1、正交試驗設計正交試驗設計第六章第六章 正交試驗設計正交試驗設計第六章第六章引引 言言 一類是用樣本對所關心的問題作出可靠的結論即統計推一類是用樣本對所關心的問題作出可靠的結論即統計推斷。前面幾章解決的是這類問題斷。前面幾章解決的是這類問題。數理統計研究的問題大致可分為二大類數理統計研究的問題大致可分為二大類： 在生產實踐中在生產實踐中，試制新產品試制新產品、改革工藝改革工藝、尋求好的生尋求好的生產條件等產條件等，這些都需要做試驗。這些都需要做試驗。 人們總是希望做試驗的次數盡量少，而得到的結果盡可人們總是希望做試驗的次數盡量少，而得到的結果盡可能好。要達到這個目的，就必須對實驗作合理的安排，也

2、能好。要達到這個目的，就必須對實驗作合理的安排，也就是要進行試驗設計。就是要進行試驗設計。 還有一類問題是用數據資料進行試驗的設計和研究。還有一類問題是用數據資料進行試驗的設計和研究。 正交設計就是解決這個問題的有效方法正交設計就是解決這個問題的有效方法。 正交試驗設計主要是利用現成的規格化的表正交試驗設計主要是利用現成的規格化的表正交正交表來科學地挑選試驗條件表來科學地挑選試驗條件，合理地安排試驗合理地安排試驗。 正交試驗的優點是正交試驗的優點是：從多種試驗條件中選具有代表性從多種試驗條件中選具有代表性的少數幾次試驗的少數幾次試驗，獲得最好的或較好的試驗條件或生產獲得最好的或較好的試驗條件或

3、生產工藝配方工藝配方。該方法在實踐中已得到廣泛的應用。該方法在實踐中已得到廣泛的應用。 正交試驗主要解決以下三個方面問題正交試驗主要解決以下三個方面問題：（1 1）分出各因素對指標影響的主次順序）分出各因素對指標影響的主次順序，找出主要影找出主要影響因素響因素；（2 2）選出最佳生產條件）選出最佳生產條件； （3 3）指出進一步改進試驗的方向）指出進一步改進試驗的方向。 第一節第一節 因素與水平因素與水平一、試驗指標一、試驗指標 我們稱衡量試驗結果的量為我們稱衡量試驗結果的量為試驗指標試驗指標，簡稱簡稱指標指標，指標也稱之為反應變量指標也稱之為反應變量，它是可以觀察的隨機變量它是可以觀察的隨機

4、變量。 一般作試驗用來考察各種因素對產品的產量或收率一般作試驗用來考察各種因素對產品的產量或收率，性能性能，成本等的影響成本等的影響，將它們統稱為試驗指標將它們統稱為試驗指標。指標中有指標中有一類是可以用一個數來表示的一類是可以用一個數來表示的，稱為稱為數量指標數量指標。 還有一類指標不是用數來表示的還有一類指標不是用數來表示的，是按是按“質質”劃分劃分，如產品質量的好壞如產品質量的好壞，產品的正品產品的正品、次品次品、顏色深淺顏色深淺、氣味氣味等等，稱它們為稱它們為定性指標定性指標。為了進行統計分析為了進行統計分析，常常要將定常常要將定性指標也轉化為定量指標性指標也轉化為定量指標 如如：工農

5、業試驗中的產量工農業試驗中的產量，成本或工業試驗中某種物成本或工業試驗中某種物理性能理性能：收率收率、強度強度、硬度等硬度等。 二、因素二、因素 在實用中在實用中，因素可以是定量因素也可以是定性因素因素可以是定量因素也可以是定性因素。 影響一個試驗指標的因素很多影響一個試驗指標的因素很多，但是但是，在試驗設計在試驗設計中所研究的因素中所研究的因素，必須是人為可以在試驗中加以調節和必須是人為可以在試驗中加以調節和控制的因素控制的因素。并且試驗中挑選的因素要少而精并且試驗中挑選的因素要少而精。 在試驗中影響試驗指標或反應變量分布的量稱為試在試驗中影響試驗指標或反應變量分布的量稱為試驗因素（因子）或

6、自變量驗因素（因子）或自變量。用大寫字母用大寫字母A，B，C 表表示示。三、水平三、水平 因素水平分為可控制和不可控制的兩種因素水平分為可控制和不可控制的兩種。比如比如：在工在工業的化學中業的化學中，反應在實驗室內溫度是人為可以控制的反應在實驗室內溫度是人為可以控制的。而在農業試驗中而在農業試驗中，大自然中日平均溫度人就不能控制了大自然中日平均溫度人就不能控制了。試驗設計只是對可控制的因素水平在試驗中作出設計試驗設計只是對可控制的因素水平在試驗中作出設計。 只考慮一個試驗因素只考慮一個試驗因素，稱為稱為單因素試驗設計單因素試驗設計，考慮兩考慮兩個試驗因素個試驗因素，稱之為稱之為雙因素試驗設計雙

7、因素試驗設計，考慮多于兩個試考慮多于兩個試驗因素驗因素，稱為稱為多因素試驗設計多因素試驗設計。 因素對試驗指標的影響主要是表現在因素所處的狀態因素對試驗指標的影響主要是表現在因素所處的狀態發生了變化時發生了變化時，試驗指標也隨之有變化試驗指標也隨之有變化。稱試驗中因素稱試驗中因素所處的狀態（或位級）為所處的狀態（或位級）為因素水平因素水平。 用表示因素的大寫字母用表示因素的大寫字母下加足標表示該字母所表示的因素的不同水平下加足標表示該字母所表示的因素的不同水平。比如比如：因素因素A，有有4 4個水平個水平，記為記為 。4321,AAAA 數字數字4 4表示試驗次數表示試驗次數，表共有表共有4

