1、Basic Mechanics IIChapter 16. Deformation Calculation and stiffness of Elastic Bar 1 1、桿的縱向總變形：、桿的縱向總變形： 3 3、平均線應變：、平均線應變：LLLLL1d 2 2、線應變：單位長度的線變形。、線應變：單位長度的線變形。一、拉壓桿的變形及應變一、拉壓桿的變形及應變LLL1d 拉壓桿的變形拉壓桿的變形(deformation) (deformation) 彈性定律彈性定律abcdxL4 4、x點處的縱向線應變：點處的縱向線應變：xxxdlim 06 6、x點處的橫向線應變：點處的橫向線應變：5

2、5、桿的橫向變形：、桿的橫向變形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉壓桿的彈性定律二、拉壓桿的彈性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等內力拉壓桿的彈性定律、等內力拉壓桿的彈性定律2 2、變內力拉壓桿的彈性定律、變內力拉壓桿的彈性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1d內力在內力在n段中分別為常量時段中分別為常量時“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。稱為桿的抗拉壓剛度。PPN（x）xd xN(x)dxx 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、單向應力狀態下的彈性定律、單向應力狀態下的彈性定律 1:E即4 4、

3、泊松比（或橫向變形系數）、泊松比（或橫向變形系數） :或三、是誰首先提出彈性定律三、是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學等固體力學一個非常重要的基礎。一般認為它是由英國科學家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實，在胡克之前1500年，我國早就有了關于力和變形成正比關系的記載?！啊焙赫垎?， 弛其弦，以繩緩援之是什么意思? 鄭：這是講測量弓力時，先將弓的弦 松開，另外用繩子松松地套住弓的兩端，然后加重物，測量。 胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應力，處于自然狀態。 東漢經學家鄭玄(127200)對考工記弓人中“量其力，有三均”作了 這樣的注釋：“假令弓力勝三石，

4、引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。” (圖) 鄭：后來，到了唐代初期，賈公彥對我的注釋又作了注疏，他說：鄭又云假令弓力勝三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，當弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以繩系兩箭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三尺。 其中”“兩蕭 就是指弓的兩端。一條“胡：鄭老先生講“每加物一石，則張一尺”。和我講的完全是同一個意思。您比我早1500中就記錄下這種正比關系，的確了不起，和推測一文中早就推崇過貴國的古代文化： 目前我們還只是剛剛走到這個知識領域的邊緣，然而一旦對它有了充分的認識，就將會在我們面 前展現出一個迄今為止只被人們神話般地

5、加以描述的知識王國”。1686年關于中國文字和語言的研究真是令人佩服之至我在C1、怎樣畫小變形放大圖？變形圖嚴格畫法，圖中弧線；求各桿的變形量Li ，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。例例1 小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、寫出圖2中B點位移與兩桿變形間的關系ABCL1L21L2LBuBvB1LuB解：變形圖如圖2， B點位移至B點，由圖知：sinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例2 設橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦

6、的定滑輪。設 P=20kN，試求剛索的應力和 C點的垂直位移。設剛索的 E =177GPa。解：方法1：小變形放大圖法 1）求鋼索內力：以ABCD為對象2) 鋼索的應力和伸長分別為：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）變形圖如左圖 , C點的垂直位移為：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL 拉壓桿的彈性應變能拉壓桿的彈性應變能 (strain energy)(strain energ

7、y)一一、彈性應變能：彈性應變能：桿件發生彈性變形，外力功轉變為變形能貯存 與桿內，這種能成為應變能（Strain EnergyStrain Energy）用“U”表示。二、二、 拉壓桿的應變能計算：拉壓桿的應變能計算： 不計能量損耗時，外力功等于應變能。) d)(d (xEAxNx xxNWUd)(21ddxEAxNUd2)(d2LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122內力為分段常量時N（x）xd xN(x)dxx三、三、 拉壓桿的比能拉壓桿的比能 u：(strain-energy density)(strain-energy density) 單位體積內的應變能。21dd)(

8、21ddxAxxNVUuN（x）xd xN(x)dxxdxxxddN(x)N(x)xd)(xNkN55.113/PT解：方法2：能量法： （外力功等于變形能） （1）求鋼索內力：以ABD為對象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例3 設橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設 P=20kN，試求剛索的應力和 C點的垂直位移。設剛索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.

