1、 第第2章章 解析函數解析函數2.1 解析函數的概念解析函數的概念 1.復變函數的復變函數的導數導數于是鄰域內任意一點，對的單值函數，的某鄰域內有定義在點設函數zzzzfw00)( ，存在（為有限的復數），如果極限Azzfzzfzwzfzzfwzz)()(limlim )()(000000 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 ,)( )()(000即，或的導數，記為稱為函數處可導，在則稱函數zzdzdwzfzfAzzf，zzfzzfzfz)()(lim)( 0000 復變函數與積分變換復變函數與積分變換0)z( |)(|)( :0zozzfw或 )()( )( )(00000處可微。在處的微

2、分，也稱函數在函數為或也稱zzzfdzzfzzfzdf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換導數的分析定義：導數的分析定義：時，有，并且當使得當，可以找到一個整數對任意的|0),(0 0zzDz,|)()( | 00Azzzfzf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 導數運算法則導數運算法則 復變函數的求導法則（以下出現的函數均假設可導）： （1） 其中 為復常數； （2） 其中 為正整數； （3） ；, 0)(CC,1nnnzz ）（n)()()()(zgzfzgzf)()()()()()(zgzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()(2zgzgzgzfzgzfzgzf（4）

3、 （5） ； 復變函數與積分變換復變函數與積分變換（6） ； （7） 是兩個互為反函數的單值函數，且 .)(),()()(zwzwfzf其中1( )( )( )( )fzwf zzww，其中和0w（ ）. 復變函數與積分變換復變函數與積分變換2.解析的概念 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 )()(00在處解析；稱的鄰域內處處可導，則及在如果zfzzzf內解析函數；內解析，我們也說是在內處處解析，則稱在區域如果DDzfDzf)()(.)(,)(解析內在閉區域那么稱上每一點都屬于內處處解析，而閉區域在區域如果DzfGDGzf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換u注解1、“可微”有時也可以稱

4、為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；u注解2、一個函數在一個點可導，顯然它在這個點連續；u注解2、解析性與可導性的關系：在一個點的可導性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解：注解： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換u注解3、函數在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內可導，因此在這個點可導，反之，在一個點的可導不能得到在這個點解析；u注解4、閉區域上的解析函數是指在包含這個區域的一個更大的區域上解析；u注解5、解析性區域；注解：注解： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換四則運算法則則上解析在區域和如果,)()(Dzgzf上解析，并且有域在區、Dzgz

5、gzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()( )()()( )()()( )( )()(zgzfzgzfzgzfzgzfzgzf2)()( )()()( )()(zgzgzfzgzfzgzf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換復合函數求導法則，內解析，又在區域內解析，函數在區域設函數GDfGgwDzf)()()()( )( )()( zfzfgzfgzh并且有：在內解析，則復合函數)()(zhzfgw 復變函數與積分變換復變函數與積分變換反函數求導法則，又反函數且內解析，在區域設函數0)( )(zfDzf)( 1)( 1)( )(wfzfzwz則有：存在且為連續，)()(1ww

6、fz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換u利用這些法則，我們可以計算常數、多項式以及有理函數的導數，其結果和數學分析的結論基本相同。注解：注解： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換2.2 函數解析的充要條件 復變函數與積分變換復變函數與積分變換Cauchy-Riemann條件： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換條件是可導的充要在點內確定，那么在區域設函數定理DiyxzzfDyxivyxuzf)(),(),()( 1 . 3處可微，在點和虛部、實部),(),(),(1yxyxvyxu方程）：程（簡稱黎曼方滿足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 復變函數與積分變換復變

7、函數與積分變換定理3.1的證明（必要性）：導數的定義，可得：，則由處可導，把記為在設ibazfiyxzzf)( )(|)(|)( |)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf實部和虛部整理得：。按，其中yixzviuzfzzf)()(；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu(,)( , )(|)v xx yyv x yb xa yoz ；xvyuyvxu 程成立：方處可微，并有在及因此，RCyxyxvyxu),(),(),( 復變函數與積分變換復變函數與積分變換程成立，則有方處可微，并有在及設RCyxyxvyxu),(),(),(；|)(|),(),(zoyyxuxyx

