1、第七章第七章 濾波器設計方法濾波器設計方法Filter Design Techniques7.0 引言引言濾波器：濾波器：一種特別重要的線性時不變系統一種特別重要的線性時不變系統 線性時不變系統線性時不變系統選頻濾波器：選頻濾波器：對信號的頻率成分進行選擇（通過或拒絕）的對信號的頻率成分進行選擇（通過或拒絕）的系統系統濾波器的廣義定義：濾波器的廣義定義：能對某些頻率進行修正的能對某些頻率進行修正的系統系統兩點說明：兩點說明：（1）重點討論）重點討論選頻濾波器選頻濾波器設計設計 - 設計方法具有廣泛應用價值設計方法具有廣泛應用價值（2）濾波器是因果的）濾波器是因果的 （作一些修正可以得到非因果濾

2、波器）（作一些修正可以得到非因果濾波器）濾波器內容包括：濾波器內容包括：（1）濾波器設計）濾波器設計（2）濾波器實現（結構、算法）濾波器實現（結構、算法）- 第六章第六章濾波器設計的步驟：濾波器設計的步驟：（1）給出系統所要求特性的技術指標）給出系統所要求特性的技術指標（頻域）（頻域）（2）用因果離散時間系統逼近這些技術指標）用因果離散時間系統逼近這些技術指標濾波器濾波器 - 離散時間系統離散時間系統 數字濾波器數字濾波器 （digital filters）對對連續時間信號連續時間信號進行進行離散時間濾波離散時間濾波的基本系統：的基本系統：技術指標（有效連續和離散時間濾波器）：技術指標（有效連

3、續和離散時間濾波器）：頻域的技術指標頻域的技術指標如圖所示連續與離散時間濾波器的等效條件：如圖所示連續與離散時間濾波器的等效條件：輸入帶限；采樣頻率避免混疊輸入帶限；采樣頻率避免混疊即：即：有效連續濾波器指標有效連續濾波器指標 （轉換為）（轉換為） 離散濾波器指標離散濾波器指標 - =T離散濾波器的特性：離散濾波器的特性：jeff(e), /,(j )0, /.THTHT jeff(e )j,.HHT例例7.1 離散時間濾波器指標的確定離散時間濾波器指標的確定低通離散時間濾波器：對連續時間信號進行低通濾波低通離散時間濾波器：對連續時間信號進行低通濾波采樣頻率為采樣頻率為10000樣本樣本/秒，

4、即秒，即10000 Hz （10 kHz），（），（T= 10-4s）圖示系統的特性：圖示系統的特性：（1）在頻帶在頻帶02(2000)內內,增益增益|Heff(j)|應當在應當在單位幅度單位幅度0.01之內之內（2）在頻帶在頻帶 2(3000)內內,增益增益|Heff(j)|應當不大于應當不大于0.001|Heff(j)|的指標如圖所示：的指標如圖所示：圖中的具體參數為：圖中的具體參數為：理想的通帶增益為理想的通帶增益為1通帶增益：通帶增益：1+1 1-1 阻帶增益：阻帶增益：0 2以分貝表示：以分貝表示：相應的相應的離散時間濾波器離散時間濾波器指標（圖）：指標（圖）：與上圖基本相同，以歸一

5、化頻率：與上圖基本相同，以歸一化頻率：=T， 0 其余頻段：周期性導出其余頻段：周期性導出相應的通帶幅度：相應的通帶幅度：其中其中1 = 0.01p= 2(2000)10-4 = 0.4 - 通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶幅度：阻帶幅度：2 = 0.001s= 2(3000)10-4 = 0.6 - 阻帶截止頻率阻帶截止頻率實際可實現性實際可實現性 - 對理想濾波器的逼近對理想濾波器的逼近 - 過渡帶（過渡帶（ s - p ）從通帶從通帶光滑光滑過渡到阻帶。虛線表示實際濾波器的幅度響應過渡到阻帶。虛線表示實際濾波器的幅度響應實際數字濾波器設計，考慮到：實際數字濾波器設計，考慮到：（1）實際應用中

6、的離散時間信號并不都是由連續時間信號導出；）實際應用中的離散時間信號并不都是由連續時間信號導出；（2）離散時間系統的討論，采樣周期無影響（歸一化頻率）離散時間系統的討論，采樣周期無影響（歸一化頻率）濾波器設計濾波器設計 - 離散頻率變量離散頻率變量表示的技術指標（表示的技術指標（域指標）域指標）主要的技術指標：主要的技術指標：幅度響應（幅度響應（域）域）相位響應相位響應 - 不是非常重要（滿足濾波器隱含的穩定性和因果性不是非常重要（滿足濾波器隱含的穩定性和因果性要求；要求；FIR濾波器的線性相位要求）濾波器的線性相位要求）具體的濾波器設計：具體的濾波器設計：確定符合頻率指標要求的確定符合頻率指

