1、第三章第三章 一元流體動力學基礎一元流體動力學基礎 流體運動學研究流體的運動規律，如速度、流體運動學研究流體的運動規律，如速度、加速度等運動參數的變化規律，而流體動力學加速度等運動參數的變化規律，而流體動力學則研究流體在外力作用下的運動規律則研究流體在外力作用下的運動規律,即流體的即流體的運動參數與所受力之間的關系。運動參數與所受力之間的關系。 本章主要介紹本章主要介紹流體運動學和流體動力學的流體運動學和流體動力學的基本知識基本知識,推導出流體動力學中的幾個重要的基推導出流體動力學中的幾個重要的基本方程：本方程：連續性方程、動量方程和能量方程連續性方程、動量方程和能量方程,這這些方程是分析流體

2、流動問題的基礎。些方程是分析流體流動問題的基礎。本章導讀本章導讀一、流場的概念一、流場的概念 流體是由無限多的連續分布的流體質點所組成，流流體是由無限多的連續分布的流體質點所組成，流體的運動一般都是在固體壁面所限制的空間內外進行的。體的運動一般都是在固體壁面所限制的空間內外進行的。例如，室內空氣的流動、室外大氣的繞流、管道中水、蒸例如，室內空氣的流動、室外大氣的繞流、管道中水、蒸氣或煤氣的流動等，都是在建筑物的墻壁、管道的管壁等氣或煤氣的流動等，都是在建筑物的墻壁、管道的管壁等固體壁面所限制的空間內外進行的。因此，流體在流動過固體壁面所限制的空間內外進行的。因此，流體在流動過程中將連續地占據這

3、些空間。我們程中將連續地占據這些空間。我們把流體流動所占據的全把流體流動所占據的全部空間稱為部空間稱為流場流場。流體力學的主要任務就是研究流場中流流體力學的主要任務就是研究流場中流體的運動規律。體的運動規律。第一節第一節 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法1.拉格朗日方法拉格朗日方法（lagrangian method）是以流場中每是以流場中每一流體質點作為描述流體運動的方法，它以流體個別一流體質點作為描述流體運動的方法，它以流體個別質點隨時間的運動為基礎，通過綜合足夠多的質點質點隨時間的運動為基礎，通過綜合足夠多的質點（即質點系）運動求得整個流動。（即質點系）運動求得整個流動。質點

4、系法質點系法研究對象：研究對象：流體質點流體質點空間坐標空間坐標tcbazztcbayytcbaxx,（a,b,c）為）為t=t0起始時刻質點所在的空間位置坐標，起始時刻質點所在的空間位置坐標，稱為稱為拉格朗日數拉格朗日數。 所以，任何質點在空間的位置（所以，任何質點在空間的位置（x,y,z）都可看）都可看作是（作是（a,b,c）和時間）和時間t的函數。的函數。（2）（a,b,c）為變數）為變數，t =const，可以得，可以得出某一瞬間不同質點在空間的分布情況。出某一瞬間不同質點在空間的分布情況。 （1）（a,b,c）=const ，t 為變數，可以為變數，可以得出某個指定質點在任意時刻所處

5、的位置。得出某個指定質點在任意時刻所處的位置。ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx，222222ttcbaztvattcbaytvattcbaxtvazzyyxx，流體質點的其它流動參量可以類流體質點的其它流動參量可以類似地表示為似地表示為a、b、c和和 t 的函數。的函數。如：如： p=p(a，b，c，t)=(a，b，c，t) 由于流體質點的運動軌跡非常由于流體質點的運動軌跡非常復雜，而實用上也無須知道個復雜，而實用上也無須知道個別質點的運動情況，在工程流別質點的運動情況，在工程流體力學中很少采用。體力學中很少采用。 歐拉法歐拉法（euler method）是以流體質點流經流場中

6、）是以流體質點流經流場中各空間點的運動來研究流動的方法。各空間點的運動來研究流動的方法。 流場法流場法 研究對象：研究對象：流場流場u 它不直接追究質點的運動過程，而是以充滿運動它不直接追究質點的運動過程，而是以充滿運動流體質點的空間流體質點的空間流場為對象。研究各時刻質點在流場為對象。研究各時刻質點在流場中的變化規律。固守于流場各空間點流場中的變化規律。固守于流場各空間點, 通過觀察通過觀察在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的運動情況。運動情況。

7、tzyxTTtzyxpptzyxtzyxvv，tzyxuu,寫成分量形式寫成分量形式tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,（x,y,z,t）歐拉變量歐拉變量 流體質點，某一時刻，處于流場不同位置，速度是坐標及時流體質點，某一時刻，處于流場不同位置，速度是坐標及時間的函數，所以流速是間的函數，所以流速是t 的復合函數，對流速求導可得加速度的復合函數，對流速求導可得加速度:dttzyxuda,如：如：dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxx代入上式得代入上式得： zyxudtdzudtdyudtdx , , zuuyuuxuutudtudazyxzuuyuuxuu

8、tudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx等號右邊第一項是時變加速度；后三項是位變加速度；等號右邊第一項是時變加速度；后三項是位變加速度； 引人微分算子引人微分算子:kzjyix)zVyVxVV(-矢量微分算子VVtVtVadd那么zVyVxVttzyxdd引入隨體導數算子：引入隨體導數算子：若流動參數為B (可以是速度,壓強,密度等),則表示流場中一位置固定點,B參數對時間的變化引起,-局部改變率tB.)1zBVyBVxBV.)2zyx表示流場中B參數在空間分布不均勻引起的-遷移改變率u 時變加速度時變