8、4行行，說明用這張表來安說明用這張表來安排試驗要做排試驗要做4 4次試驗次試驗； 正交表正交表第二節第二節 正交表及其用法正交表及其用法 一、正交表及符號一、正交表及符號 正交表是一種特制的表正交表是一種特制的表, , 以以 為例說明為例說明：)2(34L)2(34L3211111221221231224列號列號水平水平試驗號試驗號)2(34L 其中字母其中字母 表示正交表表示正交表， L 數字數字2 2表示在表中主體部分只出現表示在表中主體部分只出現1 1，2 2二個數字二個數字，它們它們分別代表因素的分別代表因素的2 2個水平個水平，說明各因素都是說明各因素都是2 2個水平個水平。 數字數

9、字3 3表示表有表示表有3 3列列，說明該表最多可安排三個因素說明該表最多可安排三個因素； 一般的正交表記為一般的正交表記為 。)(mpnL 表示行數表示行數，也就是要安排的試驗次數也就是要安排的試驗次數；p 是表中列數是表中列數，表示最多可安排的因素數表示最多可安排的因素數；m)(mpnL 是各因素的水平數是各因素的水平數。n縱列數縱列數每列字碼數每列字碼數，即各因素水平數即各因素水平數試驗次數試驗次數（行數行數）可以證明可以證明 滿足關系滿足關系：nmp,1)1( pnm二二、正交表分類正交表分類正交表按其水平數分類正交表按其水平數分類,正交表正交表 稱其為稱其為 水平表。水平表。 )(m

10、pnLn 如如： 二水平正交表二水平正交表： 等等；)2(),2(),2(),2(111215167834LLLL 三水平正交表三水平正交表： 等等；)3(),3(),3(718132749LLL 四水平正交表四水平正交表： 等等；)4(516L 五水平正交表五水平正交表： 等等；)5(625L 混合水平正交表混合水平正交表： ：此時各因素的水平數不此時各因素的水平數不完全相等完全相等。)32(718 L常用的正交表也可以按常用的正交表也可以按 之間的關系分為兩大類之間的關系分為兩大類：nmp,nmp, 完全正交表完全正交表： 之間關系為之間關系為：11, 3 , 2, npmknpk)2()

11、,3(7849LL 如如： 不完全正交表不完全正交表：上述至少有一個關系不成立的正交表上述至少有一個關系不成立的正交表。三、正交表的特性三、正交表的特性 正交表具有均衡搭配的特點正交表具有均衡搭配的特點，也即具有正交性也即具有正交性， 這是指它有如下兩個特征這是指它有如下兩個特征：（1 1）表中任何一列中不同數字出現的次數相等）表中任何一列中不同數字出現的次數相等， 如如： ，每列中不同數字每列中不同數字1,21,2, , 它們各出現它們各出現2 2次。次。)2(34L（2 2）表中任意兩列的橫行組成有序數對，每種數對）表中任意兩列的橫行組成有序數對，每種數對出現的次數是相等的出現的次數是相等

12、的，如如： ，任兩列橫行序數任兩列橫行序數對對)2(34L)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1(),1 , 1(都出現一次。都出現一次。 由于正交表具有這兩條性質，用它來安排試驗時，由于正交表具有這兩條性質，用它來安排試驗時，各因素各種水平的搭配是均衡的，各因素各種水平的搭配是均衡的， 正交表由于有均衡搭配的特點，就決定了試驗方案的正交表由于有均衡搭配的特點，就決定了試驗方案的二個特點是二個特點是： 1 1。每個因子的各個不同水平在試驗中出現了相同的次每個因子的各個不同水平在試驗中出現了相同的次數數； 2 2。任何兩個因子的各種不同水平的搭配在試驗中都出任何兩個因子的各種不同水平的搭配

13、在試驗中都出現了且出現了相同的次數現了且出現了相同的次數。 所以正交表安排的試驗的方案是有代表性的所以正交表安排的試驗的方案是有代表性的， 且能全面地反映各因素各水平對指標影響的大致情況且能全面地反映各因素各水平對指標影響的大致情況，從而可大大減少試驗次數從而可大大減少試驗次數。 如果要全面做試驗如果要全面做試驗，需要做需要做 33=27 次試驗次試驗，這這27個試驗個試驗點的分布情況如圖點的分布情況如圖6.3（b）所示的紅點所示的紅點例如例如：設某個問題所考察的指標設某個問題所考察的指標，預計受三個因素預計受三個因素A，B，C的影響的影響，每個因素各取三個水平每個因素各取三個水平。分別記為分

14、別記為 ：321,:AAAA：321,:BBBB321,:CCCC：試安排進行試驗試安排進行試驗。做試驗做試驗，只需做只需做9次次，這這9個試驗點個試驗點 493L如果用正交表如果用正交表如圖如圖6.3（a）所示的所示的9個紅點個紅點。圖圖6.36.3 )(a圖圖6.36.3 )(b四、正交表的一般性質四、正交表的一般性質正交表中任意兩行互換位置正交表中任意兩行互換位置， 正交表均衡性不變正交表均衡性不變； 正交表中任意兩列互換位置正交表中任意兩列互換位置， 正交表均衡性不變正交表均衡性不變；正交表中任意一列里兩字碼作對換正交表中任意一列里兩字碼作對換， 正交表均衡性不變。正交表均衡性不變。因