9、7655.119AT（2) 鋼索的應力為：（3) C點位移為：800400400CPAB60 60能量法能量法：利用應變能的概念解決與結構物：利用應變能的概念解決與結構物或構件的彈性變形有關的問題，這種方法或構件的彈性變形有關的問題，這種方法稱為能量法。稱為能量法。 拉壓超靜定問題及其處理方法拉壓超靜定問題及其處理方法1、超靜定問題、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力 （外力、內力、應力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法一、超靜定問題及其處理方法2、超靜定的處理方法、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協調方程、物理 方程相結合，進行求解。例例4 設1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知

10、：各桿長為：L1=L2、 L3 =L ；各桿面積為A1=A2=A、 A3 ；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL幾何方程變形協調方程：物理方程彈性定律：補充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補充方程組成的方程組，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；幾何方程

11、變形協調方程；物理方程彈性定律；補充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。3、超靜定問題的方法步驟：、超靜定問題的方法步驟：例例5 5 木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為1=160M Pa和2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和補充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求結構的許可載荷： 方法1:

12、角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角鋼將先達到極限狀態，的前提下，角鋼將先達到極限狀態， 即角鋼決定最大載荷。即角鋼決定最大載荷。求結構的許可載荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？倍，怎樣？ 若將

13、木的面積變為若將木的面積變為25mm，又又怎樣？怎樣？結構的最大載荷永遠由鋼控制著結構的最大載荷永遠由鋼控制著。方法2:、幾何方程解：、平衡方程:2、靜不定問題存在裝配應力靜不定問題存在裝配應力。0sinsin21NNX0coscos321NNNY13cos)(LL二、裝配應力二、裝配應力預應力預應力1、靜定問題無裝配應力。、靜定問題無裝配應力。 如圖，3號桿的尺寸誤差為，求各桿的裝配內力。ABC12ABC12DA13cos)(33331111AELNAELN、物理方程及補充方程： 、解平衡方程和補充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos

14、23311331133AEAEAELNA1N1N2N3AA13L2L1L1 1、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力。三三 、裝配溫度、裝配溫度 如圖，1、2號桿的尺寸及材料都相同，當結構溫度由T1變到T2時,求各桿的溫度內力。（各桿的線膨脹系數分別為i ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、靜不定問題存在溫度應力。、靜不定問題存在溫度應力。CABD123A11L2L3L、幾何方程解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNYcos31LLiiiiiiiLTAELNL、物理方程：PAN1N3N2CABD123A11L2L3L、補充方程

15、cos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和補充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEN aaaaN1N2例例6 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5 時被固定,桿的上下兩段的面積分別 =cm2 ， =cm2，當溫度升至T2 =25時,求各桿的溫度應力。 (線膨脹系數 =12.5 ； 彈性模量E=200GPa)C1106、幾何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和補充方程，得:kN 3 .3321 NN、補充方程2211 ; 2EA

16、aNEAaNLTaLNT22112EANEANT、溫度應力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN35 等直圓桿在扭轉時的變形等直圓桿在扭轉時的變形 剛度條件剛度條件一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp二、單位扭轉角二、單位扭轉角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗

17、扭剛度截面的抗扭剛度。 稱為許用單位扭轉角。剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時，還可依據此條件進行選材。 例例77長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應力 =30MPa，試設計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。解：設計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD314max 116）（TD40NmxT代入數值得：D 0.0226m。 由扭轉剛度條件校核剛度180

18、maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面轉角為：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 例例88 某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態下,扭矩如 圖，由強度條件得： 500400N1N3

19、N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此

20、時,軸的最大直徑才 為 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81436 等直圓桿的扭轉超靜定問題等直圓桿的扭轉超靜定問題解決扭轉超靜定問題的方法步驟：解決扭轉超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協調方程；變形協調方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。 例例99長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。解解：桿的受力圖如圖示，