9、加速度（當地加速度）（當地加速度） 流動過程中流體由于速度隨時間變化而引起的加速度；流動過程中流體由于速度隨時間變化而引起的加速度； u 位變加速度位變加速度（遷移加速度）（遷移加速度）流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。在在恒定恒定流中流中,流場中任意空間點的運動要素不隨時間變化流場中任意空間點的運動要素不隨時間變化,所所以時變加速度等于零；以時變加速度等于零； 在在均勻均勻流中流中,質點運動速度不隨空間變化質點運動速度不隨空間變化 ，所以位變加速度，所以位變加速度等于零。等于零。zuuyuuxuutudtudazyx 歐拉法歐拉法

10、 分別描述有限質點的軌跡分別描述有限質點的軌跡同時描述所有質點的瞬時參數同時描述所有質點的瞬時參數不能直接反映參數的空間分布不能直接反映參數的空間分布 直接反映參數的空間分布直接反映參數的空間分布不適合描述流體微元的不適合描述流體微元的運動變形特性運動變形特性適合描述流體微元的適合描述流體微元的運動變形特性運動變形特性 拉格朗日觀點是重要的拉格朗日觀點是重要的流體力學最常用的解析方法流體力學最常用的解析方法拉格朗日法拉格朗日法 第二節第二節 恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流 1.恒定流定義恒定流定義 v恒定流恒定流又稱定常流，是指流場中的流體流動，空又稱定常流，是指流場中的流體流動，空間點上各

11、水力運動要素均不隨時間而變化間點上各水力運動要素均不隨時間而變化即：即： 0, 0, 0三者都等于tututuzyxpptpzyxuutuzyx2.非恒定流的定義非恒定流的定義 l非恒定流非恒定流又稱非定常流又稱非定常流,是指流場中的流體流動空是指流場中的流體流動空 間點上各水力運動要素中間點上各水力運動要素中, 只要有任何一個隨時間的變只要有任何一個隨時間的變 化而變化的流動。化而變化的流動。三者中至少一個即：tzutyutxuzyxpptpzyxuu, 0, 0不等于 問題1：恒定流是： A、流動隨時間按一定規律變化； B、流場中任意空間點的運動要素不隨時間變化； C、各過流斷面的速度分布

12、相同； D、各過流斷面的壓強相同。 問題2： 非恒定流是： A、 ； B、 ； C、 ； D、 。 BB一一. 流線流線 （streamline）1.流線的定義流線的定義表示某表示某一瞬時流體各點流動趨勢一瞬時流體各點流動趨勢的曲線的曲線: 曲線上每一點的速度矢量曲線上每一點的速度矢量總在該點與曲線相切總在該點與曲線相切。右圖為流線形狀。右圖為流線形狀。2.流線的作法流線的作法： 在流場中任取一點在流場中任取一點, 繪出某時刻通過該點的流體質點繪出某時刻通過該點的流體質點的流速矢量的流速矢量u1，再畫出距，再畫出距1點很近的點很近的2點在同一時刻通點在同一時刻通過該處的流體質點的流速矢量過該處

13、的流體質點的流速矢量u2，如此下去，得一，如此下去，得一折線折線1234 ，若各點無限接近，其極限就是某時刻的，若各點無限接近，其極限就是某時刻的流線。流線。 3.流線的性質流線的性質 b.流線不能是折線，而是一條光流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。滑的曲線。a.同一時刻的不同流線同一時刻的不同流線,不能相交不能相交.c.流線簇的疏密反映了速度的大小流線簇的疏密反映了速度的大小（流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。（流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 u1u2s1s2交點 u1u2折點 s 4.流線的特點流線的特點 u流線不相交。（奇點除外）奇點有兩種：速度為零流線不相交。（奇

14、點除外）奇點有兩種：速度為零 及速度為無限大。及速度為無限大。 u 每一空間點均有流線通過每一空間點均有流線通過,由這些流線構成流譜。由這些流線構成流譜。 u流線的形狀和位置，在定常流動時不隨時間變流線的形狀和位置，在定常流動時不隨時間變化；而在不定常流動時，隨時間變化。化；而在不定常流動時，隨時間變化。 u 定常流動時，流線，跡線重合。定常流動時，流線，跡線重合。 5.流線的方程流線的方程設設ds為流線上為流線上A處一微元弧長處一微元弧長: u為流體質點在為流體質點在A點的流速點的流速:kdzjdyidxsdkujuiuuzyx因為流速向量與流線相切，二者對應的分量成比例因為流速向量與流線相

15、切，二者對應的分量成比例,即：即：zyxudzudyudx流線方程流線方程二二.跡線跡線 （ path line） 跡線跡線某一質點在某某一質點在某一時段內的運動軌跡線。一時段內的運動軌跡線。圖中煙火的軌跡為跡線。圖中煙火的軌跡為跡線。 1.跡線的定義跡線的定義2.跡線的微分方程跡線的微分方程式中式中，ux,uy,uz 均為時空均為時空t,x,y,z的函數，且的函數，且t是自變量。是自變量。 注意注意：流線和跡線微分方程的異同點流線和跡線微分方程的異同點。 dtudzudyudxzyx流線方程流線方程 zyxudzudyudx【例例】有一流場有一流場, 其流速分布規律為：其流速分布規律為：ux

16、= -ky， uy= kx，uz=0，試求其流線方程。，試求其流線方程。 【解解】 由于由于uz=0 ，所以是二維流動，二維流動的流線方程微，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為：分為： 將兩個分速度代入流線微分方程，將兩個分速度代入流線微分方程， 得到得到 即：即： xdx+ydy=0 積分上式得到：積分上式得到： x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。 xyyxkdkdyxuyuxdd 第四節第四節 一元流動模型一元流動模型一一.流管、元流與流束流管、元流與流束流管流管在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通在流場中取任一封閉曲線（不是流