15、此因此，同一正交表可能有幾種不同形式同一正交表可能有幾種不同形式。 由于正交表有以上優點，所以用正交表安排試驗，是由于正交表有以上優點，所以用正交表安排試驗，是把有代表性的搭配保留下來，能做到既減少了試驗次數，把有代表性的搭配保留下來，能做到既減少了試驗次數，又不能影響試驗效果的目的。又不能影響試驗效果的目的。第三節第三節 正交試驗設計正交試驗設計例例6.16.1某廠為提高苯酚產率，需要通過試驗選擇最好的生產某廠為提高苯酚產率，需要通過試驗選擇最好的生產方案。經初步分析，主要有方案。經初步分析，主要有5 5個因素影響苯酚產率，每個因個因素影響苯酚產率，每個因素都考慮了二個水平。具體情況如表素都

16、考慮了二個水平。具體情況如表6767，問對這，問對這5 5個因素個因素的二個水平如何安排才能獲得苯酚的最高產率？的二個水平如何安排才能獲得苯酚的最高產率？表表67 67 影響苯酚產率的因素與水平影響苯酚產率的因素與水平 320 30 250 乙乙 100水平水平12 300 20 200 甲甲 80因素因素)(0CA反反映映溫溫度度)(小小時時反反映映時時間間B)(大大氣氣壓壓壓壓力力C催催化化劑劑D堿堿液液用用量量（升升）F（二）挑因子（素）（二）挑因子（素） 試驗指標用來判斷水平組合的好壞，例試驗指標用來判斷水平組合的好壞，例6.16.1是苯酚的是苯酚的產率作為考察指標，稱它為試驗指標。產

17、率作為考察指標，稱它為試驗指標。一、安排試驗一、安排試驗 （一）明確試驗目的，確定試驗指標（一）明確試驗目的，確定試驗指標 例例6.16.1中，目的是找出提高苯酚產率的工藝條件，即確中，目的是找出提高苯酚產率的工藝條件，即確定最優條件，使苯酚產率最高。定最優條件，使苯酚產率最高。用正交表安排試驗，我們遵循以下幾個步驟安排試驗。用正交表安排試驗，我們遵循以下幾個步驟安排試驗。 根據試驗目的，確定要考察的因素和各因素的水平。根據試驗目的，確定要考察的因素和各因素的水平。 如果對問題不太了解，因素個數可適當多取一些，如果對問題不太了解，因素個數可適當多取一些， 有的因子一時看不清它對試驗指標的作用，

18、也可以先有的因子一時看不清它對試驗指標的作用，也可以先把它選上，經過對試驗結果的初步分析再選出主要因子。把它選上，經過對試驗結果的初步分析再選出主要因子。這樣，比后來發現因子少而再補上為好。這樣，比后來發現因子少而再補上為好。 要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素。這要從眾多的因素中挑選人為可調節或控制的要因素。這要從眾多的因素中挑選人為可調節或控制的因素。因素。 如如：例例6.1.6.1.選出五個因子選出五個因子：)(0CA反反映映溫溫度度)(小小時時反反映映時時間間B)(大大氣氣壓壓壓壓力力C催催化化劑劑D堿堿液液用用量量（升升

19、）F 影響試驗指標的重要因子要多定影響試驗指標的重要因子要多定幾個水平。幾個水平。（三）定水平（三）定水平 因素所處的狀態稱為水平（或位級），結合試驗目地和因素所處的狀態稱為水平（或位級），結合試驗目地和經驗，對每個因素選擇幾個水平。經驗，對每個因素選擇幾個水平。 定出的水平數可以是相定出的水平數可以是相等的，也可以是不等的。等的，也可以是不等的。總之，在試驗前，要分析影響指標的因子是什么？總之，在試驗前，要分析影響指標的因子是什么？每個因子在試驗中取得哪些水平。每個因子在試驗中取得哪些水平。如如：例例6.1.6.1.每個因素都定二個水平每個因素都定二個水平 320 30 250 乙乙 100

20、水平水平12 300 20 200 甲甲 80因素因素)(0CA反反映映溫溫度度)(小小時時反反映映時時間間B)(大大氣氣壓壓壓壓力力C催催化化劑劑D堿堿液液用用量量（升升）F 每次試驗各個因子處于某一水平構成的這種組合，稱為每次試驗各個因子處于某一水平構成的這種組合，稱為一個試驗一個試驗或或一個條件一個條件，如，如21111FDCBA正交實驗的目的就是選最佳方案。正交實驗的目的就是選最佳方案。以上兩條主要靠實踐來決定。以上兩條主要靠實踐來決定。（3）允許的試驗次數少為好）允許的試驗次數少為好 （四）在正交表上安排試驗方案（四）在正交表上安排試驗方案1 1、選正交表、選正交表在不考慮交互作用的

21、場合，可以把因子放在任意的列上，在不考慮交互作用的場合，可以把因子放在任意的列上，一個因子占一列。多余的列稱為一個因子占一列。多余的列稱為空列空列，在安排試驗條件時在安排試驗條件時不起作用不起作用，可保留待以后可做誤差列或交互作用列。可保留待以后可做誤差列或交互作用列。2 2、進行表頭設計、進行表頭設計 把各個因素分別放到選定的正交表的列上頭，并在此列把各個因素分別放到選定的正交表的列上頭，并在此列上方分別寫明因素的字母，稱為上方分別寫明因素的字母，稱為表頭設計表頭設計。（1）先看水平數）先看水平數n （2）列數）列數 因素個數因素個數 m 各個因素在正交表的表頭上安排好以后各個因素在正交表的

22、表頭上安排好以后，再把相應的因再把相應的因素水平對號入座，寫明表中首先出現字碼表示的水平。素水平對號入座，寫明表中首先出現字碼表示的水平。3 3、水平對號入座、水平對號入座4 4、列出試驗計劃、列出試驗計劃 根據實際工作情況，某號試驗進行的次序可以有變更，根據實際工作情況，某號試驗進行的次序可以有變更，但做每一號試驗，必須要按表中排定的試驗條件進行。但做每一號試驗，必須要按表中排定的試驗條件進行。 有了表頭設計便可以寫出試驗計劃。將放置因子的列中有了表頭設計便可以寫出試驗計劃。將放置因子的列中的數字換成因子的相應水平即可，不放因子的列，不予考的數字換成因子的相應水平即可，不放因子的列，不予考慮