7、標要求的系統函數（頻率響應、脈沖響應）系統函數（頻率響應、脈沖響應）即：即：H(z)，H(ej)，hn - 函數逼近問題函數逼近問題對于對于IIR濾波器濾波器 - 利用利用z的有理函數逼近的有理函數逼近對于對于FIR濾波器濾波器 - 多項式逼近多項式逼近7.1 由連續時間濾波器設計離散時間由連續時間濾波器設計離散時間IIR濾波器濾波器 IIR濾波器的傳統設計方法：濾波器的傳統設計方法：連續時間濾波器連續時間濾波器 (變換變換) 滿足預定指標的離散時間濾波器滿足預定指標的離散時間濾波器理由理由：連續：連續IIR濾波器設計方法成熟，簡單（公式），方便，快捷濾波器設計方法成熟，簡單（公式），方便，快

8、捷 濾波器設計技術指標：濾波器設計技術指標：離散（濾波器）頻率域指標離散（濾波器）頻率域指標 設計過程：原型連續時間濾波器設計過程：原型連續時間濾波器(變換變換) 離散時間濾波器離散時間濾波器即：即：Hc(s) (變換變換) H(z) s域域z域的變換或映射域的變換或映射檢驗：檢驗：Hc(j) H(ej)首先需要：首先需要：離散（濾波器）頻率域指標離散（濾波器）頻率域指標 （轉換）原型連續（濾波器）頻率域指標（轉換）原型連續（濾波器）頻率域指標設計（變換）的兩個基本要求設計（變換）的兩個基本要求：（1）頻率響應的一致性頻率響應的一致性，即，即s平面虛軸（代表連續頻率變量）必須平面虛軸（代表連續

9、頻率變量）必須映射到映射到z平面單位圓（代表離散頻率變換），保持頻率與頻率對平面單位圓（代表離散頻率變換），保持頻率與頻率對應；應；（2）因果穩定性因果穩定性，即因果，即因果穩定的穩定的Hc(s)因果穩定的因果穩定的H(z)，亦即亦即s左半平面映射到左半平面映射到z平面單位圓內平面單位圓內連續時間濾波器的主要類型（設計方法）（附錄連續時間濾波器的主要類型（設計方法）（附錄B）u巴特沃茲濾波器（巴特沃茲濾波器（Butterworth filter）u切比雪夫濾波器（切比雪夫濾波器（Chebyshev filter）u橢圓濾波器（橢圓濾波器（elliptic filter）由模擬濾波器設計由模擬濾

10、波器設計IIR數字濾波器的主要方法：數字濾波器的主要方法：u脈沖響應不變法（脈沖響應不變法（impulse invariance）u階躍響應不變法階躍響應不變法（step invariance）u雙線性變換法（雙線性變換法（bilinear transformation）7.1.1 濾波器設計的脈沖響應不變法濾波器設計的脈沖響應不變法連續濾波器連續濾波器 （變換）（變換） 離散濾波器離散濾波器hc(t), Hc(s) hn, H(z)脈沖響應不變法：脈沖響應不變法：通過通過hc(t) hn （離散，即保持不變）（離散，即保持不變）實現實現 Hc(s) （連續系統）（連續系統） H(z) （離散

11、系統）的變換（離散系統）的變換即：即： hn = Tdhc(nTd) Td -采樣間隔采樣間隔H(z)hn的的z變換，設計完成？變換，設計完成？給定的濾波器設計指標給定的濾波器設計指標 - 濾波器的頻率響應濾波器的頻率響應設法方法必須考慮：設法方法必須考慮： Hc(j) H(ej) 之間的聯系之間的聯系根據以前的采樣討論，時域離散根據以前的采樣討論，時域離散 頻域關系，可以得到：頻域關系，可以得到：jc2(e )jj.kddHHkTT如果連續時間濾波器是帶限的，則有如果連續時間濾波器是帶限的，則有兩者之間關系：兩者之間關系：頻率軸的線性關系頻率軸的線性關系，即，即|時，時， = Td實際情況：

12、任何連續時間濾波器都不能是完全帶限的（實際情況：任何連續時間濾波器都不能是完全帶限的（即使低通即使低通） 因此，混疊存在。如圖，因此，混疊存在。如圖，jc(j )=0,/(e )j,;cddHTHHT 方法的實用性（逼近）：方法的實用性（逼近）：如果如果Hc(j) 高頻部分趨近于零，則混疊很高頻部分趨近于零，則混疊很小，可以忽略小，可以忽略 - - 逼近逼近 。 由由H(ej) 指標指標 Hc(j) 指標：指標： = /Td 確定出確定出Hc(j) Hc(s)，再由脈沖響應不變法，由再由脈沖響應不變法，由Hc(s) 得到得到H(z) 。具體的方法（直接，不通過具體的方法（直接，不通過hc(t)

