1、量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章 量子理論基礎(chǔ)1.1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于與+d之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時，取得極大值，因此，就得要求 對的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是

2、平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1.2 在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解：根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知。所考慮的粒子是非相對論性的電子（動能），滿足，因此利用非相對論性的電子的能量動量關(guān)系式，有在這里，利用了，。最后，對 作一點討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的

3、波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。自然單位制： 在粒子物理學(xué)中，利用三個普適常數(shù)（光速c，約化普朗克常數(shù),玻耳茲曼常數(shù)k）來減少獨立的基本物理量的個數(shù)，從而把獨立的量綱減少到只有一種（能量量綱，常用單位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，電子質(zhì)量m=0.51MeV. 核子（氫原子）質(zhì)量M=938MeV，溫度.1.3 氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1

4、K時，氦原子的德布羅意波長。解：根據(jù) ，知本題的氦原子的動能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有 這里，利用了。最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相應(yīng)的德布羅意波長就為 據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就不能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布玻色分布或費米公布。1.4 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；解：玻爾索末菲的量子化條件為： 其

5、中q是微觀粒子的一個廣義坐標(biāo)，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為m，于是有這樣，便有 這里的正負(fù)號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負(fù)方向運動，一正一負(fù)正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)諧振子在最大位移處p=0，可解出 。這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換：這樣，便有 。能量間隔 最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。1.5 兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的

6、波長最大是多少？解：關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的動力學(xué)過程，如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當(dāng)涉及到這個過程的運動學(xué)方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具體到本題，兩個光子能量相等，因此當(dāng)對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對所需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有此外，還有 于是，有 盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)

7、涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波 函數(shù)和薛定諤方程2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。證：對于定態(tài)，可令，得 可見無關(guān)。2.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： 說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。解：在球坐標(biāo)中所以，。 同向，表示向外傳播的球面波。 反向，表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。2.3一粒子在一維勢場 中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。補充：設(shè)已知t=0時刻波函數(shù)為，求 。解：無

8、關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)?令，得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A、B，由連續(xù)性條件，得 由歸一化條件 得 由三角函數(shù)正交性 可見E是量子化的。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 補充：粒子的一般含時波函數(shù)為，在t=0時刻所以，綜上得任意時刻粒子波函數(shù)為 2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是 證： 2.6-14）由歸一化，得 歸一化常數(shù) 2.5 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù) ，。得幾率密度為 對其微

9、分得 由極值條件，令 ， 可得 由的表達(dá)式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。而 即 可見是所求幾率密度最大的位置。 #2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，滿足同樣的S-方程，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。如果體系不存在簡并，它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此之間只能相差一個常數(shù)。方程、可相互進行空間反演 而得其對方，由經(jīng)反演，可得， 由再經(jīng)反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 乘 ，得 可見，即 當(dāng)時，具有偶宇稱，當(dāng)時，具有奇宇稱。 如果

10、體系存在簡并，對做線性組合：根據(jù)疊加原理，也滿足S-方程，且滿足，具有偶宇稱，具有奇宇稱。S-方程的定態(tài)波函數(shù)可以表達(dá)為（偶宇稱）和（奇宇稱）的疊加形式。綜上，當(dāng)勢場滿足時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#2.7 一粒子在一維勢阱中運動， 求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程。補充：取電子質(zhì)量，勢阱深20eV，a=0.5nm，給出基態(tài)（和第一激發(fā)態(tài)）能級的數(shù)值結(jié)果并作波出函數(shù)和概率密度的圖。解法一：粒子所滿足的定態(tài)S-方程為 按勢能的形式分區(qū)域的具體形式為 ： ： ： 整理后，得 ： ：. ： 令 則 ： ：. ： 各方程的解為 由波函數(shù)的有限性，有 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式。注意，系數(shù)依賴于未定常數(shù)E，即該方程為數(shù)學(xué)上的本征方程。要方程組有非零解，必須系數(shù)矩陣的行列式為零 即 為所求束縛態(tài)能級(E)所滿足的方程。注意 都依賴于E，做出函數(shù)的圖，其中束縛態(tài)要求0E