23、。慮。 5 5、進行試驗和記錄試驗結果、進行試驗和記錄試驗結果)p, 2 , 1( iyi將每次試驗結果寫在正交表最后一列。記為將每次試驗結果寫在正交表最后一列。記為如例如例6.1. 6.1. 見下表見下表例例6.1 6.1 表表61611 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2123456781 2 3 4 5 6 7實驗號實驗號水平水平列號列號因子因子A B C D F(300) (20) (200) ( (甲甲) ) (80

24、)（250) ( (乙乙) ) (100)(30)(320)iy83.484.087.384.887.388.092.390.4 通過計算將各因素水平對試驗結果指標的影響的大通過計算將各因素水平對試驗結果指標的影響的大小，用圖形表示出來，通過極差分析，綜合比較，以小，用圖形表示出來，通過極差分析，綜合比較，以確定最優化試驗方案的方法，也稱確定最優化試驗方案的方法，也稱極差分析極差分析。二、試驗結果的直觀（初步）分析二、試驗結果的直觀（初步）分析極差分析極差分析極差計算極差計算將包含有將包含有 水平的四次試驗作為第一組，將其試驗結果水平的四次試驗作為第一組，將其試驗結果相加記為相加記為先分析第一

25、列（先分析第一列（A因素）因素）1A5 .339432111 yyyyT2A將包含有將包含有 水平的四次試驗作為第二組，水平的四次試驗作為第二組，0 .358876521 yyyyT 6 6、對試驗結果進行計算分析，得出合理的結論、對試驗結果進行計算分析，得出合理的結論 一般地定義一般地定義： 為表中第為表中第 列中與水平列中與水平 對應的各次對應的各次試驗結果之和。試驗結果之和。ijTji這二組數值的差別說明什么問題呢？這二組數值的差別說明什么問題呢？11T1A 是第一組中是第一組中 水平在每次試驗中都出現水平在每次試驗中都出現，共出現四共出現四次次，而其他因素的二個水平僅各出現二次而其他因

26、素的二個水平僅各出現二次， 可將可將 視為視為是反映了是反映了 水平的四次影響水平的四次影響,而不取決而不取決 哪個水平哪個水平，這也是由正交表的均衡性決定的這也是由正交表的均衡性決定的。 11T1AFDCB、2A21T同理，同理， 大致反映了大致反映了 的影響，的影響， 與與 數據有差異，可看作是數據有差異，可看作是 二個水平有二個水平有差異。差異。21T11T21, AATTniij 1mj2 , 1 顯然，顯然， 注意注意：若水平重復數不同若水平重復數不同，要用要用 （每水平組（每水平組試驗值均值）反映因素試驗值均值）反映因素 水平情況。水平情況。ijijtrT irijTijt 若各水

27、平若各水平 相同相同，用用 ， 都可以。都可以。 各列各列極差極差 各列第各列第 列列 （或（或 ）最大值減最小）最大值減最小值值， 反映了第反映了第 因素對指標影響的大小因素對指標影響的大小， jRijTijtjjjR越大說明該因素對指標影響大越大說明該因素對指標影響大。jR1 2 3 4 5 6 7實驗號實驗號水平水平列號列號因子因子A B C D Fiyj2tjR18.5 12.1 2.7 3.1 0.7 5.7 0.5 j1tjT1jT2339.5 342.7 350.1 350.3 348.4 351.6 348.5358.0 354.8 347.4 347.2 349.1 345.

28、9 349.0T=697.5計算結果寫入表計算結果寫入表61極差分析極差分析1 1因子（素）重要性的比較因子（素）重要性的比較（1 1）由）由 大小看各列中代表因子的重要性大小看各列中代表因子的重要性jR由由 大大 小排出因子主小排出因子主 次次，jRDCFBA; 、說明說明： 未排因子的列一般應比較小未排因子的列一般應比較小，其大小反映試驗的隨機誤差的大小其大小反映試驗的隨機誤差的大小，如如：2.7（三列），（三列），0.5（七列）（七列）；jR 若有因素所在列若有因素所在列 比空列小比空列小，則說明該則說明該因子不重要因子不重要，可去掉如可去掉如： 列列 。D7 . 0 R（2 2）因素各

29、水平的比較）因素各水平的比較 如本例指標大者為好如本例指標大者為好，則應選取使指標大的水平則應選取使指標大的水平，ijTijtji （或（或 ）是反映）是反映 列第列第 個水平的量個水平的量，根據試驗根據試驗所要求的指標決定所選取的水平。所要求的指標決定所選取的水平。如例如例6.1.6.1.所選最佳工藝條件是所選最佳工藝條件是 。21122DFCBAA1A 如如 中選中選 為好。為好。 說明說明：直觀地從試驗結果易看出第直觀地從試驗結果易看出第7 7號試驗結果指標值號試驗結果指標值最大最大，其試驗條件是其試驗條件是 。稱它為。稱它為“看一看看一看”的好條件。的好條件。22122DFCBA 經極

30、差分析，選取的最佳工藝條件是經極差分析，選取的最佳工藝條件是 ，它它稱之為稱之為“算一算算一算”的好條件。二者不全相同。的好條件。二者不全相同。21122DFCBA 因為因為“看一看看一看”的好條件是從的好條件是從8 8個試驗中得知的個試驗中得知的，雖然雖然這八個試驗是由代表性的這八個試驗是由代表性的，但畢竟是全面試驗個數但畢竟是全面試驗個數 中的一部分中的一部分。3225 出現上面情況出現上面情況，說明我們的理論分析與實踐有些差距說明我們的理論分析與實踐有些差距，最終還是要接受實踐的檢驗最終還是要接受實踐的檢驗。 在工作中可以按上面所說的二個試驗條件再做試驗比較在工作中可以按上面所說的二個試