8、uuyx；|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC ；|)(|)(,(),(zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim0處可導。在即iyxzzf)(定理3.1的證明（充分性）： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換復變函數的解析條件 復變函數與積分變換復變函數與積分變換解充要條件是內區域函數定理Dyxivyxuzf),(),()( 2 . 3處處可微，內在區域和虛部、實部Dyxvyxu),(),(1方程）：程（簡稱黎曼方滿足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 復變函數與積分變換復變函數與積分變換注解: 和

9、數學分析中的結論不同，此定理表明解析函數(可導函數)的實部和虛部不是完全獨立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解； 柯西-黎曼條件是復變函數解析的必要條件而非充分條件（見反例）； 解析函數的導數有更簡潔的形式：yuyvyuxuxvyvxvxuiiiizf )( 復變函數與積分變換復變函數與積分變換反例：u(x,y)、v(x,y)如下：000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxy 復變函數與積分變換復變函數與積分變換方程：滿足，則在點令RCzyxivyxuzf0),(),()(0 0 xvyuyvxu.,0)()0 , 0(),(),(從而不可導不連續在函數不連續，所以復變在點、但zz

10、fyxvyxu 復變函數與積分變換復變函數與積分變換有定義，內區域推論：設函數Dyxivyxuzf),(),()(成立：方程，并且四個偏導數存在且連續的和內在如果RCyxvyxuDzf),(),()( xvyuyvxu 內解析。在則Dzf)( 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例1 討論下列函數的可導性和解析性：).sin(cos)( (3). ;|(2). ;Re.12yiyezfzwzwx）（ 復變函數與積分變換復變函數與積分變換，且，）因為解：（01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,Re從而不解析導可在整個復平面內處處不所以立，方程在整個復平面不成所以zwRC 復變函數與積分

11、變換復變函數與積分變換且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整個復平面上不可導。，；可導，在方程成立，所以處只有在點)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR 復變函數與積分變換復變函數與積分變換且，所以因為,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整個復平面內解析；方程成立，所以四個偏導數連續，并且)(R-Czf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換).()sin(cos)( zfyiyexvixuz

12、fx事實上， 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例2為常數：在內下列條件之一，則內解析，而且滿足在區域如果DzfDzf)()( 為常數）、（常數；、；、| )(|3)(Re)2( 0)( ) 1 (zfzfzf 復變函數與積分變換復變函數與積分變換得，、由證明：0)( ) 1 (yvyuxvxuiizf )(內為常數；在均為常數，從而、由數學分析的結論知，Dzfvu，0yvxvyuxu 復變函數與積分變換復變函數與積分變換方程知：，由常數，所以、因為RCuyuxu)2(，0yvxvyuxu )(內為常數；在均為常數，從而、由數學分析的結論知，Dzfvu 復變函數與積分變換復變函數與積分變換，

13、00yvyuxvxuvuvu導數得：求、常數，分別對、因為yxzf2| )(|)3(，方程得：解析，所以由因為00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf。，所以0)(0)(2222yuxuvuvu22()00( )0vuvfzxu當時，故，x結論成立。 2.3 初等函數初等函數 3、指數函數指數函數 4、多值函數導引：幅角函數多值函數導引：幅角函數 1.指數函數指數函數(1)指數指數函數的函數的定義定義 復變函數與積分變換復變函數與積分變換;)(,1xexfRx、 我們首先把指數函數的定義擴充到整個復平面。 要求復變數z=x+iy的函數f(z)滿足下列條件：上解析；在、Czf)(2);()()

14、(,3212121zfzfzzfCzz、);()()( iyfeiyxfzfx首先，),()()( yiByAiyf設 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有),()()( yBieyAezfxx則),()( ),( )(yByAyByA 所以，,sin)(,cos)(yyByyA 因此，).sin(cosyiyeexzyiyeiysincos 我們也重新得到歐拉公式： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換面上的解析拓廣；是實變指數函數在復平、指數函數zew 2(2)指數函數的基本性質指數函數的基本性質且有：在整個復平面是解析，在整個復平面有定義，、指數函數