17、線），通過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的管狀空間稱為流管。管狀空間稱為流管。 因為流管是由流線構成的，所以它具有流線的因為流管是由流線構成的，所以它具有流線的一切特性，流體質點不能穿過流管流入或流出一切特性，流體質點不能穿過流管流入或流出(由于由于流線不能相交流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內流動。制在管內流動。流束流束流管以內的流體稱為流束。流管以內的流體稱為流束。 元流元流 當流束的過流斷面無限小時，這根流束就當流束的過流斷面無限小時，這根流束就稱為元流。元流的極限是一條流線。稱為元

18、流。元流的極限是一條流線。總流總流把流管取在運動液體的邊界上，則邊界內整股液流的把流管取在運動液體的邊界上，則邊界內整股液流的流束稱為總流。可看作無數元流相加。流束稱為總流。可看作無數元流相加。 過流斷面過流斷面即水道（管道、明渠等）中垂直于總流中全部即水道（管道、明渠等）中垂直于總流中全部流線的斷面流線的斷面,又稱為有效截面，如圖中又稱為有效截面，如圖中1-1，2-2 斷面。斷面。二二.過流斷面過流斷面 流線相互平行時流線相互平行時,過流斷面是平面。流線不平過流斷面是平面。流線不平行時，過水斷面是曲面，如圖所示。行時，過水斷面是曲面，如圖所示。非均勻流非均勻流 均勻流均勻流三三.濕周與水力半

19、徑濕周與水力半徑 濕周濕周在總流的有效截面上，流體與固體邊界接在總流的有效截面上，流體與固體邊界接 觸的長度，用符號觸的長度，用符號表示。表示。 水力半徑水力半徑總流的有效截面面積與濕周之比，總流的有效截面面積與濕周之比， 用符號用符號R Rh h表示，即表示，即 關于濕周和水力半徑的概念在非圓截面管道和管關于濕周和水力半徑的概念在非圓截面管道和管束的水力計算中常常用到。束的水力計算中常常用到。ARh四四.控制體與控制斷面控制體與控制斷面控制體控制體即在流場中劃定的一個固定的空間區域，即在流場中劃定的一個固定的空間區域， 該區域完全被流動流體所充滿。該區域完全被流動流體所充滿。 控制斷面控制斷

20、面即控制體（流管）有流體流進流出即控制體（流管）有流體流進流出的的 兩個斷面兩個斷面, ,如圖中的如圖中的3-3,4-43-3,4-4斷面斷面五五.流量與斷面平均流速流量與斷面平均流速 1. 流量流量 流量流量是指單位時間內通過河渠、管道等某一過水是指單位時間內通過河渠、管道等某一過水 橫斷面的流體數量。橫斷面的流體數量。 體積流量體積流量（ m3 /s）：）：質量流量質量流量（kg/s）：）：AvAudAqAmAudAq斷面平均流速斷面平均流速總流過水斷面上各點的流速是不相總流過水斷面上各點的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流速

21、，稱斷面平均流速速，稱斷面平均流速 。AqAudAv2. 斷面平均流速斷面平均流速第五節第五節 連續性方程連續性方程在總流中取面積為在總流中取面積為A1和和A2的的1，2兩斷面，兩斷面，（探討兩斷面間流動空間的質量收支平衡情（探討兩斷面間流動空間的質量收支平衡情況）。設況）。設A1的平均流速為的平均流速為V1，A2的平均流的平均流速為速為V2，則：，則：dt時間內流入斷面時間內流入斷面1的流體質的流體質量：量：1V2VdtQdtVA11111dt時間內流出斷面時間內流出斷面2的流體質量：的流體質量：dtQdtVA22222根據質量守恒根據質量守恒2211QQ222111AVAV或一一. 恒定總

22、流的連續性方程恒定總流的連續性方程當流體不可壓縮21 QQQ21VAAVAV2211則21QQ 2211AVAV或 恒恒定總流一元連續性方程定總流一元連續性方程2211QQ222111AVAV或例： 如圖，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）當流量為4L/s時，求各管段的平均流速。2）旋轉閥門，使流量增加至8L/s時，平均流速如何變化？d1d2d32) 2) 各斷面流速比例保持不變，各斷面流速比例保持不變， Q=8L/sQ=8L/s, ,即流量增加為即流量增加為2 2倍，倍，則各斷面流速亦加至則各斷面流速亦加至2 2倍。即倍。即 V V1 1=16.32m/s=16.32m/s

23、， V V2 2=4.08m/s=4.08m/s， V V3 3=1.02m/s=1.02m/sd1d2d3解：解：1）根據連續性方程）根據連續性方程 Q=V1A1=V2A2=V3A3，則，則 V1=Q/A1=8.16m/s， V2=V1A1/A2=2.04m/s， V3=V1A1/A3=0.51m/s例： 斷面為5050cm2的送風管，通過a，b，c，d四個4040cm2的送風口向室內輸送空氣，送風口氣流平均速度均為5m/s，求：通過送風管1-1，2-2，3-3各斷面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送風口流量Q0.40.45=0.8m3/s Q04Q3.2m3/s根據連續性方程