21、這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmm幾何方程變形協調方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結果。mN 20Bm37 等直圓桿在扭轉時的應變能等直圓桿在扭轉時的應變能GdV)dx(dzdy)(dW212122121ddddGVWVUu一、一、 應變能與能密度應變能與能密度acddxb dy dzzxy單元體微功：單元體微功：應變比能：應變比能：二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算1. 1. 應力的計算應力的計算=+ Q TtT

22、QWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT2. . 彈簧絲的強度條件彈簧絲的強度條件: : 83dDPKmax精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）33max8861504414dDPKdDPC.CC其中：dDC C.CCK61504414稱為彈簧指數。稱為曲度系數。3. .位移的計算位移的計算( (能量法）能量法）為彈簧常數。 64 ; 64 ; 3443nRGdKKPGdnPRUWPW21 外力功：變形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG222122 例例1010 圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直 徑

23、為：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，試求最大剪應力的近似值和精確值；若 G =82GPa，欲使彈簧變形等于 6mm， 問：彈簧至少應有幾圈？解：最大剪應力的近似值：MPa3290180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(最大剪應力的精確值：09161504414 ; 631518125 .C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK彈簧圈數： 6612505006410188266436434.PRGdn（圈）38 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿：非圓

24、截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。一一、自由扭轉、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉：、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的剪應力、矩形桿橫截面上的剪應力: : hbh 1T max 注意！b1. 剪應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）2. 最大剪應力及單位扭轉角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW其中：4 bIt , tGIT其中：It相當極慣性矩

25、。hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！ 對于W t 和 It ，多數教材與手冊上有如下定義：hbIGITtt3 : , 其中max131 ; ) 10 : (bh即對于狹長矩形查表求 和 時一定要注意，表中 和 與那套公式對應。hbh 1T max 注意！b 例例11 11 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉力偶 T=4000Nm 的 作用 ，鋼的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，試校核 此桿的強度和剛度。解：查表求 、校核強度0.493 ; 0.457 ; 250100bh m1066105049

26、30 3633.btW校核剛度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4844m102840504570 .bIt /m1rad/m0174501028610804000 o89.GITt綜上,此桿滿足強度和剛度要求。概述概述梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分求梁的撓度與轉角的共軛梁法求梁的撓度與轉角的共軛梁法按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉角撓度與轉角梁的剛度校核梁的剛度校核彎彎 曲曲 變變 形形 梁內的彎曲應變能梁內的彎曲應變能簡單超靜定簡單超靜定梁的求解方法梁的求解方法梁內的彎曲應變能梁內的彎曲應變能概概 述述研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位

27、移的計算。研究目的：對梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。 與 f 同向為正，反之為負。2.轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用 表示，順時針轉動為正，反之為負。二、撓曲線：變形后，軸線變為光滑曲線，該曲線稱為撓曲線。二、撓曲線：變形后，軸線變為光滑曲線，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為： v =f (x)三、轉角與撓曲線的關系：三、轉角與撓曲線的關系：一、度量梁變形的兩個基本位移量一、度量梁變形的兩個基本位移量 (1) ddtgfxf小變形小變形PxvC C1f 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分

28、方程及其積分zzEIxM)(1一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是撓曲線近似微分方程。EIxMxf)()( （2）)( )1 ()(1232xffxf 小變形小變形fxM00)( xffxM00)( xf)()(xMxfEI 對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）二、求撓曲線方程（彈性曲線）)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。 可應用于求解承受各種載

29、荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續條 件）確定。 優點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。支點位移條件：連續條件：光滑條件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或寫成CC右左或寫成CCff例例1 1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。建立坐標系并寫出彎矩方程)()(LxPxM寫出微分方程的積分并積分應用位移邊界條件求積分常數)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：PLxf寫

30、出彈性曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大撓度及最大轉角xfPL解：建立坐標系并寫出彎矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫出微分方程的積分并積分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa應用位移邊界條件求積分常數061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線)(a 36)0( 3

