1、初一數學奧林匹克競賽題（含答案）初一奧數題一甲多開支100元，三年后負債600元求每人每年收入多少？ S的末四位數字的和是多少？4一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程5求和：6證明：質數p除以30所得的余數一定不是合數8若兩個整數x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除9如圖195所示在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點求證：PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半解答：所以 x=5000(元)所以S的末四位數字的和為1995=243因為 a-b0，即ab

2、即當ba0或ba0時，等式成立4設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米依題意則有由有2x+y=20， 由有y=12-x將之代入得 2x+12-x=20所以x=8(千米)，于是y=4(千米)5第n項為所以6設p=30qr，0r30因為p為質數，故r0，即0r30假設r為合數，由于r30，所以r的最小質約數只可能為2，3，5再由p=30qr知，當r的最小質約數為2，3，5時，p不是質數，矛盾所以，r一定不是合數7設由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知m4由，m0，且為整數，所以m=1，2，3下面分別研究p，q(1)若m=1時，有解得p=1，q=1，與已知不符

3、，舍去(2)若m=2時，有因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解(3)若m=3時，有解之得故 pq=88因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由題設，9(x2+xyy2)，所以3(x2xyy2)，從而3(x-y)2因為3是質數，故3(x-y)進而9(x-y)2由上式又可知，93xy，故3xy所以3x或3y若3x，結合3(x-y)，便得3y；若3y，同理可得，3x9連結AN，CN，如圖1103所示因為N是BD的中點，所以上述兩式相加另一方面，SPCD=SCNDSCNPSDNP因此只需證明SANDSCNPSDNP由于M，N分別為AC，BD的中點，所以SCNP=SCPM-

4、SCMN =SAPM-SAMN=SANP又SDNP=SBNP，所以SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND初一奧數題二1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值2某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據經驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？3如圖196所示已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90求證：DAAB4已知方程組的解應為一個學生解題時把c抄錯了，因此得到的解為求a2b2c2的值5求方程xy-2x+y=4的整

5、數解6王平買了年利率7.11的三年期和年利率為7.86的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22)7對k，m的哪些值，方程組 至少有一組解？8求不定方程3x4y13z=57的整數解9小王用5元錢買40個水果招待五位朋友水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個的價格分別為20分、8分、3分小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，并且各人得到的蘋果數目互不相同，試問他能否實現自己的愿望？解答：1原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000

6、=2x131-2x+2000=20032原來每天可獲利4100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4x)元，但每天賣出為(100-10x)件如果設每天獲利為y元，則y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元3因為CE平分BCD，DE平分ADC及12=90(圖1104)，所以ADCBCD=180，所以 ADBC又因為 ABBC，由， ABAD4依題意有所以a2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+

7、1)(y-2)=2因為x10，且x，y都是整數，所以所以有6設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則因為y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因為 (k1)xm-4， m為一切實數時，方程組有唯一解當k=1，m=4時，的解為一切實數，所以方程組有無窮多組解當k=1，m4時，無解所以，k1，m為任何實數，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解8

8、由題設方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m原方程的通解為 其中n，m取任意整數值9設蘋果、梨子、杏子分別買了x，y，z個，則消去y，得12x-5z=180它的解是x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得y=-23017t故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能實現，因為按他的要求，蘋果至少要有123+456=2120個初一奧數題三1解關于x的方程2解方程其中abc03求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項系數之和4液態農藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4

9、升，再用水灌滿，這時農藥的濃度為72，求桶的容量5滿足-1.77x=-2x的自然數x共有幾個？這里x表示不超過x的最大整數，例如-5.6=-6，3=36設P是ABC內一點求：P到ABC三頂點的距離和與三角形周長之比的取值范圍7甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經過9小時到東站，乙經過16小時到西站，求兩站距離8黑板上寫著三個數，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數的和減1，這樣繼續下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2？9設有n個實數x1，x2，xn，其中每一個不是+1就是-1，且求證：n是4的倍數解答：1化簡得6(a-1)x=3-6

10、b+4ab，當a1時，2將原方程變形為由此可解得x=ab+c3當x=1時，(8-6+4-7)3(2-1)2=1即所求展開式中各項系數之和為1依題意得去分母、化簡得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5若n為整數，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因為x為自然數，所以00.23x1，經試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個6如圖1105所示在PBC中有BCPBPC， 延長BP交AC于D易證PBPCABAC 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPC

11、ACBC， ABPAPBACAB 得ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7設甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米依題意得由得16y2=9x2， 由得16y=249x，將之代入得即 (249x)2=(12x)2解之得于是所以兩站距離為98166=168(千米)8答案是否定的對于2，2，2，首先變為2，2，3，其中兩個偶數，一個奇數以后無論改變多少次，總是兩個偶數，一個奇數(數值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變為19，1997，1999這三個奇數。又因為所以，k是偶數，從而n是4的倍數初一奧數題四1已知a，b，c，d都是正數，