24、 Q0QQ QQ0Q3Q2.4m3/s Q0Q2Q QQ02Q2Q1.6m3/s Q0Q33Q Q3Q03Q0.8m3/s 各斷面流速Q0abcd123123sm3.20.50.50.8AQVsm6.40.50.51.6AQVsm9.60.50.52.4AQV332211 第六節恒定元流能量方程第六節恒定元流能量方程從功能原理出發，取不可壓縮無黏性流體恒定流動這樣的力學模從功能原理出發，取不可壓縮無黏性流體恒定流動這樣的力學模型，推出元流的能量方程式。型，推出元流的能量方程式。 連續性方程是運動學方程，只給出了沿一元流長度上，斷面流連續性方程是運動學方程，只給出了沿一元流長度上，斷面流速的變化

25、規律。沒有涉及流體的受力性質。所以它只能決定流速速的變化規律。沒有涉及流體的受力性質。所以它只能決定流速的相對比例，卻不能給出流速的絕對數值。的相對比例，卻不能給出流速的絕對數值。如果需要求出流速的絕對值，還必須從動力學著眼，考慮外力如果需要求出流速的絕對值，還必須從動力學著眼，考慮外力作用下，流體是按照什么規律來運動的。作用下，流體是按照什么規律來運動的。 第六節恒定元流能量方程第六節恒定元流能量方程 在在dt時間內壓力作的功：時間內壓力作的功：pdQdtppdtudApdtudAp)(21222111 在流場中選取元流如圖所示。在流場中選取元流如圖所示。在元流上沿流向取在元流上沿流向取1、

26、2兩斷兩斷面，兩斷面的高程和面積分面，兩斷面的高程和面積分別為別為z1、z2和和dAl、dA 2，兩，兩斷面的流速和壓強分別為斷面的流速和壓強分別為u1、u2和和p1、p2。以兩斷面間的元流段為對象，寫出以兩斷面間的元流段為對象，寫出dt時間內，外力時間內，外力(壓力壓力)作功等于流段機械能量增加的方程式。作功等于流段機械能量增加的方程式。dt時間內斷面時間內斷面1、2分別移動分別移動“u1dt、“u2dt的距離，到達斷面的距離，到達斷面1、2。p 流段所獲得的動能：流段所獲得的動能：guudQdtuugdQdt2)22(21222122 位能的增加：位能的增加：2121mg zzdQdt z

27、z流段在流段在dt時段前后所占有的空間時段前后所占有的空間雖然有變動、但雖然有變動、但1、2兩斷面間空兩斷面間空間則是間則是dt時段前后所共有。在這時段前后所共有。在這段空間內流體的位能、動能不變。段空間內流體的位能、動能不變。所以，能量的增加應按流體占據所以，能量的增加應按流體占據的新位置的新位置22所增加的能量，和所增加的能量，和流體離開原位置流體離開原位置11所減少的能所減少的能量來計算。量來計算。由于流體不可壓縮由于流體不可壓縮, ll, ll、2222所占據的體積等于所占據的體積等于dQdtdQdt，質量等于，質量等于dQdtdQdt流段所獲得的能量流段所獲得的能量根據壓力作功等于機

28、械能量增加原理：根據壓力作功等于機械能量增加原理：guudQdtzzdQdtdQdtpp2)(21221221各項除以各項除以dt，并按斷面分別列入等式兩方，并按斷面分別列入等式兩方,得總能量方程。得總能量方程。2212112222uupzdQpzdQgg將上式除以將上式除以dQ，得出單位重量的能量方程，或簡稱為單位能量方程。，得出單位重量的能量方程，或簡稱為單位能量方程。2211221222pupuzzgg這就是理想不可壓縮流體恒定流元流能量方程，或稱為伯努利方程。這就是理想不可壓縮流體恒定流元流能量方程，或稱為伯努利方程。22upZgg常數或式中各項物理意義：式中各項物理意義：Z：是斷面對

29、于選定基準面的高度，水力學中稱位置水頭，是斷面對于選定基準面的高度，水力學中稱位置水頭，表示單位重量的位置勢能，稱單位位能；表示單位重量的位置勢能，稱單位位能；是斷面壓強作用使流體沿測壓管所能上升的高度，水力是斷面壓強作用使流體沿測壓管所能上升的高度，水力學中稱為壓強水頭，表示壓力做功能提供給單位重量流學中稱為壓強水頭，表示壓力做功能提供給單位重量流體的能量，稱為單位壓能；體的能量，稱為單位壓能；pg22ug是以斷面流速是以斷面流速u為初速度的鉛直上升射流所能達到的理為初速度的鉛直上升射流所能達到的理論高度，水力學中稱為流速水頭，表示單位重量的動能論高度，水力學中稱為流速水頭，表示單位重量的動

30、能,稱為單位動能。稱為單位動能。22puzg 常數ppHz表示斷面測壓管水面相對于基準面的高度，表示斷面測壓管水面相對于基準面的高度，稱為測壓管水頭，表明單位重量流體具有的稱為測壓管水頭，表明單位重量流體具有的勢能稱為單位勢能。勢能稱為單位勢能。22puHzg稱為總水頭，表明單位重量流體具有的總能稱為總水頭，表明單位重量流體具有的總能量，稱為單位總能量。量，稱為單位總能量。 能量方程式說明，理想不可壓縮流體恒定元流中，各能量方程式說明，理想不可壓縮流體恒定元流中，各斷面總水頭相等，單位重量的總能量保持不變。斷面總水頭相等，單位重量的總能量保持不變。 實際流體的流動中，元流的粘性阻力作負功，使機