31、)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大撓度及最大轉角PLaxf 求梁的撓度與轉角的共軛梁法求梁的撓度與轉角的共軛梁法)()(:梁的撓曲線微分方程xMxfEI 一、方法的用途：求一、方法的用途：求梁上指定點的撓度與轉角。梁上指定點的撓度與轉角。二、方法的理論基礎：相似比擬。二、方法的理論基礎：相似比擬。)()(:為梁的外載與內力的關系xqxM 上二式形式相同，用類比法，將微分方程從形式上轉化為外載與內力的關系方程。從而把求撓度與轉角的問題轉化為求彎矩與剪力的問題。三、共軛梁（實梁與虛梁的關系）：三、共軛梁（實

32、梁與虛梁的關系）：x軸指向及坐標原點完全相同。幾何形狀完全相同。實梁對應方程：)()(xMxfEI )()(xqxM )()( xMxfEI 虛梁“力”微分方程的積分00d)()()(QxxqxMxQx0000d)d)()(MxQxxxqxMxx 載荷。依此建立虛梁上的分布令：)()( xMxq)()(xqxM 虛梁對應方程：)()( xMxEIf下腳標帶“0”的量均為坐標原點的量。實梁“位移”微分方程的積分)()(xMxfEI 00)()(EIdxxMxfEIEIx0000d)d)()(EIfxEIxxxMxEIfxx )()( xQxEI依實梁的“位移”邊界條件建立虛梁的“力”邊界條件。A

33、AAAQEIMEIf ; 中間鉸中間鉸支座支座A 虛虛虛虛 梁梁梁梁 實實實實 梁梁梁梁 共共 軛軛 梁梁支支 承承 和和 端端 部部 情情 況況 位位移移邊邊界界相相應應的的支支承承和和端端部部情情況況 力力邊邊界界0Af0A0Af0A右左AA右左AAff右左AAMM右左AAQQ固定端固定端AA0 AM0 AQ0 AM0 AQ0 AM0 AQ0Af0A0右左AA0Af0右左AAQQ0 AM固定端固定端AA自由端自由端AA自由端自由端AA鉸支端鉸支端AA鉸支端鉸支端AA中間鉸中間鉸支座支座A中間鉸中間鉸A中間鉸中間鉸A總結：等截面實梁與虛梁的關系如下：總結：等截面實梁與虛梁的關系如下： x 軸

34、指向及坐標原點完全相同。 幾何形狀完全相同。依實梁的“位移”邊界條件，建立虛梁的“力”邊界條件。AAAAQEIMEIf ; EIQEIMfxxxx ; 依虛梁的“內力”，求實梁的“位移”。a ：固定端 自由端b ：鉸支座 鉸支座c ：中間鉸支座 中間鉸鏈載荷。依此建立虛梁上的分布令：)()( xMxq解： 建立坐標和虛梁例例2 2 求下列等截面直梁B點的位移（撓度和轉角）。求虛梁B點的剪力和彎矩，以求實梁B點的轉角和撓度求實梁的彎矩方程 以確定虛梁荷載2)(2q)( xLxM2)(2q)( )( xLxMxqqLABfx220qLq )(xqABL求虛梁B點的剪力和彎矩，以求實梁B點的轉角和撓

35、度30LqQEIBB8434qLLAMEIfqBBEIqLB63EIqLfB84面積)的(點左側xqBQB220qLq )(xqABL面積對)的(點左側xqBBMB點之矩 解： 建立坐標和虛梁求虛梁B點的剪力和彎矩求實梁的彎矩方程以確定虛梁荷載) )( M(xxq2 ; 2qaRqaRDAqqa2qaABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+aaafxD求虛梁B點的剪力和彎矩 72133qaRA3237252217213qaaqaqaBQC點左右位移怎樣？點左右位移怎樣？42372732217213qaaaqaaqaBMEIqaB7253EIqafB7274qa2/2xMqa2/