13、 hh的過程）：的過程）：設連續時間濾波器的傳遞函數具有一階極點的形式（不失一般性）：設連續時間濾波器的傳遞函數具有一階極點的形式（不失一般性）：對應的脈沖響應：對應的脈沖響應：根據脈沖響應不變（采樣），有根據脈沖響應不變（采樣），有11 ()e e .kdk dNNns nTs Tdcddkdkkkh nT h nTT Au nT Au n11( )-e ,0,( )0,0kNkckkNs tkkcAHss sAth tt作作z反變換，得到離散時間濾波器的系統函數：反變換，得到離散時間濾波器的系統函數：比較連續時間濾波器的系統函數：比較連續時間濾波器的系統函數：可見，可見，(1) s平面中的

14、極點平面中的極點s = sk變換成變換成z平面中的極點平面中的極點(2) 除了比例系數除了比例系數Td外，完全相同外，完全相同表示：可以通過極點的對應關系表示：可以通過極點的對應關系 直接由直接由Hc(s) 得到得到H(z) 幾點說明：幾點說明：（1）Hc(s)因果穩定（極點在左邊平面）因果穩定（極點在左邊平面） H(z) 因果穩定（極點在因果穩定（極點在單位圓內），因為單位圓內），因為 Resk0，；，；|zk | 1dkTsedkTskze111( )1-( )-k dNdks TkNkckkT AH zezAHss s（2）s平面與平面與z平面只有極點有對應關系，平面只有極點有對應關系，

15、 s平面與平面與z平面之間沒有平面之間沒有這種對應關系（這種對應關系（唯一唯一），（如系統的零點就沒有這種對應關系），（如系統的零點就沒有這種對應關系）表示脈沖響應不變法，表示脈沖響應不變法， 其其s平面到平面到z平面的映射關系（變換）并非是平面的映射關系（變換）并非是 的簡單映射關系（的簡單映射關系（單映射單映射）。）。不能直接代入不能直接代入Hc(s)得到得到H(z)例例7.2 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計Butterworth濾波器濾波器設計一低通離散時間濾波器，步驟：設計一低通離散時間濾波器，步驟：（1）由低通離散時間濾波器指標求出低通連續時間濾波器指標）由低通離散時間濾波

16、器指標求出低通連續時間濾波器指標（2）確定相應的連續時間）確定相應的連續時間Butterworth濾波器濾波器（3）由脈沖響應不變法，求得所需的低通離散時間濾波器）由脈沖響應不變法，求得所需的低通離散時間濾波器第一步第一步，離散時間濾波器的技術指標：，離散時間濾波器的技術指標：說明：說明： 過程（過程（1）和過程（）和過程（3），），系數系數Td抵消，可選抵消，可選Td = 1， = dsTzejj0.89125(e )1,00.2(e )0.17783,0.3.HH可得連續時間可得連續時間Butterworth濾波器濾波器的技術指標為：的技術指標為：由于由于Butterworth濾波器頻率響

17、應的幅度響應是單調的，則應濾波器頻率響應的幅度響應是單調的，則應和和第二步第二步，Butterworth濾波器的幅度平方函數為：濾波器的幅度平方函數為：需確定出滿足所需技術指標的參數需確定出滿足所需技術指標的參數N和和c將上式帶入指標式，并取等號，有：將上式帶入指標式，并取等號，有：0.89125(j )1,00.2(j )0.17783,0.3.ccHH (j0.2)0.89125(j0.3)0.17783ccHH221(j)1/cNcH 兩個方程的解為：兩個方程的解為：N = 5.8858和和c = 0.70474 取取N為整數為整數6，代入方程得，代入方程得c = 0.7032 （參數選

18、取的原則：超過指（參數選取的原則：超過指標）標）幅度平方函數幅度平方函數 的的12個極點均勻分布在半個極點均勻分布在半徑徑c = 0.7032 的圓周上的圓周上取左半平面的三對極點：取左半平面的三對極點：21( )()1()jccNcHs Hss說明說明s = j22220.2110.891250.3110.17783NcNc作為作為Hc(s)，即，即第三步，第三步，將上式作部分分式展開，進行將上式作部分分式展開，進行極點映射極點映射，得到，得到H (z),根據上式，可以直接用并聯形式實現。根據上式，可以直接用并聯形式實現。設計得到的離散時間系統（濾波器）的頻率響應如圖：設計得到的離散時間系統

19、（濾波器）的頻率響應如圖：通帶邊緣滿足指標通帶邊緣滿足指標阻帶邊緣超過指標阻帶邊緣超過指標混疊基本沒有影響混疊基本沒有影響有混疊情況：調整參數；高階有混疊情況：調整參數；高階脈沖響應不變法的討論（連續濾波器變換為離散濾波器）：脈沖響應不變法的討論（連續濾波器變換為離散濾波器）：（1）時域逼近較好，脈沖響應波形是連續與離散的關系；）時域逼近較好，脈沖響應波形是連續與離散的關系；（2）頻率成線性關系頻率成線性關系，頻率響應，頻率響應形狀形狀基本保持不變基本保持不變（3）保持保持相位的線性特性，相位的線性特性，（4）頻域有混疊頻域有混疊，只適用，只適用帶限帶限濾波器設計（如低通，帶通）濾波器設計（如