31、械能實際流體的流動中，元流的粘性阻力作負功，使機械能量沿流向不斷衰減。以符號量沿流向不斷衰減。以符號hl1-2表示元流表示元流1、2兩斷面間兩斷面間單位能量的衰減。稱為水頭損失。則單位能量方程式將單位能量的衰減。稱為水頭損失。則單位能量方程式將改變為：改變為： 畢托管是廣泛用于測量水流和氣流的一種儀器，如圖畢托管是廣泛用于測量水流和氣流的一種儀器，如圖311所示。管前端開口所示。管前端開口a正對氣流或水流，面向來流，正對氣流或水流，面向來流，a端形成駐點。端形成駐點。a端內部有流體通路與上部端內部有流體通路與上部a端相通。端相通。管側有多個開口管側有多個開口b，稱為靜壓孔，它的內部也有流體，稱

32、為靜壓孔，它的內部也有流體通路與上部通路與上部b端相通。當測定水流時，端相通。當測定水流時，a、b兩管水兩管水面差面差hv即反映即反映a、b兩處壓差。當測定氣流時，兩處壓差。當測定氣流時，a，b兩端接液柱差壓計兩端接液柱差壓計,以測定以測定a、b兩處的壓差。兩處的壓差。液體流進液體流進a端開口，水流最初從開口處流入，沿管上升，端開口，水流最初從開口處流入，沿管上升，a端受壓水拄上升到端受壓水拄上升到a ，直到該處質點流速降低到零，直到該處質點流速降低到零，其壓強為其壓強為pa。然后由然后由a分路，流經分路，流經b端開口，流速恢復原有速度端開口，流速恢復原有速度u，壓，壓強也降至原有壓強。強也降

33、至原有壓強。b端受壓水拄上升到端受壓水拄上升到b ，直到該處質點流速降低到零，直到該處質點流速降低到零，其壓強為其壓強為pb。為經實驗校正的流速系數，它與管的構造和加工情況有關，其值近似為經實驗校正的流速系數，它與管的構造和加工情況有關，其值近似等于等于l。如果用畢托管測氣流，液體壓差計所量得的壓差，如果用畢托管測氣流，液體壓差計所量得的壓差，Pa-Pbhv, 是氣是氣體容重體容重VBAZZ皮托管測速原理皮托管測速原理 解解: (1)風道中空氣流速風道中空氣流速v 有了元流能量方程，結合連續性方程，可以算出壓強沿流有了元流能量方程，結合連續性方程，可以算出壓強沿流線的變化。線的變化。v從元流能

34、量方程推出總流能量方程，還必須進一步研究壓強從元流能量方程推出總流能量方程，還必須進一步研究壓強在垂直于流線方向，即壓強在過流斷面上的分布問題。在垂直于流線方向，即壓強在過流斷面上的分布問題。v要對壓強進行分析，首先牽涉到流體內部作用的力。這就是要對壓強進行分析，首先牽涉到流體內部作用的力。這就是重力、粘性力和慣性力。壓力是平衡其它三力的結果。重力重力、粘性力和慣性力。壓力是平衡其它三力的結果。重力是不變的，粘性力和慣性力則與質點流速有關。所以，首先是不變的，粘性力和慣性力則與質點流速有關。所以，首先要研究流速的變化。要研究流速的變化。第七節過流斷面的壓強分布第七節過流斷面的壓強分布 一、均勻

35、流、急變流、漸變流一、均勻流、急變流、漸變流 根據流速是否隨流向變化，分為均勻流動和不均勻流動。根據流速是否隨流向變化，分為均勻流動和不均勻流動。均勻流：均勻流：任一確定的流體質點在其運動過程中速度大小和任一確定的流體質點在其運動過程中速度大小和方向均保持不變的流動。方向均保持不變的流動。急變流：急變流：速度大小或方向發生明顯變化。速度大小或方向發生明顯變化。漸變流：漸變流：流體質點速度變化較緩慢的流動。流體質點速度變化較緩慢的流動。（2）位于同一流線上的各質點速度相等；）位于同一流線上的各質點速度相等；均勻流的特點均勻流的特點（1）管道恒定流動中，各質點的流線相互平行，）管道恒定流動中，各質

36、點的流線相互平行，過流斷面為一平面；過流斷面為一平面；二、均勻流斷面上壓強分布的推導二、均勻流斷面上壓強分布的推導任取軸線任取軸線n-n位于均勻流斷面的微小柱位于均勻流斷面的微小柱體為隔離體體為隔離體(圖圖3-13)，分析作用于隔離，分析作用于隔離體上的力在體上的力在n-n方向的分力。柱體長為方向的分力。柱體長為l，橫斷面積為橫斷面積為dA，鉛直方向的傾角為，鉛直方向的傾角為 ，兩斷面的高程為兩斷面的高程為Z1和和Z2，壓強為，壓強為pl和和p2。(1)柱體柱體重力重力在在n-n方向的分力方向的分力Gcos =dA cos (2)作用在柱體兩端的作用在柱體兩端的壓力壓力p1dA和和p2ddA，

37、側表面壓力垂，側表面壓力垂直于直于n-n軸，在軸，在n-n軸上的投影為零。軸上的投影為零。v (3)作用在柱體兩端的作用在柱體兩端的切力切力垂直于垂直于n-n軸，在軸，在n-n軸上投影為軸上投影為零；由于小柱體端面積無限小，在小柱體任一橫斷面上關于零；由于小柱體端面積無限小，在小柱體任一橫斷面上關于軸線對稱的兩點上的切應力可認為大小相等，方向相反，因軸線對稱的兩點上的切應力可認為大小相等，方向相反，因此，柱體側面切力在此，柱體側面切力在n-n軸投影之和也為零。軸投影之和也為零。因此，微小柱體的平衡：因此，微小柱體的平衡：即均勻流過流斷面上壓強分布服從于水靜力學規律。即均勻流過流斷面上壓強分布服