31、驗條件再做試驗比較哪個方案好哪個方案好，可根據實際工作要求靈活選取方案可根據實際工作要求靈活選取方案，稱之為稱之為“試驗驗證試驗驗證”。結論結論2.2.確定最佳工藝條件確定最佳工藝條件 21122DFCBA由試驗目的確定由試驗目的確定，本例大者為好本例大者為好；3.3.進一步指明試驗方向進一步指明試驗方向1.1.因子主次排序因子主次排序 主主DCFBA; 、小決定）小決定）jR次次（由（由大大例例6.16.1 1 1水平水平 FCBA2 2水平水平例例6.2 6.2 提高某種農藥收率的試驗提高某種農藥收率的試驗A反映溫度反映溫度 B反映時間反映時間( (小時小時) ) C某種原料配比某種原料配

32、比 D真空度真空度( (毫米汞柱毫米汞柱) )1 60 2.5 1.1:1 5002 80 3.5 1.2:1 600水平水平：試驗指標是某種農藥收率試驗指標是某種農藥收率試驗目的是提高某種農藥的收率試驗目的是提高某種農藥的收率根據經驗根據經驗，選取的因子和水平如下選取的因子和水平如下：因素因素：試驗結果及計算見下表試驗結果及計算見下表例例6.3 6.3 書書P.226P.226分析分析：空列的空列的 一般應小一般應小，此例此例 大大，說明說明因素還有交互作用因素還有交互作用，待考慮研究。待考慮研究。R6,2063 RR1(60) 1(2.5) 1 1(1.1：1) 1 1 1（500）1 1

33、 1 2(1.2：1) 2 2 2（600）1 2(3.5) 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12(80) 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2實驗號實驗號123456781 2 3 4 5 6 7水平水平A B C D 列號列號jT1jT2366 368 352 351 361 359 359358 356 372 373 363 365 365T=724iy8695919491968388jR8 12 20 22 2 6 6例例6.26.2例例6.3 人造再生木材提高抗彎強度試驗。即該試驗指人造再生木材提高抗彎強度試

34、驗。即該試驗指標是人造再生木材抗彎強度（簡敘為抗彎強度）試驗標是人造再生木材抗彎強度（簡敘為抗彎強度）試驗目的是提高抗彎強度，故最優條件是強度值大者為優。目的是提高抗彎強度，故最優條件是強度值大者為優。該試驗挑選了三個因素，每個因素定三個水平。該試驗挑選了三個因素，每個因素定三個水平。因素水平表因素水平表 因素因素水平水平配比配比A 加溫溫度加溫溫度B (C0) 保溫時間保溫時間C/min1231:1 140 302:3 155 353:8 170 40選取正交表選取正交表L9(37)，進行了表頭設計，按試驗方案的，進行了表頭設計，按試驗方案的各號試驗條件進行了試驗。測定結果紀錄見表各號試驗條

35、件進行了試驗。測定結果紀錄見表6.5。表表6.5 試驗結果表試驗結果表 因素因素試驗號試驗號配比配比A A1 1加溫溫度加溫溫度B B ( (C C0 0) )2 23 3保溫時間保溫時間C/minC/min4 4指標指標y yj j5 51 11 1（1 1：1 1）1 1（140140）1 11 1（3030）35352 21 12 2（155155）2 22 2（3535）30303 31 13 3（170170）3 33 3（4040）29294 42 2（2 2：3 3）1 12 23 326.426.45 52 22 23 31 126266 62 23 31 12 215157

36、73 3（3 3：8 8）1 13 32 220208 83 32 21 13 320209 93 33 32 21 12323試對該試驗結果進行極差分析：給出因素的主次順序，選出最試對該試驗結果進行極差分析：給出因素的主次順序，選出最優工藝條件，討論各因素的水平變化時對指標變化的影響，并優工藝條件，討論各因素的水平變化時對指標變化的影響，并給出今后改進方向。給出今后改進方向。 A B C 1 2 3 4 T1j T2jT2j94 81.4 70 8467.4 76 79.4 65 63 67 75 75.4T=224.4Rj 14.4 9.4 19解：按公式計算出各個解：按公式計算出各個Ti

37、j值和極差值和極差Rj。i=1,2,3,j=1,2,4值，寫值，寫出表出表6.6。表表6.6極差數據分析表極差數據分析表 (1) 由極差由極差Rj值的大小值的大小, 可知因素的主次排序為主可知因素的主次排序為主 A; C, B 次次, 這這是由于是由于R1最大，故最大，故A排在最先，而排在最先，而R4，R2之值排序在后，又因之值排序在后，又因為為R1與與R4，R2差大。故差大。故A與與B用分號用分號“；”區別，而區別，而R4與與R2相近，相近，B與與C就用頓號就用頓號“、”區分。區分。(2) 由于試驗目的是抗彎強度大者為優，所以每個因素是選由于試驗目的是抗彎強度大者為優，所以每個因素是選Tij

38、中中值大的水平值大的水平i。因素。因素A的的T11=94最大，故選一水平最大，故選一水平A1。因素。因素B的的T12=81.4最大，故選一水平最大，故選一水平B1，同理因素，同理因素C選選C1。所以最優工藝。所以最優工藝條件為條件為A1 B1 C1。(3) 畫出因素畫出因素 指標圖（指標圖（6.2）(4) 改進方向改進方向從圖從圖6.2可以看出可以看出, 因素配比因素配比A是從是從1:1變到變到3:8抗斷強度是呈下抗斷強度是呈下降趨勢降趨勢, 且下降幅度比較大且下降幅度比較大;加溫溫度加溫溫度B是從是從140變到變到170，抗彎強度呈下降趨勢；，抗彎強度呈下降趨勢；保溫時間從保溫時間從30變到