20、低通，帶通）（5）頻域的混疊不能通過減少采樣周期）頻域的混疊不能通過減少采樣周期Td消除消除若離散低通濾波器的截止頻率給定若離散低通濾波器的截止頻率給定c連續低通濾波器的截止頻率為連續低通濾波器的截止頻率為c = c/Td頻率頻率的的頻帶范圍為：頻帶范圍為： -/ /Td, , / /Td Td減小，減小， 的的頻帶范圍頻帶范圍增加增加保持保持c不變，不變， Td減小時，減小時， c也應增加也應增加c增加表示原有的混疊仍然存在增加表示原有的混疊仍然存在（6）映射關系，）映射關系， 只是針對極點，只是針對極點，s與與z平面之間的映射關系平面之間的映射關系是一個多重映射關系，即：是一個多重映射關系

21、，即：dsTzel s平面虛軸平面虛軸j上長度為上長度為2/Td的每一段映射到的每一段映射到z平面單位圓一周，平面單位圓一周，如如-/Td, /Td 映射到單位圓一周（映射到單位圓一周（- ）l s平面每一條寬度為平面每一條寬度為2/Td的橫條的橫條 映射到整個映射到整個z平面平面l s平面寬度為平面寬度為-/Td, /Td的左半橫條的左半橫條 映射到映射到z平面單位圓內平面單位圓內l 多重映射多重映射 - 混疊（系統函數，頻率響應）混疊（系統函數，頻率響應）7.1.2 雙線性變換法雙線性變換法解決混疊解決混疊 - 改變映射關系，即改變映射關系，即- （單）映射到（單）映射到 - s左邊平面左

22、邊平面 z平面單位圓內平面單位圓內 （單映射）（單映射）整個整個s平面平面 整個整個z平面（單映射）平面（單映射）頻率的映射關系頻率的映射關系 非線性（頻率變換）非線性（頻率變換）雙線性變換法定義雙線性變換法定義設設s與與z的映射關系為：的映射關系為：離散系統與連續系統之間的變換關系為：離散系統與連續系統之間的變換關系為：表示可以直接將表示可以直接將s與與z的映射關系代入連續濾波器系統函數。的映射關系代入連續濾波器系統函數。討論討論s平面平面z平面的映射關系平面的映射關系s與與z的映射關系也可寫為：的映射關系也可寫為：將將s =+j代入上式，得代入上式，得雙線性雙線性1121;1dzsTz11

23、21( ).1cdzH zHTz1(/ 2),1(/ 2)ddTszTs1/ 2j/ 2,1/ 2j/ 2ddddTTzTT 0 |z|1 ，對于所有，對于所有 - s左邊平面左邊平面 映射到映射到 z平面單位圓內平面單位圓內0 |z| 1 ，對于所有，對于所有 - s右邊平面右邊平面 映射到映射到 z平面單位圓外平面單位圓外分析分析頻率映射頻率映射關系，將關系，將s =j代入，可得代入，可得對于所有的對于所有的值，值，|z| = 1 - j 軸（軸（s平面虛軸）映射到平面虛軸）映射到 z平面單位圓平面單位圓即有即有z = rej，r = 11/ 2j/ 2,1/ 2j/ 2ddddTTzTT

24、 1j/ 2,1j/ 2ddTzT j1j/ 2e,1j/ 2ddTT 與與的關系的關系，將，將z = ej代入代入s與與z的雙線性關系式，得的雙線性關系式，得等式兩邊實部與虛部相等，有等式兩邊實部與虛部相等，有 和和或或歸納：歸納：（1）s平面與平面與z平面關系平面關系頻率的非線性關系頻率的非線性關系j /2j /222e( sin/ 2)2jjtan(/ 2),2e(cos/ 2)ddjsTT 02tan(/ 2)2arctan(/ 2)ddTT （2）連續濾波器頻率與離散濾波器頻率關系）連續濾波器頻率與離散濾波器頻率關系非線性關系非線性關系 - 連續頻率軸被壓縮連續頻率軸被壓縮 - 避免

25、了混疊避免了混疊避免混疊是以頻率非線性為代價避免混疊是以頻率非線性為代價頻率非線性頻率非線性 頻率響應的變形頻率響應的變形應用范圍：頻率響應形狀要求不高的情況，（如分段恒定幅度）應用范圍：頻率響應形狀要求不高的情況，（如分段恒定幅度） 設計中特殊頻率點（如截止頻率）須預畸變設計中特殊頻率點（如截止頻率）須預畸變雙線性變換法在連續濾波器到離散濾波器變換中頻率響應的畸變雙線性變換法在連續濾波器到離散濾波器變換中頻率響應的畸變頻率非線性造成的相位響應畸變頻率非線性造成的相位響應畸變線性相位因子線性相位因子e-s的雙線性變換結果的雙線性變換結果離散相位函數為離散相位函數為-(2/Td)tan(/2)雙