38、從于水靜力學規律。過流斷面上壓強服從靜止壓強分布規律，亦即同過流斷面上壓強服從靜止壓強分布規律，亦即同一過流斷面上各點的測壓管水頭相等。一過流斷面上各點的測壓管水頭相等。PP1212zz 如圖均勻流斷面上，想象地插上若干測壓管。同一斷面如圖均勻流斷面上，想象地插上若干測壓管。同一斷面上測壓管水面將在同一水平面上，但不同斷面有不同的上測壓管水面將在同一水平面上，但不同斷面有不同的測壓管水頭。這是因為粘性阻力作負功，使下游斷面的測壓管水頭。這是因為粘性阻力作負功，使下游斷面的水頭減低了。水頭減低了。例例 水在水平長管中流動，在管壁水在水平長管中流動，在管壁B點安置點安置測壓管測壓管(圖圖3-15)

39、。測壓管中水面。測壓管中水面Cc相對于管相對于管中點中點A的高度是的高度是30m，求，求A點的壓強。點的壓強。解解 在測壓管內，從在測壓管內，從C到到B，整個水柱是靜止的，壓強服，整個水柱是靜止的，壓強服從于流體靜力學規律。從從于流體靜力學規律。從B到到A，水雖是流動的，但，水雖是流動的，但B、A兩點同在一漸變流過流斷面，因此，兩點同在一漸變流過流斷面，因此，A、C兩點壓差可兩點壓差可以用靜力學公式來求：以用靜力學公式來求：例例 水在傾斜管中流動，用水在傾斜管中流動，用u形水銀壓力形水銀壓力計測定計測定A點壓強。壓力計所指示的讀數如點壓強。壓力計所指示的讀數如圖圖3-16，求，求A點壓強。點壓

40、強。解：解： 因因A，B兩點在均勻流同一過流斷面上，兩點在均勻流同一過流斷面上，其壓強分布應服從流體靜力學分布。其壓強分布應服從流體靜力學分布。u形管中形管中流體也是靜止的，所以從流體也是靜止的，所以從A點經點經B點到點到C點，點，壓強均按流體靜壓強分布。因此，可以從壓強均按流體靜壓強分布。因此，可以從C點點開始直接推得開始直接推得A點壓強：點壓強：在圖中用流體靜力學方程不能求出管在圖中用流體靜力學方程不能求出管壁上壁上E、D兩點的壓強，盡管這兩點和兩點的壓強，盡管這兩點和A點在同一水平面上，它們的壓強不點在同一水平面上，它們的壓強不等于等于A點壓強。因為測壓管和點壓強。因為測壓管和B點相接，

41、點相接，利用它只能測定和利用它只能測定和B點同在一過流斷點同在一過流斷面上任一點的壓強，面不能測定其它面上任一點的壓強，面不能測定其它點的壓強。點的壓強。也就是說，流體靜力關系，只存在于每一個漸變流斷面也就是說，流體靜力關系，只存在于每一個漸變流斷面上，面不能推廣到不在同一斷面的空間。圖中上，面不能推廣到不在同一斷面的空間。圖中D點在點在A點點的下游斷面上，壓強將低于的下游斷面上，壓強將低于A點；點；E點在點在A點的上游斷面，點的上游斷面，壓強將高于壓強將高于A點。點。 流體在彎管中的流動，流線呈顯流體在彎管中的流動，流線呈顯著的彎曲，是典型的流速方向變著的彎曲，是典型的流速方向變化的急變流。

42、在這種流動的斷面化的急變流。在這種流動的斷面上，離心力沿斷面作用。和流體上，離心力沿斷面作用。和流體靜壓強的分布相比，沿離心力方靜壓強的分布相比，沿離心力方向壓強增加，例如在圖向壓強增加，例如在圖3-17的斷的斷面上，沿彎曲半徑的方向，測壓面上，沿彎曲半徑的方向，測壓管水頭增加，流速則沿離心力方管水頭增加，流速則沿離心力方向減小了。向減小了。第八節恒定總流伯努利方程第八節恒定總流伯努利方程設有一不可壓縮恒定流動，在總流各設有一不可壓縮恒定流動，在總流各自處于漸變流的流段上，任意選取兩自處于漸變流的流段上，任意選取兩個過流斷面。個過流斷面。單位重量元流伯努利方程單位重量元流伯努利方程2l1222

43、22111h2guzp2guzp方程兩端同乘以元流重量流量方程兩端同乘以元流重量流量dQ)dQh2guzp()dQ2guzp(2l122222111z1z21u2u在整個過流斷面進行積分：在整個過流斷面進行積分：dQhdQ2gu)dQzp(dQ2gu)dQzp(2l1A222A2A211A12211Q上述積分可分為三個部分：上述積分可分為三個部分：z)dQp(A1）czp漸變流過流斷面服從液體靜壓強分布規律z)Qp(z)dQp(AAVAVdAu2gdA2guudA2gudQ2gu33A33AA2A22）AVdAu3A3令動能修正系數Q2gVAV2g23上式V截面的平均流速截面的平均流速 動能修

44、正系數動能修正系數 a 是由于截面上速度分布不均勻而是由于截面上速度分布不均勻而引起的，引起的，a 是個大于是個大于1 的數，紊流中的數，紊流中a=1.051.1，有，有效截面上的流速越均勻，效截面上的流速越均勻，a 值越趨近于值越趨近于1。在實際工業。在實際工業中，通常都近似地取中，通常都近似地取 a=1.0 。以后如不加特別說明，。以后如不加特別說明，都假定都假定 a=1 ，并以，并以 v 代表平均流速。而對于圓管層代表平均流速。而對于圓管層流流動流流動a=2 。dQh2l1Q3）令單位重量流體流過1、2斷面平均能量損失為2l1hQhdQh2l12l1Q則綜上可得綜上可得QhQ2gV)Qz