39、變到35，抗彎強度呈下降趨勢，而從，抗彎強度呈下降趨勢，而從35變到變到40時又上升。這說明保溫時間定在時又上升。這說明保溫時間定在30較好。較好。因此，如果還希望進一步提高抗彎強度的話，則可取因素因此，如果還希望進一步提高抗彎強度的話，則可取因素A即即配比再小于配比再小于1:1的水平，因素的水平，因素B的加溫時間小于的加溫時間小于140的水平，因素的水平，因素C就還是在就還是在30。再作進一步的探索性試驗，看是否可能再提高。再作進一步的探索性試驗，看是否可能再提高抗彎強度。這就是今后改進的方向。抗彎強度。這就是今后改進的方向。對試驗結果的若干假定對試驗結果的若干假定：1.假定在同一水平組合下

40、試驗結果的全體構成一個總體，假定在同一水平組合下試驗結果的全體構成一個總體，服從正態分布。服從正態分布。 極差分析法直觀簡單易行極差分析法直觀簡單易行，計算量小計算量小，但也有不足之處但也有不足之處判斷因素的作用時缺乏一個定量的標準判斷因素的作用時缺乏一個定量的標準，也不能回答哪些也不能回答哪些因子對試驗指標有顯著影響因子對試驗指標有顯著影響。為回答這一問題可以采用方為回答這一問題可以采用方差分析法。差分析法。 三、數據的方差分析法三、數據的方差分析法 為了對數據做方差分析，需要對數據作若干假定，建立為了對數據做方差分析，需要對數據作若干假定，建立統計模型。統計模型。統計模型統計模型 如如：按

41、正交表按正交表 安排試驗安排試驗，第第j列有列有 個總體個總體記為記為 。)2(78L2 n21,XX 2.各正態總體的方差是相同的，即假定每一總體的各正態總體的方差是相同的，即假定每一總體的方差均為方差均為 。2 3.各正態總體的均值與水平組合有關各正態總體的均值與水平組合有關 。 如如：例例6.1. 水平組合下水平組合下，試驗結試驗結果的均值為果的均值為 。fdkjiFDCBAijkdf 如同方差分析中所建數學模型如同方差分析中所建數學模型，我們也將我們也將 表示為表示為：ijkdf fdkjiijkdf 其中其中 是總的均值是總的均值 )(YE因子因子A 在水平在水平 的效應分別為的效應

42、分別為21,AA21, FDCB21212121,DDCCBBBB21212121, 效應表示一個因子在某種水平與總體的均值的偏差效應表示一個因子在某種水平與總體的均值的偏差，應滿足應滿足：0,0,0,0,02121212121 fdkjiijkdf 其中其中 是總的均值是總的均值 )(YE 4.不同水平組合下的試驗是互相獨立進行的不同水平組合下的試驗是互相獨立進行的 ， 上述假定可用一個模型表示上述假定可用一個模型表示，它包含三個部分它包含三個部分： 即試驗結果即試驗結果 相互獨立相互獨立。pyyy,21 一是數據結構式一是數據結構式， 二是關于效應的約束條件二是關于效應的約束條件， 三是關

43、于誤差的假定。三是關于誤差的假定。 以例以例6.1.為例寫出對應的數據結構如下為例寫出對應的數據結構如下：4 .831111111 rY0 .842222112 rY4 .873211213 rY4 .908112228 rY821, ), 0(2 N其中其中 是獨立同分布是獨立同分布數學模型數學模型： )2(78L作假設作假設： ,0:2101 H0:2102 H,0:2103 H0:2104 H0:2105 H 在上述假定下，方差分析的任務例在上述假定下，方差分析的任務例6.1.6.1.是是對如下五對假設分別作出檢驗對如下五對假設分別作出檢驗： 總平方和分解，構造檢驗統計量。總平方和分解，

44、構造檢驗統計量。用用 表示數據的總平方和表示數據的總平方和：TS考察引起考察引起 波動的原因。波動的原因。pyyy,21總變差總變差 piiTyyS12)(其中其中 是試驗次數是試驗次數， 是試驗結果的總平均是試驗結果的總平均py若記若記 則則pTy piiTy1對正交表對正交表 來講來講，第第 列的列動平方和為列的列動平方和為：j)(mpnL) 1 . 6()(12 niijjpTrTrS可以證明可以證明)2 . 6(1 mjjTSS其中其中 是是 列第列第 水平的均值水平的均值， 是水平是水平重復數重復數irTypTij, jr回憶單因素等重試驗方差分析回憶單因素等重試驗方差分析： 由上述

45、所建統計模型和假設條件可知正交試驗的數由上述所建統計模型和假設條件可知正交試驗的數據滿足方差分析條件，可用方差分析方法討論問題。據滿足方差分析條件，可用方差分析方法討論問題。EAnikikTSSXXS 112)( 只需將方差分析中的計算公式，按其實際含義，移只需將方差分析中的計算公式，按其實際含義，移置過來即可得到公式（置過來即可得到公式（6.16.1）。）。總變差總變差 niiAXXrS12)( niiAXXrS12)( 是數據總的平均值是數據總的平均值X 是水平是水平 試驗重復試驗重復次數次數riAjr 1in 1n是水平總個數是水平總個數 ， 是試驗重復數是試驗重復數 ， 是水平數是水平