26、線性變換方法討論雙線性變換方法討論（1）s平面與平面與z平面單映射關系平面單映射關系（2）s左半平面映射到左半平面映射到z平面單位圓內平面單位圓內（3）s右半平面映射到右半平面映射到z平面單位圓外平面單位圓外（4）連續因果穩定系統）連續因果穩定系統 離散因果穩定系統離散因果穩定系統（5）s平面整個虛軸單值映射到平面整個虛軸單值映射到z平面單位圓一周平面單位圓一周（6）連續頻率）連續頻率與離散頻率與離散頻率之間成非線性關系之間成非線性關系（7）避免了頻率響應的混疊現象）避免了頻率響應的混疊現象（圖示說明）（圖示說明）（8）頻率響應形狀畸變，線性相位特性破壞）頻率響應形狀畸變，線性相位特性破壞（9

27、）適合分段恒定幅度響應的濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）適合分段恒定幅度響應的濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）（10）設計中需要預畸（截止頻率點等）設計中需要預畸（截止頻率點等）7.1.3 雙線性變換法設計舉例雙線性變換法設計舉例例例7.3 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計Butterworth濾波器濾波器同例同例7.2脈沖響應不變法設計低通離散濾波器，技術指標：脈沖響應不變法設計低通離散濾波器，技術指標：求得連續濾波器指標時，須對上述兩個截止頻率進行求得連續濾波器指標時，須對上述兩個截止頻率進行預畸變預畸變處理：處理：即即=0.2 =(2/Td)tan(0.2/2)=0.3 =(2/Td

28、)tan(0.3/2)連續濾波器的技術指標：連續濾波器的技術指標：2tan(/ 2)dT jj0.89125(e )1,00.2(e )0.17783,0.3.HH0.20.89125(j)1,0tan220.3(j)0.17783,tan.2ccdHHT 與例與例7.2相同，取相同，取Td = 1，并根據，并根據Butterworth濾波器的幅度響應濾波器的幅度響應Butterworth濾波器的平方幅度函數：濾波器的平方幅度函數：由前兩式中取等號，得由前兩式中取等號，得(j2tan(0.1)0.89125(j2tan(0.15)0.17783ccHH221(j)1/cNcH 22222tan

29、(0.1)110.892tan(0.15)110.178NcNc解出解出N取整數，取整數， N = 6，代入阻帶方程可得，代入阻帶方程可得c = 0.766 （超過通帶指標）（超過通帶指標）幅度平方函數的極點分布：幅度平方函數的極點分布：12個極點，半徑個極點，半徑0.766，均勻分布，均勻分布2211log1 /10.1780.895.3052log tan(0.15) / tan(0.1)N 同樣，取左半平面中的三對極點，得連續同樣，取左半平面中的三對極點，得連續Butterworth低通濾波器低通濾波器的系統函數：的系統函數：同雙線性變換公式代入，得離散連續同雙線性變換公式代入，得離散連

30、續Butterworth低通濾波器的系低通濾波器的系統函數：統函數：六階六階Butterworth低通濾波器頻率響應：低通濾波器頻率響應：=0.2 -0.56dB (0.937)=0.3 -15dB (0.1778)阻帶比連續濾波器下降快阻帶比連續濾波器下降快 = = 頻率軸被壓縮頻率軸被壓縮連續連續Butterworth濾波器幅度平方函數：濾波器幅度平方函數：可用雙線性變換的頻率關系式：可用雙線性變換的頻率關系式：直接代入得到離散直接代入得到離散Butterworth濾波器幅度平方函數：濾波器幅度平方函數：式中式中實際設計并不首先用，因為上式無法獲得在實際設計并不首先用，因為上式無法獲得在z

31、平面的極點，從而得平面的極點，從而得到單位圓內的極點到單位圓內的極點 濾波器的系統函數濾波器的系統函數H(z)221(j)1/cNcH 2tan(/ 2)dT 2j21(e )tan(/ 2)1tan(/ 2)NcHtan(/ 2)/ 2ccdT 雙線性變換法的雙線性變換法的Butterworth，Chebyshev, elliptic濾波器逼近例子濾波器逼近例子所設計低通離散濾波器的技術指標：所設計低通離散濾波器的技術指標：即即1=0.01， 2=0.001， p=0.4， s=0.6例例7.4 Butterworth逼近逼近省去具體計算過程，可得省去具體計算過程，可得N=14，頻率響應如圖

32、：，頻率響應如圖：對數幅度圖對數幅度圖jj0.99(e )1.01,0.4(e )0.001,0.6.HH通帶的幅度圖：通帶的幅度圖：群延遲圖：群延遲圖：例例7.5 Chebyshev逼近逼近Chebyshev的類型：的類型：I型：頻率響應型：頻率響應 - 通帶呈紋波特性，阻帶單調通帶呈紋波特性，阻帶單調II型：頻率響應型：頻率響應 - 阻帶呈紋波特性，通帶單調阻帶呈紋波特性，通帶單調兩種類型逼近階數兩種類型逼近階數N均為八階（比均為八階（比Butterworth要低）要低）I型逼近的頻率響應圖：型逼近的頻率響應圖：通帶中幅度細節圖：通帶中幅度細節圖：群延遲圖：群延遲圖：II型逼近的頻率響應圖