45、p(Q2gV)Qzp(2l12222221111-不可壓縮恒定總流伯努利方程能量積分能量積分討論：討論：（1）恒定不可壓縮。）恒定不可壓縮。（2）選在漸變流。）選在漸變流。（3）功率輸入）功率輸入H輸入輸入（如泵（如泵)2l12222221111h2gVzpH2gVzp輸入（4）有分流或合流仍然適用）有分流或合流仍然適用功率輸出功率輸出H輸出（如汽輪機）輸出（如汽輪機）2l12222221111hH2gVzp2gVzp輸出（4）有分流或合流仍然適用）有分流或合流仍然適用2211 1222112221,223333331,322 2vvvwvvwpapagqzgqzgq hggggpagqzgq

46、 hgg能量方程的解題步驟能量方程的解題步驟 1 選擇基準面：選擇基準面：基準面以簡化計算為原則。例如過水斷面形基準面以簡化計算為原則。例如過水斷面形心（心（z=0），或自由液面（），或自由液面（p=0）等。）等。2 選擇計算斷面選擇計算斷面：應選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應應選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應選取已知量盡量多的斷面。選取已知量盡量多的斷面。3 選擇計算點選擇計算點：管流常選在管軸管流常選在管軸,明渠流常選在自由液面。對明渠流常選在自由液面。對同一方程同一方程,必須采用相同的壓強標準。必須采用相同的壓強標準。4 列能量方程解題列能量方程解題：注意與連續性方程的聯合使用。注意

47、與連續性方程的聯合使用。 第九節第九節 能量方程的應用能量方程的應用 能量方程在解決流體力學問題上有決定性的作用，它能量方程在解決流體力學問題上有決定性的作用，它和連續性方程聯立，全面地解決一元流動的斷面流速和和連續性方程聯立，全面地解決一元流動的斷面流速和壓強的計算。壓強的計算。一、能量方程應用舉例一、能量方程應用舉例 分析流動，要明確流動總體，把分析流動，要明確流動總體，把需要研究的局部流動和流動總體需要研究的局部流動和流動總體聯系起來。如圖聯系起來。如圖3-23中水從水箱中水從水箱A經管道經管道B流入水箱流入水箱C，氣體從靜，氣體從靜壓箱壓箱A經管道經管道B流人大氣流人大氣C。研究對象是

48、管中水流和氣流，但是應當把管中的水流和氣研究對象是管中水流和氣流，但是應當把管中的水流和氣流這些局部和總體聯系起來。要把管中水流和上游水箱流這些局部和總體聯系起來。要把管中水流和上游水箱A的的水體以及下游水箱水體以及下游水箱c的水體聯系起來；要把管中氣流和上游的水體聯系起來；要把管中氣流和上游靜壓箱靜壓箱A的氣體以及下游大氣的氣體以及下游大氣c聯系起來。圖中聯系起來。圖中A、B、C三三部分構成不可分離的流動總體。這就是說，為求流速壓強部分構成不可分離的流動總體。這就是說，為求流速壓強而劃分的斷面，不僅可以劃在而劃分的斷面，不僅可以劃在B管中，而且可以劃在水箱水管中，而且可以劃在水箱水體中，靜壓

49、箱中，或者大氣中。體中，靜壓箱中，或者大氣中。若斷面取在管流出口以后，流動由有壓流轉變為整個斷若斷面取在管流出口以后，流動由有壓流轉變為整個斷面都處于大氣中的射流。根據射流的周邊直接和大氣相面都處于大氣中的射流。根據射流的周邊直接和大氣相接的邊界條件，斷面各點壓強可假定為均勻分布，并且接的邊界條件，斷面各點壓強可假定為均勻分布，并且都等于外界大氣壓強。此時斷面上壓強分布圖形不是梯都等于外界大氣壓強。此時斷面上壓強分布圖形不是梯形，而是矩形，如圖形，而是矩形，如圖3-24(d)所示。選取管流出口斷面列所示。選取管流出口斷面列能量方程時，應選斷面中心點作為能量方程的代表點。能量方程時，應選斷面中心

50、點作為能量方程的代表點。它的位置高度代表整個斷面位能的平均值。它的位置高度代表整個斷面位能的平均值。 當斷面取在有壓管流中時，斷面上壓強分布圖形是梯當斷面取在有壓管流中時，斷面上壓強分布圖形是梯形形(服從靜力學分布服從靜力學分布)。如圖。如圖324（b）所示。）所示。 解解 整個流動是從水箱水面通過水整個流動是從水箱水面通過水箱水體經管道流人大氣中，它和箱水體經管道流人大氣中，它和大氣相接的斷面是水箱水面大氣相接的斷面是水箱水面1-1和和出流斷面出流斷面2-2，這就是我們取斷面，這就是我們取斷面的對象。基準水平面的對象。基準水平面0-0通過出口通過出口斷面形心，是流動的最低點。斷面形心，是流動

51、的最低點。 (1)寫寫11、22的能量方程：的能量方程：代人方程代人方程取取a=1，則，則 (2)為求為求M點的壓強，必須在點的壓強，必須在M點取斷面。另一斷面取在和點取斷面。另一斷面取在和大氣相接的水箱水面或管流出口斷面，現在選擇在出口斷大氣相接的水箱水面或管流出口斷面，現在選擇在出口斷面。則面。則代人能量方程代人能量方程【例例】一抽水機管系（如圖），要求把下水池的水輸送一抽水機管系（如圖），要求把下水池的水輸送到高池，兩池高差到高池，兩池高差15m15m，流量，流量Q Q=30 =30 l/s/s，水管內徑，水管內徑d d=150mm=150mm。泵的效率。泵的效率h hp p=0.76=