15、zew 1zzee)( 復變函數與積分變換復變函數與積分變換, 2, 1, 02 |kkyArgeeezxz，、從定義知道，3. 04ze、 復變函數與積分變換復變函數與積分變換，則若加法定理）：、指數函數代數性質（222111,5iyxziyxz)sin(cos)sin(cos22112121yiyeyiyeeexxzz。即2121ze zzzee)sin()cos(212121yyiyyexx21zze 復變函數與積分變換復變函數與積分變換的周期函數：是周期為、指數函數iewz26極限，但有時，無：、指數函數的漸進性態z7。即zzizeieee)2sin2(cose 2i2zxxxzzel

16、imelimz00limelimz0 xxxzze 復變函數與積分變換復變函數與積分變換：、指數函數的幾何性態8平面；為整個映照把wzzewz2Im0 ,Re平面的射線映照為把直線wyz0Im2Im0 ,Rearg00zxzyw；把線段；映照為平面的圓|0 xew 復變函數與積分變換復變函數與積分變換yxz-平面uw-平面vi2zew iy00 xL LBB 復變函數與積分變換復變函數與積分變換2.三角函數三角函數與雙曲函數 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 由于Euler公式，對任何實數x，我們有： 所以有xixexixeixixsincos,sincos因此，對任何復數z，定義余弦函數

17、和正弦函數如下：,2sin,2cosieexeexixixixix,2sin,2cosieezeeziziziziz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換三角函數三角函數的基本性質:則對任何復數z，Euler公式也成立：,sincoszizeiz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換關于復三角函數，有下面的基本性質：1、cosz和sinz是單值函數；2、cosz是偶函數，sinz是奇函數:,cos22)cos()()(zeeeezizizzizi,sin22)sin()()(zieeieezizizzizi 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 3、cosz和sinz是以為周期的周期函數: ,

18、cos2)2cos()2()2(zeezzizi,sin2)2sin()2()2(zieezzizi212121sincoscossin)sin(4zzzzzz、212121sinsincoscos)cos(zzzzzz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 證明：)(4122sincos)()()()(21212121212211zzizzizzizziizizizizeeeeiieeeezz)(4122sincos)()()()(12212112211122zzizzizzizziizizizizeeeeiieeeezz)sin()(21 sincoscossin 21)()(212121

19、21zzeeizzzzzzizzi所以， 復變函數與積分變換復變函數與積分變換注解：由于負數可以開平方，所以由此不能得到例如z=2i時，有; 1cossin522zz、12242)2()2(sincos22222222ziziziziizizizizeeeeieeeezz1|sin| , 1|cos|zz,22sin, 122cos2222ieeieei 復變函數與積分變換復變函數與積分變換6、cosz和sinz在整個復平面解析，并且有：證明：.cos)(sin ,sin)(coszzzz,sin222coszieeieieeedzdzdzdizizizizizizzeeiieieieedzd

20、zdzdizizizizizizcos222sin 復變函數與積分變換復變函數與積分變換7、cosz和sinz在復平面的零點：cosz在復平面的零點是， sinz在復平面的零點是8、同理可以定義其他三角函數：)(2Zkkz)(Zkkz,sin1csc,cos1sec,sincoscot,cossintanzzzzzzzzzz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換9、反正切函數：由函數 所定義的函數 w稱為z的反正切函數，記作由于令 ，得到wztanzwArctaniwiwiwiweeeeiz1111iziwe2 復變函數與積分變換復變函數與積分變換從而所以反正切函數是多值解析函數，它的支點是無

21、窮遠點不是它的支點。iziz)(Ln)(Ln21Ln21Arctaniiziziizizizwiz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換3.對數函數。稱為對數函數，記為，的函數滿足方程zwzfwzzewLn)()0( 和實變量一樣，復變量的對數函數也定義為指數函數的反函數： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換注解、由于對數函數是指數函數的反函數，而指數函數是周期為2 的周期函數，所以對數函數必然是多值函數，事實上。i 復變函數與積分變換復變函數與積分變換，則由定義知道，如果令ivuwreziiivuree所以有：), 2, 1, 0( 2,lnkkvru,Arg2 zkvzvu角，所以的幅是