33、型逼近的頻率響應圖通帶中的細節圖：通帶中的細節圖：群延遲圖：群延遲圖：若通帶和阻帶均容許紋波若通帶和阻帶均容許紋波濾波器的階數可以減少濾波器的階數可以減少兩種類型逼近的零極點分布兩種類型逼近的零極點分布（I型零點對應于連續濾波器型零點對應于連續濾波器s = ）I型型II型型例例7.6 elliptic逼近逼近滿足指標的有理函數最低階逼近，滿足指標的有理函數最低階逼近，N=6通帶中的細節圖：通帶中的細節圖：群延遲圖：群延遲圖：零極點分布：零極點分布：討論：討論：（1）各種濾波器逼近的雙線性變換法是）各種濾波器逼近的雙線性變換法是IIR濾波器設計標準方法濾波器設計標準方法（2）H(z)的極點在單位

34、圓內（穩定性），零點在單位圓上的極點在單位圓內（穩定性），零點在單位圓上（3）非線性頻率響應特性，非線性群延遲）非線性頻率響應特性，非線性群延遲（4）通帶邊緣處或過渡帶出現最大群延遲（其它頻帶中群延遲變）通帶邊緣處或過渡帶出現最大群延遲（其它頻帶中群延遲變化較小）化較小）（5）II型型Chebyshev具有最小的群延遲以及相應群延遲近似為常數具有最小的群延遲以及相應群延遲近似為常數的最寬通帶區域的最寬通帶區域（6）elliptic逼近具有最低階次的系統函數，因此計算量也最少。逼近具有最低階次的系統函數，因此計算量也最少。7.2 用窗函數法設計用窗函數法設計FIR濾波器濾波器IIR濾波器設計濾波

35、器設計 - 連續濾波器變換連續濾波器變換 （1）連續濾波器設計方法成熟）連續濾波器設計方法成熟（2）IIR濾波器直接設計困難（在離散域）濾波器直接設計困難（在離散域）FIR濾波器設計濾波器設計 - 可以直接在離散域進行（頻率域逼近）可以直接在離散域進行（頻率域逼近）線性相位條件線性相位條件 避免了直接設計的復雜性避免了直接設計的復雜性最簡單的方法：最簡單的方法：窗函數法（窗函數法（window method）基本思想：對理想濾波器的脈沖響應基本思想：對理想濾波器的脈沖響應hdn（無限長，非因果序列）（無限長，非因果序列） 截斷，得到具有對稱性的有限長因果序列截斷，得到具有對稱性的有限長因果序列

36、hn FIR濾波器（線性相位、因果）濾波器（線性相位、因果）- 逼近逼近問題：時域截斷問題：時域截斷 頻域逼近（關系、影響）頻域逼近（關系、影響） ？即，即， hdn hn Hd(ej) H(ej) 理想濾波器的頻率響應：理想濾波器的頻率響應：脈沖響應：脈沖響應：- 非因果、無限長序列非因果、無限長序列 頻率響應的不連續性頻率響應的不連續性實際因果實際因果FIR濾波器的脈沖響應（因果、有限長）：濾波器的脈沖響應（因果、有限長）：相當于：相當于：其中窗函數：其中窗函數：矩形窗矩形窗j-jjj(e ) e1 (e )ed2nddnnddHh nh nH ,0, 0,dh nnMh n其它 n,1,

37、0, =0,dh nh n wnMw n其它時域處理簡單，討論頻域關系：時域處理簡單，討論頻域關系：由傅立葉變換性質：時域相乘由傅立葉變換性質：時域相乘 頻域卷積頻域卷積得：得：如圖所示如圖所示（周期性）（周期性）若若wn=1, 對于所有對于所有n, 即沒有截斷即沒有截斷則則 W(ej) 是周期為是周期為2的的函數（周期脈沖串）函數（周期脈沖串）并有并有 H(ej) = Hd(ej) 可見，可見，W(ej)（頻域）能量集中（波形窄）（頻域）能量集中（波形窄）- 逼近性越好逼近性越好但，但， W(ej) 越窄越窄 wn（時域）越長（時域）越長 - 矛盾性矛盾性jjj( - )1(e )(e )(