46、數 222212kiXXXX 試驗試驗 2njijjjXXXX21jnrirrrXXXX21 kiXXXX 21數量指標數量指標niXXXX21112111niXXXX1重復重復r公式中公式中 是水平是水平 的樣本均值的樣本均值, ,它是能反映它是能反映 均值均值 的量的量, , iXiAiAi iiX 即即 niijjpTrTrS12)( 正交表正交表 試驗數據有試驗數據有 個結果個結果)(mpnLpyyy,21p數據的平均值數據的平均值pTypypi 11 數據之和數據之和 piiyT1rTij 是反映了第是反映了第 個因素第個因素第 個水平均值的代表量個水平均值的代表量ji), 2 ,

47、1(nirTij 其實際內含同其實際內含同 中中 AS iX 將以上各量代入相應的方差分析將以上各量代入相應的方差分析 niiAXXrS12)( 可得到第可得到第 列上的變動平方和公式（列上的變動平方和公式（6.16.1）j表中對應第表中對應第 列的水平列的水平“ ”“ ”的試驗結果有的試驗結果有 個。這個。這 個試驗結果之和即是個試驗結果之和即是 ，其平均值為其平均值為rijijTr niijijjpTpTrTrTrS122222221122pTnrpTTrTniijniij pTTrniij2121 是第是第 列上的變動平方和列上的變動平方和，反映第反映第 列上列上安排因子的安排因子的變差

48、平方和變差平方和 niijjpTrTrS12)(jj注意注意：,pnr TTniij 1即即 第第 列列 之和之和 jSjr水水平平重重復復平平（同同水水平平數數據據和和平平方方）pT數數據據個個數數）（數數據據和和2 pTtrSrTtniijjijij212 又又特別是二水平表特別是二水平表 )2(mpL,21jjjRTT ,21TTTjj rp2 2122iijjrTrTrS2212121 ijjijTTTr221121 jjjTTTr22122 jjjTTT 22121jjTTr 2212jjTT212jRr pRj2 遍歷正交表中各列號遍歷正交表中各列號，不論列中表頭是否有因素不論列中

49、表頭是否有因素，未未排因子的空列是誤差平方和排因子的空列是誤差平方和，可歸入可歸入 jES TS的自由度的自由度 ， 1 pfT的自由度的自由度 jS1 nfj由分解定理知由分解定理知 11 pfmjj mjjTSS1即總變差等于各列變動平方和之和即總變差等于各列變動平方和之和； 見書見書p.218p.218例例可以證明可以證明：EEjjjfSfSF* ),(*EjffF則構造檢驗統計量為則構造檢驗統計量為： 服從服從 分布分布。*jS其中其中 表示安排因子的列的列動平方和表示安排因子的列的列動平方和， *)1(jjTEfpfff 是有因子列的自由度且是有因子列的自由度且 （n表示第表示第j

50、列列中水平個數中水平個數）*jf1* nfj1 pfT 由上面的討論可知由上面的討論可知, ,對于給定的顯著水平對于給定的顯著水平 查查F 分布表分布表 也就是檢驗的拒絕域為也就是檢驗的拒絕域為 。 ),(:*0EjjffFFW 得得 ),(*EjffF ),(*EjjffFFP使使 比如因素比如因素A，計算計算 值值。AF 若若 ，認為在顯著水平認為在顯著水平 下下，因素因素 有顯著影響有顯著影響，),(EAAffFF A 若若 ，則認為因素則認為因素 有顯著影響有顯著影響，在在 上標上標*記為記為 ；),(),(05. 001. 0EAAEAffFFffF AA*A 若若 ，認為因素認為因

51、素 有高度顯著影響有高度顯著影響, ,記為記為 EAAffFF,01. 0 A*A 若若 ，認為因素認為因素 影響不顯著影響不顯著。 EAAffFF,05. 0 A 若若 ，認為在顯著水平認為在顯著水平 下下，因素因素 無顯著影響無顯著影響。 A),(EAAffFF ),(:*0EjjffFFW 討論討論： 相應的自由度也要合并記為相應的自由度也要合并記為 。 jjjSfS記記 在實際應用中在實際應用中, ,一般是先計算出各列的平均變差平方和一般是先計算出各列的平均變差平方和 , ,當當 比比 還要小時還要小時，這個這個 就可以就可以當作誤差平方和歸并到當作誤差平方和歸并到 中去中去，并記為新

52、的誤差平方和并記為新的誤差平方和為為 ，jSEEEfSS jSES eS ef 然后然后，再對其再對其他的有因子占的列的列動平方和計算他的有因子占的列的列動平方和計算 值，用值，用F 檢驗檢驗。jF 若若 時時，判斷在顯著水平判斷在顯著水平 下下該因素作用該因素作用顯著顯著；),(. ejeEjjjffFfSfSF 為了方便為了方便，在應用時在應用時，有的就用有的就用 作合并為作合并為 。這樣做的目的都是為了提高其檢驗的靈敏度這樣做的目的都是為了提高其檢驗的靈敏度。EjSS eS 若若 認為該因素作用認為該因素作用不顯著不顯著。),( ejjffFF 13.10)3 , 1(05. 0 F12

53、.34)3 , 1(01. 0 F舉例舉例例例6.4 對例對例6.1進行方差分析進行方差分析。* 顯著性顯著性 * * * * 比比F128.0938.823.6 12.16 eS1.003A方差來源方差來源BCES DFjS42.78118.3011.201 0.0614.0610.942jf111112jS42.78118.3011.2010.0614.06130.33411112DCFBA最佳工藝條件最佳工藝條件2改進方向同極差分析結果改進方向同極差分析結果3DCFBA;、因素主次排序因素主次排序1主主 次次 結論結論： 在方在方差分析表中將差分析表中將 歸入歸入 中使其增大中使其增大，

