻、煙囪等的地震鞭梢效應，宜乘以增大系數、女兒墻、煙囪等的地震鞭梢效應，宜乘以增大系數3 3。此增大。此增大部分不應向下傳遞，但與該突出部分相連的構件應計入。部分不應向下傳遞，但與該突出部分相連的構件應計入。 鞭梢效應鞭梢效應多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震

51、作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法m1=60tk1= 5104kN/mm2=50tk2= 3104kN/mX12= 1X11= 0.4881m1=60tk1= 5104m2=6tk2= 0.5104 02mk06105010501050601055244424.04469175024.20834121. 當頂層質點的當頂層質點的質量與剛度都大幅質量與剛度都大幅度減小時，頂點相度減小時，頂點相對位移大幅增加的對位移大幅增加的現象，稱為鞭梢效現象，稱為鞭梢效應。應。 鞭梢效應鞭梢效應多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用3.5.2 底部剪力法底部剪力法121121111121112

52、1kkmXXxx對應于110105010558341604421112.xxm1=60tk1= 5104kN/mm2=50tk2= 3104kN/mX12= 1X111m1=60tk1= 5104kN/mm2=6tk2104kN/m13.8.1 高聳結構和高層建筑高聳結構和高層建筑3.8 豎向地震作用豎向地震作用 震害調查表明震害調查表明, ,在高烈度區在高烈度區, ,豎向地震對高柔結構影響明顯豎向地震對高柔結構影響明顯, ,其豎向地震作用在結構上部可達其重量的其豎向地震作用在結構上部可達其重量的40%以上。以上。 我國抗震設計規范規定：我國抗震設計規范規定：8 8度和度和9 9度的大跨度結構

53、、長懸臂結度的大跨度結構、長懸臂結構；煙囪和類似的高聳結構；構；煙囪和類似的高聳結構；9 9度時的高層建筑。應考慮豎向地度時的高層建筑。應考慮豎向地震作用的不利影響。震作用的不利影響。 分析結果表明：分析結果表明： 高聳結構和高層建筑豎向第一振型的地震內力與豎向前高聳結構和高層建筑豎向第一振型的地震內力與豎向前5個振型按平方和開方組合的地震內力相比較，誤差僅在個振型按平方和開方組合的地震內力相比較，誤差僅在5%15%; 豎向第一振型的數值大致呈倒三角形式；豎向第一振型的數值大致呈倒三角形式； 豎向地震下，結構的基本周期小于場地特征周期。豎向地震下，結構的基本周期小于場地特征周期。 因此，高聳結

54、構和高層建筑豎向地震作用可按與底部剪力法因此，高聳結構和高層建筑豎向地震作用可按與底部剪力法類似的方法計算。類似的方法計算。3.8.1 高聳結構和高層建筑高聳結構和高層建筑3.8 豎向地震作用豎向地震作用H1G1HiGnGiFviFvnFEvkYnYi 豎向地震作用的計算公式豎向地震作用的計算公式Evkv1eqFGViEvk1iinjjjG HFFG H規范要求：規范要求：9 9度時的高層建度時的高層建筑，樓層的豎向地震作用效應筑，樓層的豎向地震作用效應可按各構件承受的重力荷載代可按各構件承受的重力荷載代表值的比例分配，并宜乘以的表值的比例分配，并宜乘以的增大系數。增大系數。maxv,v1niieqG.G1750maxmaxv,650.0.250.250.209 90.13(0.19)0.13(0.19)0.10(0.15)8 80.200.150.159 90.10(0.15)0.08(0.12)可不計算（可不計算（0.10)8 8、 鋼筋混凝土鋼筋混凝土屋架屋架平板型網架平板型網架鋼屋架鋼屋架結構類型結構類型烈烈度度場地類別場地類別3.8.2 屋蓋結構屋蓋結構3.8 豎向地震作用豎向地震作用 平板型網架屋蓋與大于平板型網架屋蓋與大于24m屋架的豎