38、e)d2dHHW 可求出矩形窗的頻率響應：可求出矩形窗的頻率響應：線性相位特性（滿足對稱性），當線性相位特性（滿足對稱性），當M = 7時的幅度：時的幅度：主瓣寬度主瓣寬度4/(M+1)第一旁瓣第一旁瓣-j(1)j-j-j/2-j01esin (1) / 2(e )ee1esin(/ 2)MMnMnMWM增大增大 主、旁瓣主、旁瓣寬度寬度減小減小主、旁瓣主、旁瓣幅度幅度增大，主、旁瓣增大，主、旁瓣相對幅度相對幅度不變不變M增大增大 主、旁瓣的面積為常量主、旁瓣的面積為常量 對理想濾波器加窗后的逼近（頻率響應）（卷積結果）：對理想濾波器加窗后的逼近（頻率響應）（卷積結果）：頻率響應產生的波動現象

39、頻率響應產生的波動現象- 吉布斯現象（吉布斯現象（Gibbs phenomenon）理論上理論上 - 傅立葉級數的非一致收斂性（作為傅立葉級數系數傅立葉級數的非一致收斂性（作為傅立葉級數系數hd(t)的截斷）的截斷）實際上實際上 - 窗函數的銳截止性（尤其是矩形窗）窗函數的銳截止性（尤其是矩形窗）窗函數對濾波器幅頻特性的影響：窗函數對濾波器幅頻特性的影響：（1）主瓣越寬）主瓣越寬 過渡帶越寬過渡帶越寬 - M大大 過渡帶窄過渡帶窄（2）旁瓣相對主瓣（幅度）越大）旁瓣相對主瓣（幅度）越大 通帶和阻帶的通帶和阻帶的波動也越大波動也越大（3）波動大小與）波動大小與M無關，取決于窗函數無關，取決于窗函

40、數減小波動減小波動 減小旁瓣幅度減小旁瓣幅度 窗函數平滑窗函數平滑 增加主瓣寬度增加主瓣寬度增加過渡帶寬度增加過渡帶寬度FIR濾波器設計：濾波器設計：波動與過渡帶的折中選擇波動與過渡帶的折中選擇7.2.1 常用窗函數的性質常用窗函數的性質矩形窗：矩形窗：Barlett窗（三角窗）窗（三角窗）漢寧窗（漢寧窗（Hanning）：）：海明窗（海明窗（Hamming）：）：Blackman窗：窗函數主要用途：（窗函數主要用途：（1）FIR濾波器設計濾波器設計 （2）譜分析（用于對待分析時域信號的截斷）譜分析（用于對待分析時域信號的截斷）各窗函數的對數幅度圖（各窗函數的對數幅度圖（m=50）矩形窗矩形窗

41、主瓣最窄主瓣最窄 - 過渡帶窄過渡帶窄旁瓣幅度大旁瓣幅度大 - 波動大波動大-13dB三角窗三角窗主瓣寬度增加主瓣寬度增加2倍倍旁瓣幅度減小（旁瓣幅度減小（-25dB）漢寧窗漢寧窗主瓣寬度增加主瓣寬度增加2倍倍旁瓣幅度明顯減小（旁瓣幅度明顯減小（-31dB）海明窗海明窗主瓣寬度增加主瓣寬度增加2倍倍旁瓣幅度明顯減小旁瓣幅度明顯減小（-41dB）Blackman窗窗主瓣寬度增加主瓣寬度增加3倍倍旁瓣幅度明顯減小旁瓣幅度明顯減小（-57dB）阻帶最小衰減阻帶最小衰減7.2.2 廣義線性相位的合并廣義線性相位的合并線性相位的條件：時域對稱性線性相位的條件：時域對稱性窗函數窗函數wn，脈沖響應脈沖響應

42、hn - 對稱性對稱性上述的窗函數均滿足：上述的窗函數均滿足：關于關于M/ /2點對稱性點對稱性頻率響應頻率響應 - - 線性相位特性：線性相位特性：We(ej) - 的實偶函數。的實偶函數。上述窗函數的性質上述窗函數的性質 濾波器因果性濾波器因果性 濾波器的線性相位性？濾波器的線性相位性？hn=hM-n ?很顯然，若理想濾波器是關于很顯然，若理想濾波器是關于M/2點對稱，點對稱， hdn=hdM-n 則加窗后的則加窗后的hn滿足：滿足：hn=hM-n jj/2(e )(e)ejMeWW,0, 0,w MnnMw n其它其頻率響應為：其頻率響應為：或或其中其中Ae(ej) - 的實偶函數的實偶

43、函數 Ao(ej) - 的實奇函數的實奇函數證明：假設證明：假設hdn=hdM-n ，有，有He(ej) - 的實偶函數的實偶函數若窗函數對稱，則有：若窗函數對稱，則有：濾波器是廣義線性相位的，其幅度是濾波器是廣義線性相位的，其幅度是He(ej) 與與We(ej) 的卷積的卷積:hdn偶對稱偶對稱hdn奇對稱奇對稱jjj/2j()j()/2j/21(e )(e )e(e)ed(e)e2MMjMeeeHHWA jjj()1(e )(e )(e)d2eeeAHW jj/2(e )(e)ejMdeHHjj/2(e )(e)ejMeHAjj/2(e )j(e)ejMoHA例例 7.7 線性相位低通濾波