54、記記5SES,003. 15 SSSEe )(35ffE 且自由度是且自由度是 。 如果沒有空列時如果沒有空列時，一般不宜做方差分析一般不宜做方差分析，也可以將也可以將jf明顯偏小的一列作為明顯偏小的一列作為 處理處理。ES說明說明： 由于由于 比比 小小, 它表示它表示 D 因素改變對結果因素改變對結果影響小影響小，它的數據偏差主要是由于隨機誤差干擾引起它的數據偏差主要是由于隨機誤差干擾引起。為了提高檢驗的靈敏度為了提高檢驗的靈敏度，可增加估計誤差的精度可增加估計誤差的精度，061. 05 SEEfS第四節第四節 有交互作用的正交試驗設計有交互作用的正交試驗設計 在多因子試驗中在多因子試驗中

55、，有時兩個因子間還存在交互作用有時兩個因子間還存在交互作用。 例如例如：有有4塊試驗田塊試驗田，土質情況基本一樣土質情況基本一樣，種植同樣的種植同樣的作物作物。現將氮肥現將氮肥、磷肥采用不同的方式分別施在磷肥采用不同的方式分別施在4 塊地里塊地里，收獲后算出平均畝產量收獲后算出平均畝產量。記在下表中記在下表中。 從表看出從表看出：磷肥磷肥P氮肥氮肥N)0(1kgN)3(2kgN)2()0(21kgPkgP225200280215只加只加2kg磷肥時磷肥時,平均畝產平均畝產225kg,每畝增產每畝增產25kg；只加只加3kg氮肥時氮肥時,平均畝產平均畝產215kg,每畝增產每畝增產15kg； 不

56、加化肥時不加化肥時，平均畝產只有平均畝產只有200kg；同時加同時加2kg磷肥磷肥, 3kg氮肥施氮肥施,平均每畝增產平均每畝增產280kg；每畝增產每畝增產80kg, 比前兩種情況的總增產量又增加比前兩種情況的總增產量又增加40kg 。以上兩種情況下的總增產值合計為以上兩種情況下的總增產值合計為40kg。磷肥磷肥P氮肥氮肥N)0(1kgN)3(2kgN)2()0(21kgPkgP225200280215 顯然顯然，后一個后一個40 kg就是就是2kg磷肥磷肥，3kg氮肥聯合起來所氮肥聯合起來所起的作用起的作用，叫做磷肥叫做磷肥、氮肥這氮肥這兩個因素的交互作用兩個因素的交互作用。 由上表的情況

57、可知由上表的情況可知，應有下面的公式應有下面的公式： 氮肥磷肥交互作用的效果氮肥磷肥交互作用的效果 同時加同時加2kg磷肥磷肥， 3kg氮肥時氮肥時，平均畝產平均畝產280kg，每畝每畝增產增產80kg，比前兩種情況的總增產量又增加比前兩種情況的總增產量又增加40kg 。 = 氮肥氮肥、磷肥的總效果磷肥的總效果 （只加氮肥的效果（只加氮肥的效果+只加磷只加磷肥的效果）肥的效果） 交互作用是多因子試驗中經常遇到的問題交互作用是多因子試驗中經常遇到的問題，是客觀存在是客觀存在的現象。的現象。 前面我們沒有提到它是出于兩方面考慮前面我們沒有提到它是出于兩方面考慮： 一是使問題單純一是使問題單純、簡化

58、簡化，讓大家盡快掌握正交設計的最讓大家盡快掌握正交設計的最基本的方法基本的方法； 二是在許多試驗中二是在許多試驗中，交互作用的影響有時確實很小交互作用的影響有時確實很小，可可以忽略不計以忽略不計，這樣對問題的影響也不大這樣對問題的影響也不大。 下面討論多因素的交互作用下面討論多因素的交互作用。在多因子的試驗中在多因子的試驗中，交互交互作用的大小主要參照實際經驗作用的大小主要參照實際經驗。 如果確有把握認定交互作用的影響很小如果確有把握認定交互作用的影響很小，就可以忽略不就可以忽略不計計； 如果不能確認交互作用的影響很小如果不能確認交互作用的影響很小，就應該通過試驗分就應該通過試驗分析交互作用的

59、大小析交互作用的大小。CBA 表示高階交互作用表示高階交互作用，我們不研究我們不研究。 交互作用可以理解為一個因素對試驗指標的影響效應交互作用可以理解為一個因素對試驗指標的影響效應，被看作一個單獨因素而安排在所謂被看作一個單獨因素而安排在所謂“交互作用列交互作用列”上上。（不能理解為二個因素聯合起來對試驗指標的影響不能理解為二個因素聯合起來對試驗指標的影響。）。） 一般，設有因素一般，設有因素 等等，若若A的水平對試驗結果指的水平對試驗結果指標的影響同另一因素標的影響同另一因素B水平的選取有關水平的選取有關，這種聯合搭配作這種聯合搭配作用稱為交互作用用稱為交互作用，記為記為 。CBA,BA 有

60、交互作用的正交試驗設計與無交互作用時的正交試驗有交互作用的正交試驗設計與無交互作用時的正交試驗設計不同設計不同，主要差別在表頭設計上。主要差別在表頭設計上。列列1 2 3 4 5 6 7 1 3 2 5 4 7 6列列2 1 6 7 4 5 3 7 6 5 4 4 1 2 3 5 3 2 6 1二列間交互作用表的特點是二列間交互作用表的特點是：1.1.表上所有數字都是列號表上所有數字都是列號；2.2.查表方法查表方法。 如查第如查第1列和第列和第4列交互作用列列交互作用列，就是表中第一列中就是表中第一列中1行行橫看與橫看與4縱列列看交叉點的縱列列看交叉點的5即是即是。 （一）交互作用列表（一）