12、并且ada，cdb求證：acbdab2已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍因市場變化，乙種商品提價的百分數是甲種商品降價的百分數的2倍調價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2，求乙種商品提價的百分數3在銳角三角形ABC中，三個內角都是質數求三角形的三個內角4某工廠三年計劃中，每年產量遞增相同，若第三年比原計劃多生產1000臺，那么每年比上一年增長的百分數就相同，而且第三年的產量恰為原計劃三年總產量的一半，求原計劃每年各生產多少臺？ z=x+y+y+1+x-2y+4，求z的最大值與最小值8從1到500的自然數中，有多少個數出現1或5？9從19，20，21，98這80個數中，選取兩個

13、不同的數，使它們的和為偶數的選法有多少種？解答：1由對稱性，不妨設ba，則acbdacad=a(cd)ab2設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元設甲商品降價y，則乙商品提價2y依題意有1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5xx)(12)，化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.51.02所以y=0.1=10，所以甲種商品降價10，乙種商品提價203因為A+BC=180，所以A，B，C中必有偶數唯一的偶質數為2，所以C=2所以A+B=178由于需A，B為奇質數，這樣的解不唯一，如4設每年增產d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數分別為a-d，a，ad依題意有 解之得所以三年產量

14、分別是4千臺、6千臺、8千臺不等式組： 所以 x2； 無解6設原式為S，則 所以又0.112-0.001=0.111因為所以 =0.1057由x1，y1得 -1x1，-1y1所以y10，x-2y+4-1-21+4=10所以z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5(1)當x+y+0時，z=-(x+y)x-y+5=5-2y由-1y1可推得35-2y7，所以這時，z的最小值為3、最大值為7(2)當x+y0時，z=(xy)+(x-y+5)=2x+5由-1x1及可推得32x+57，所以這時z的最小值為3、最大值為7由(1)，(2)知，z的最小值為3，最大值為78百位上數字只是1的數有10

15、0，101，199共100個數；十位上數字是1或5的(其百位上不為1)有2310=60(個)個位上出現1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有238=48(個)再加上500這個數，所以，滿足題意的數共有100+60+48+1=209(個)9從19到98共計80個不同的整數，其中有40個奇數，40個偶數第一個數可以任選，有80種選法第一個數如果是偶數，第二個數只能在其他的39個偶數中選取，有39種選法同理，第一個數如果是奇數，第二個數也有39種選法，但第一個數為a，第二個為b與第一個為b，第二個為a是同一種選法，所以總的選法應該折半，即共有種選法初一奧數題五1一項任務，若每天超額2件，可提前計劃

16、3天完工，若每天超額4件，可提前5天完工，試求工作的件數和原計劃完工所用的時間2已知兩列數2，5，8，11，14，17，2(200-1)3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)4，它們都有200項，問這兩列數中相同的項數有多少項？3求x3-3px2q能被x22axa2整除的條件4證明不等式5若兩個三角形有一個角對應相等求證：這兩個三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比6已知(x-1)2除多項式x4ax3-3x2bx3所得的余式是x+1，試求a，b的值7今有長度分別為1，2，3，9的線段各一條，可用多少種不同方法，從中選用若干條，使它們能圍成一個正方形？8平面上有10條直線，其中4

17、條是互相平行的問：這10條直線最多能把平面分成多少部分？9邊長為整數，周長為15的三角形有多少個？解答：1設每天計劃完成x件，計劃完工用的時間為y天，則總件數為xy件依題意得 解之得總件數xy=815=120(件)，即計劃用15天完工，工作的件數為120件2第一列數中第n項表示為2(n-1)3，第二列數中第m項表示為5(m-1)4要使2(n-1)35+(m-1)4所以因為1n200，所以所以m=1，4，7，10，148共50項3x3-3px+2q被x22axa2除的余式為3(a2-p)x2(qa3)，所以所求的條件應為4令因為所以5如圖1-106(a)，(b)所示ABC與FDE中，A=D現將D

18、EF移至ABC中，使A與D重合，DE=AE，DF=AF，連結FB此時，AEF的面積等于三角形DEF的面積得6不妨設商式為x2+x由已知有x4ax3-3x2bx3=(x-1)2(x2+x)+(x1)=(x2-2x1)(x2 x)x1=x4+(-2)x3+(1-2)x2(1-2)x+1比較等號兩端同次項的系數，應該有只須解出所以a=1，b=0即為所求7因為所以正方形的邊長11下面按正方形邊的長度分類枚舉：(1)邊長為11：92=8+3=74=6+5， 可得1種選法(2)邊長為10：91=82=73=6+4， 可得1種選法(3)邊長為9：9=8+1=7+2=6+3=5+4， 可得5種選法(4)邊長為8：8=7+1=6+2=5+3， 可得1種選法(5)邊長為7：7=6+1=52=43， 可得1種選法(6)邊長6時，無法選擇綜上所述，共有1+1+5+1+1=9種選法組成正方形8先看6條不平行的直線，它們最多將平面分成2+23+4+56=22個部分現在加入平行線加入第1條平行線，它與前面