52、0.76。設已知管路損失（泵損。設已知管路損失（泵損除外）為除外）為1010v2 2/(2g)/(2g)，試求軸功率。，試求軸功率。 【解解】取基準面取基準面0-0及斷面及斷面1（位于低水池水面）及（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。（位于高水池水面）。設泵輸入單位重水流的能量為設泵輸入單位重水流的能量為h hp p， 取取1 1= =2 2=1=1，則能量方程有：，則能量方程有： 因因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且過水斷面很大且過水斷面很大，v1v20，而管中流速：管中流速：故有：故有： 得：得： hp=16.47 m 所需軸功率所需軸功率N Np p為為： 【例例】 有一

53、貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通時，通過出口的體積流量過出口的體積流量(不計流動損失不計流動損失)。【解解】 當閥門全開時列當閥門全開時列1-1、2-2截面的伯努利方程截面的伯努利方程 當閥門關閉時，應用流體靜力學基本方程求出值：當閥門關閉時，應用流體靜力學基本方程求出值： 則則 代入到上式代入到上式 aaappgH

54、p8 . 2O)2(mH289806980608 . 28 . 2gapHm/s 78.20 9806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gapHgVsm 235. 078.2012. 0785. 024322VdqVgVgppgpHaaa26 . 00022所以管內流量所以管內流量【例例】 水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差形測壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管，不計管中水頭損失，試求管中流量中水頭損失，試求管中流量q

55、v。 【解解】 首先計算首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：為等壓面，列等壓面方程得： 則則11Hgghphg1Hg1ghhgpOmH 272. 02 . 06 .13 21Hg1hhgp列列1-1和和2-2 斷面的伯努利方程斷面的伯努利方程gVgpzgVgpz222222211121221ddVVgVgV201521612202222sm 1 .12151676 .192VsVdqV32222m 024. 01 .1205. 044由連續性方程：由連續性方程：將已知數據代入上式，得將已知數據代入上式，得管中流量管中流量 文丘里流量計主

56、要用于管道中流體的流量測量，主要是文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖所示。它是利用由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用形管差收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。文丘里文丘里(Venturi)流量計流量計文丘里流量計原理圖文丘里流量計原理圖 以文丘里管的水平軸線所在水平面作為基準面。列截以文丘里管的水平軸線所在水平面作為基準面。列截面面1-1，2-2的伯努利方程的伯努利方程 g

57、VgpgVgp2222022110由一維流動連續性方程由一維流動連續性方程2121VAAV 整理得整理得 )/(1 )(2212212AAppV由流體靜力學由流體靜力學 液液ghpp)(21 上式表明，若上式表明，若液液、 、A2、A1已知，只要測量出已知，只要測量出h液液，就可以確定流體的速度。流量為：，就可以確定流體的速度。流量為： )/(1 )(22122AAhgV液液)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液考慮到實際情況考慮到實際情況 式中式中Cd為流量系數，通過實驗測定為流量系數，通過實驗測定。)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液實【例例】 有一文

58、丘里管有一文丘里管如圖如圖a所示所示,若水銀差壓若水銀差壓計的指示為計的指示為 360 mmHg，并設從截面并設從截面A流到截面流到截面B的的水頭損失為水頭損失為0.2mH2O， d dA A= =300mm d dB B= =150mm，試求此時通過文丘里管的試求此時通過文丘里管的流量是多少流量是多少?圖圖a 文丘里管文丘里管【解解】以截面以截面A為基準面列出截面為基準面列出截面A和和B的伯努利方程的伯努利方程 由此得由此得 由連續性方程由連續性方程 所以所以w2BB2AA276. 020hggpggp a 2 . 076. 0222A2BBAgggpgpBBAAAA b 2ABBABBAd

59、dAA水銀差壓計水銀差壓計11為等壓面，則有為等壓面，則有ggzpgzpHgBA36. 076. 036. 0）（）（由上式可得由上式可得 解得解得96. 0123 . 542ABBddgm/s 53. 93001501)96. 03 . 5(806. 921)96. 03 . 5(244ABBddgs/m 168. 015. 0453. 94 322BBdqV將式（將式（b）和式（）和式（c）代入（）代入（a）中）中）（O mmH 3 . 5980613340036. 040. 0g36. 036. 076. 02HgBAggpgp(c)在出現巨大水流流速的局部區域，壓強會顯著降低，可在出現

60、巨大水流流速的局部區域，壓強會顯著降低，可能達到和水溫相應的汽化壓強，水迅速汽化，部分液體能達到和水溫相應的汽化壓強，水迅速汽化，部分液體轉化為蒸汽，出現了蒸汽氣泡的區域，氣泡隨水流流入轉化為蒸汽，出現了蒸汽氣泡的區域，氣泡隨水流流入壓強較高的區域而破滅，這種現稱為壓強較高的區域而破滅，這種現稱為空化空化。空化限制了壓強的繼續降低和流速的增大，減少了通流空化限制了壓強的繼續降低和流速的增大，減少了通流面積，從而限制了流量的增加，影響到測量的準確性。面積，從而限制了流量的增加，影響到測量的準確性。空化對水力機械的有害作用稱為空化對水力機械的有害作用稱為氣蝕氣蝕。二、伯努利方程應用時特別注意的幾個