44、器線性相位低通濾波器所要求低通濾波器的頻率響應：所要求低通濾波器的頻率響應：（線性相位）（線性相位）相應的理想脈沖響應（對應于相應的理想脈沖響應（對應于-n ）:容易證明：容易證明：hlpM-n=hlpn對對hlpn應用對稱窗函數（關于應用對稱窗函數（關于M/2對稱），就可得：對稱），就可得：因果、有限長、線性相位（因果、有限長、線性相位（關于關于M/2對稱對稱）的低通濾波器。）的低通濾波器。j/2jlpe,(e)0,MccHccj/2jclp1sin(/ 2) eed2(/ 2)MnnMhnnMcsin(/ 2) (/ 2)nMh nw nnM理想濾波器頻率響應與所設計濾波器頻率響應（應用各

45、種窗函數）：理想濾波器頻率響應與所設計濾波器頻率響應（應用各種窗函數）：He(ej) - 理想濾波器理想濾波器Ae(ej) - 設計濾波器設計濾波器We(ej) - 窗函數窗函數Ae(ej) = He(ej) * We(ej)卷積過程卷積過程 波動波動最大正峰、負峰產生最大正峰、負峰產生最大正峰、負峰之間距離最大正峰、負峰之間距離= =m = 主瓣寬帶主瓣寬帶= = 過渡帶過渡帶 (定義定義)峰對稱性（通帶、阻帶峰對稱性（通帶、阻帶）濾波器特性的調整：濾波器特性的調整：（1）窗函數的長度）窗函數的長度 - 主要影響過渡帶主要影響過渡帶（2）窗函數的形狀）窗函數的形狀 - 主要影響逼近精度（波動

46、）主要影響逼近精度（波動）反復調整的不便性，探討窗函數參數反復調整的不便性，探討窗函數參數 濾波器性能指標濾波器性能指標 （直接直接）7.2.3 Kaiser窗濾波器設計法窗濾波器設計法窗函數窗函數 - 在頻域，能量最大限度集中在在頻域，能量最大限度集中在 = 0附近附近 主瓣寬度主瓣寬度 旁瓣面積旁瓣面積 - 選擇（調整）選擇（調整）Kaiser窗定義：窗定義：式中：式中： = M/2I0() - 第一類零階修正第一類零階修正Bessel函數函數2 1/200 (1-( -) / ),0( ) 0,InnMIw n其它兩個參數兩個參數： -（M+1） - 長度參數長度參數 - 形狀參數形狀參

47、數主瓣寬度與旁瓣幅度之間調整2 1/200 (1-( -) / ),0( ) 0,InnMIw n其它Kaiser窗函數的頻率響應幅度與參數窗函數的頻率響應幅度與參數M，的關系：的關系： - 旁瓣幅度（主要）旁瓣幅度（主要）M - 主瓣寬度主瓣寬度濾波器指標與窗函數參數的關系：濾波器指標與窗函數參數的關系：過渡帶寬度：過渡帶寬度： = s p定義：定義：A = -20log10 - 波動幅度波動幅度有：有：M滿足：滿足：例例 7.8 用用Kaiser窗法設計低通濾波器窗法設計低通濾波器設計步驟：設計步驟：（1）給出技術指標）給出技術指標p = 0.4, s = 0.6, 1= 0.01, 2=

48、 0.001, = 1= 2 = 0.001（2）求出理想低通濾波器截止頻率）求出理想低通濾波器截止頻率（3）確定窗參數）確定窗參數由由得到：得到：（4）計算濾波器的脈沖響應）計算濾波器的脈沖響應脈沖響應：脈沖響應：M = 37為奇數，為奇數，第二類線性相位濾波器第二類線性相位濾波器頻率響應：頻率響應：通帶和阻帶的逼近誤差通帶和阻帶的逼近誤差誤差定義：誤差定義：誤差對稱性，最大誤差略大于誤差對稱性，最大誤差略大于0.001，取，取M=38，最大誤差，最大誤差0.00087.2.4 Kaiser窗與其它窗之間的關系窗與其它窗之間的關系窗函數設計法的基本原理：窗函數設計法的基本原理：用一個有限長窗函數去截取理想脈沖響應（時域）用一個有限長窗函數去截取理想脈沖響應（時域）相應在頻域產生的結果：相應在頻域產生的結果：理想頻率響應與窗函數的傅立葉變換進行了卷積理想頻率響應與窗函數的傅立葉變換進行了卷積直接的效果：模糊了理想濾波器頻率響應的間斷特性直接的效果：模糊了理想濾波器頻率響應的間斷特性方法的特性：方法的特性：過渡帶的帶寬由窗函數傅立葉變換的主瓣確定過渡帶的帶寬由窗函數傅立葉變換的主瓣確定通帶與阻帶的波紋由窗函數旁瓣的積分（卷積計算）產生通帶與阻帶的波紋由窗函數旁瓣的積分（卷積計算）產生通帶與阻帶