36、2qa2/23qa2/8+ABCaaaDqa2/23qa2/8將截面的變化折算到彎矩之中去。幾何形狀：長度不變，慣性矩變為I0 。實梁對應方程：虛梁對應方程：)()(0 xMxfEI )()(xqxM 四、變截面直梁的共軛梁法：四、變截面直梁的共軛梁法：000)()()()(EIxMIIxEIxMxf )()(0 xMxfEI )()()(0 xIIxMxM其它與等截面直梁完全相同。載荷。依此建立虛梁上的分布令：)()( xMxq例例3 3 求下列變截面直梁C點的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。解： 建立坐標和虛梁) )( (xMxqADADADxMxIIxMxM)()()()(

37、02)()()(DEDEADDEDExMIIxMxMaaP0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4PaaaP0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4Pa求虛梁C點的剪力和彎矩 3252PaRA0CQ332362821428PaaaPaaaPa0CADCEIPaf32333224213252aaPaaPaCM按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉角撓度與轉角一、載荷疊加：一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結構而引起的變形 等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()(

38、)(221121nnnPfPfPfPPPf 二、結構形式疊加（逐段剛化法）：二、結構形式疊加（逐段剛化法）：例例4 4 按疊加原理求A點轉角和C點 撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534例例5 按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。疊加EI

39、bLbPfdPC48)43()d(32bLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322dPCqCffEIqLbEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LxdxbxfC例例6 結構形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxf21ffffPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxf梁的剛度校核梁的剛度校核)100012501( :對土建工程( maxLfLfLf max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中稱為許用轉角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度

40、計算：、校核剛度：、設計截面尺寸；、設計載荷。LfLfmax max(但：對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下圖為一空心圓桿，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規定C點的f/L=0.00001,B點的=0.001弧度,試核此桿的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafB

41、C32233解：結構變換，查表求簡單 載荷變形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221疊加求復雜載荷下的變形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423

42、. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxLfLfmaxm10m1019.556maxff校核剛度dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應變能的計算：一、彎曲應變能的計算： 梁內的彎曲應變能梁內的彎曲應變能EIxM)(1d)(21ddxMWUxEIxMUd2)(d2LxEIxMUd2)( 2xdd 應變能等于外力功。不計剪切應變能并略去ddMdM(x)P1MxfP2dxd 例例8 用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。CPfW21解：外力功等于應變能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在應用對稱性

43、，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？Paaqxf二、二、 梁的沖擊問題梁的沖擊問題1.1.假設：假設：沖擊物為鋼體； 不計被沖擊物的重力勢能和動能； 沖擊物不反彈； 不計聲、光、熱等能量損耗（能 量守恒）。0)(21沖擊前2111dfhmgmvUVT mgLhABCABCxffd222222)(21)(21)(212100沖擊后djdjjdddffmgffPfkfPUVT沖擊前、后，能量守恒，所以：ABCxffd22)(2)(21djdffmgfhmgmvjdjjfKffhgvf)2)(11 (2djjddfhgvf

44、fK2)2(11:動荷系數jfhdK211:)1(自由落體2:)2(dK突然荷載hBACmgE=P三、動響應計算：三、動響應計算：解：求C點靜撓度2211;2PACjRCCAAf例例9 結構如圖，AB=DE=L，A、C 分別為 AB 和 DE 的中點，求梁在重物 mg 的沖擊下，C 面的動應力。ABDEAEIPLEILR964833EIPL19253C1A1 DEIEIEIDEABLC2動荷系數36411 211PLEIhfhdKCj求C面的動應力zzCdCjdCdWPLPLEIhWMKK4)6411(3maxmaxhBACmgE=PC1A1DEIEIEIDEABLC2簡單超靜定簡單超靜定梁的

45、求解方法梁的求解方法1、處理方法：變形協調方程、物理方程與平衡方程相結合，求全部未知力。解：建立靜定基 確定超靜定次數，用反力代替多余約束所得到的結構靜定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf幾何方程變形協調方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程變形與力的關系補充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它問題（反力、應力、 變形等）幾何方程 變形協調方程：解：建立靜定基BCBRBqBLfffB=例例10 結構如圖，求B點反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程變形與力的關系補充方程求解其它問題（反力、應力、 變形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 83