22、是多值的；因為多值性知道，函數的是單值的，而由于幅角容易看到，0 iArg|z|lnLnzzz,w 復變函數與積分變換復變函數與積分變換對數函數的主值：,arg|lnlnzizzw 相應與幅角函數的主值，我們定義對數函數Lnz的主值lnz為：則這時，有,2ln2arg|lnLnikzikzizzw 復變函數與積分變換復變函數與積分變換三種對數函數的聯系與區別：函數單值與多值xlnzLnzln單值多值單值定義域所有正實數所有非零復數所有非零復數注解一個單值時，0 xzxln為zln分支為 復變函數與積分變換復變函數與積分變換對數函數的基本性質對數函數的基本性質 復變函數與積分變換復變函數與積分變

23、換;Ln1去原點上的多值函數是定義在整個復平面減、對數函數zw （運算性質）：、對數函數的代數性質2 LnLn)Ln(2121zzzz等式將不再成立：集合相等，并且下面的的等式應該理解為和幅角的加法一樣上面 LnLn)/Ln(2121zzzz ,Ln2Lnz2z LnzLn1nznikzizzikzizznn2arg|lnLn ,2arg2|ln2Ln11n2而應是： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換：、對數函數的解析性質3在除去原點和負對數函數的主值分支zlnzzz1ddln。事實上，)arg(arg|lnlnzzizz均沒有定義；與時，當zzzarg|ln0,arglim,arglim

24、000zzxzyy時，當連續，在原點和負實數軸上不所以，zwln并且有實軸的復平面上解析，從而不可導。 復變函數與積分變換復變函數與積分變換內在區域指數函數argzvezw是單值的，所以的反函數zwlnzezwwwez111ddddln 復變函數與積分變換復變函數與積分變換：、對數函數的幾何性態4平面把支對數函數的單值解析分zzwln00lnImargywyz映射為直線把射線2Im0 ,lnRe|wrwrz映射稱線段把圓平面的帶域映照的wzzC0Im, 0Re2Im0 ,Reww 復變函數與積分變換復變函數與積分變換uvw-平面xz-平面yi2zwlniy0lnrlnBBr 復變函數與積分變換

25、復變函數與積分變換對數函數的單值化： 相應與幅角函數的單值化，我們也可以將對數函數單值化：考慮復平面除去負實軸（包括0）而得的區域D。顯然，在D內，對數函數可以分解為無窮多個單值連續分支。,2ln2arg|lnLnikzikzizzw 復變函數與積分變換復變函數與積分變換沿負實軸的割線的取值情況：上沿下沿izwizw下沿上沿|ln|ln 復變函數與積分變換復變函數與積分變換一般區域：窮個單值連續分支也可以分解成無zLn則若規定,arg11z,2|lnLn11ikizz),|lnln(lnw111izz我們記 復變函數與積分變換復變函數與積分變換對數函數的單值化： 由于對數函數的每個單值連續分支

26、都是解析的，所以我們也將它的連續分支稱為解析分支。我們也稱對數函數是一個無窮多值解析函數。我們稱原點和無窮遠點是對數函數的無窮階支點（對數支點）； 復變函數與積分變換復變函數與積分變換特點：1、當z繞它們連續變化一周時，Lnz連續變化到其它值；2、不論如何沿同一方向變化，永遠不會回到同一個值。 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例1 的值。計算) 1(Ln ，所以有，解：因為) 1arg(1| 1|)2k(1lnLn(-1)i。), 2, 1, 0( ) 12(kik 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例2 的值。計算)32(Ln i，所以有，解：因為23arctan)32arg(13|3

27、2|ii)2k(arctan13ln3i)-Ln(223i。), 2, 1, 0( )2(arctan13ln2321kki 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例3 。的值和計算)01(ln)32ln(ln ii知：解：由對數函數的定義i;arg|lnlni2iii)32arg(|32|ln)32ln(iiii)arctanarg(13ln2321i 復變函數與積分變換復變函數與積分變換4.冪函數az)0(Lnzezwzaa 復變函數與積分變換復變函數與積分變換az=0由于. 0az)arg, 01(ln2lnzeezwikazaaazwz , 0),(2Zkeika因此，對同一個 的不同數

28、值的個數等于不同數值的因子 復變函數與積分變換復變函數與積分變換,2時是正整數、當n性，冪函數一般是、由于對數函數的多值1. 0|arg)2(arg|lnLnzinnkziznznnezeezw是一個單值函數；不同數值的個數等于數整個復平面上的多值函(。不同因子的個數)2ike冪函數的基本性質： 復變函數與積分變換復變函數與積分變換,)(31時是正整數、當nn)2(arg|lnLn111kzizznnneezw值函數；是一個n).1, 2 , 1 , 0( |2arg1nkeznkzni 復變函數與積分變換復變函數與積分變換,04時是、當; 10Lnz00eez）：的整數，為互素與是有理數時，

29、即、當0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)2(arg|lnLnz1取，當為互素，所以不難看到與由于kqp個不同的值，即這時，得到，qq 1,210值的函數；時冪函數是一個q 復變函數與積分變換復變函數與積分變換多值函數；函數是無窮是無理數或復數時，冪、當6是無理數時，有事實上，當kizkzizeeez2ln)2(arg|lnLnz時，有當)0( bbia)2(arg|)ln()2(arg|lnLnzkzizbiakzizeeez)2(arg|ln)2(arg|)ln(kzazbikzzbae例如), 2, 1, 0(2)2(arg1lnLni2keeeikkiii

30、ii 復變函數與積分變換復變函數與積分變換ikkieee222ln2)22(arg2ln2Ln2222) ,2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2iek)22)ln1()22(arg2)ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22ln kikkiikee), 2, 1, 0( 2 222keik上解析，、冪函數在0Re, 0Im7zzC 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 設在區域G內，我們可以把Lnz分成無窮個解析分支。對于Lnz的一個解析分支，相應地 有一個單值連續分支。根據復合函數求導法則， 的這個單值連續分支在G內解析，并且其中 應

31、當理解為對它求導數的那個分支，lnz應當理解為對數函數相應的分支。azazwzzaezazwazaln1ddaz 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 對應于Lnz在G內任一解析分支：當a是整數時， 在G內有n個解析分支；a是無理數或虛數時，冪函數az) 1(nnma既約分數，azaz在G內是同一解析函數；當 時， 在G內有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數。 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 例如當n是大于1的整數時，稱為根式函數，它是nnzzw1nwz 0z),arg( | )2(arg121)arg|(ln121ln1Zkzezeeeezwkzniniknzizniknznn 的

32、反函數。當時，有這是一個n值函數。 復變函數與積分變換復變函數與積分變換在復平面上以負實軸（包括0）為割線而得的區域D內，它有n個不同的解析分支：它們也可以記作) 1,.,1 , 0;arg( |)2(arg1nkzezwkznin這些分支在負實軸的上沿與下沿所取的值，與相應的連續分支在該處所取的值一致。)1(21kninnezw 復變函數與積分變換復變函數與積分變換冪函數的映射性質: 復變函數與積分變換復變函數與積分變換關于冪函數當a為正實數時的映射性質，有下面的結論：設 是一個實數，并且在z平面上取正實數軸（包括原點）作為割線，得到一個區域D*。考慮D*內的角形，2,0a并取 在D*內的一

33、個解析分支zAarg0:) 11 (aazwazw 復變函數與積分變換復變函數與積分變換當z描出A內的一條射線時讓 從0增加到 （不包括0及 ），那么射線l掃過角形A，而相應的射線 掃過角形0arg:zl01arg:awl01lawA arg0:1a（不包括0），w在w平面描出一條射線 復變函數與積分變換復變函數與積分變換因此) 11 (aazw1Aaa把夾角為 的角形雙射成一個夾角為 的角形，同時，這個函數把A中以原點為心的圓弧映射成中以原點為心的圓弧。 復變函數與積分變換復變函數與積分變換類似地，我們有，當n(1)是正整數時，) 1,.,2 , 1 , 0( )1(21nkezwkninnnzwnkwnk) 1(2arg2的n個分支分別把區域D*雙射成w平面的n個角形 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例1、作出一個含i的區域，使得函數, )2)(1(zzzw)2Arg() 1Arg(Arg2exp| )2)(1(|2/1zzzizzzw在這個區域內可以分解成解析分支；