1、利用Z變換對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析通信工程學(xué)院高全學(xué)Z變換域分析的意義o便于考察信號、系統(tǒng)的特征o便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計o比傅立葉變換的應(yīng)用范圍廣系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)o 系統(tǒng)的時域描述單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n)( ) ( )h nTn( )( )( )( ) ()my nh nx nx m h nmo傳輸函數(shù)()( )jj nnH eh n eo系統(tǒng)函數(shù)( )( )nnH zh n z系統(tǒng)的傳輸函數(shù)的意義時域o 輸出為同頻 復(fù)指數(shù)序列，幅度和相位由傳輸函數(shù)決定o 幅度為頻率響應(yīng)幅度 加權(quán)o 相位為輸入相位輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)系統(tǒng)相位響應(yīng)之和0( )jnx nen 000()( )( )(

2、 )jn mjnjmmmy nh m eeh m e00000arg()()()jjnH ejnjjeH eH ee( )00()jH e輸入為復(fù)指數(shù)序列o 輸出信號的頻譜取決于輸入信號的頻譜特性和系統(tǒng)的傳輸函數(shù)o 稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，表征了頻頻率響應(yīng)函數(shù)，表征了頻域響應(yīng)特性域響應(yīng)特性o 設(shè)計不同的頻率響應(yīng)函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)對信號的放大、濾波、相位均衡等功能。系統(tǒng)的傳輸函數(shù)的意義頻域( )( )* ( )()()()jjjy nh nx nY eH eX e()jH e系統(tǒng)函數(shù)H(z)o 表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性o 如果 H(z)的收斂域包含單位圓 ，則序列的傅立葉變換存在1z ()( )jjz e

3、H eH zo 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在單位圓上的Z變換，有時亦將系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)稱為傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)的分布分析系統(tǒng)的 因果性和穩(wěn)定性o 系統(tǒng)N階差分方程為o Z變換，得系統(tǒng)函數(shù)o 因式分解01( )()()MNiiiiy nbx nia y ni00( )( )( )MiiiNiiibzY zH zX za z00()()MNiiiibx nia y ni00( )( )MNiiiiiibz X za z Y zo A影響輸出信號的幅度o 是 的零點(diǎn), 是 的極點(diǎn)；o 零、極點(diǎn)零、極點(diǎn)分布將影響系統(tǒng)的頻率特性響系統(tǒng)的頻率特性o 極點(diǎn)極點(diǎn)分布影響系統(tǒng)的

4、因果性和穩(wěn)定性因果性和穩(wěn)定性1111(1)( )(1)MrrNrrc zH zAd zrcrd( )H z( )H z因果性o 時域：單位脈沖響應(yīng)是因果序列單位脈沖響應(yīng)是因果序列。其Z變換的收斂域?yàn)閛 因果序列Z變換的極點(diǎn)在以 為半徑的圓內(nèi)o 結(jié)論：因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) Z 變換的極點(diǎn)均集中在某個圓內(nèi)變換的極點(diǎn)均集中在某個圓內(nèi)； 收斂域如下，包含包含 。xRz xRxRz 穩(wěn)定性o 穩(wěn)定：系統(tǒng)穩(wěn)定：系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的收斂域的收斂域包含單位圓；包含單位圓； 系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)不在單位圓上系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)不在單位圓上()nh n 序列序列h(n)h(n)絕對可和，即絕對可和，即1( )( )nnnzh nh

5、 n z h(n)的的z變換變換o Z變換的收斂域：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)因果穩(wěn)定系統(tǒng)：/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2, 1.5jjjjeeee例：一系統(tǒng)的極點(diǎn)有： 問什么情況下，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)， 什么情況下，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系統(tǒng)： 0.41.5z穩(wěn)定系統(tǒng)：o 解：系統(tǒng)的極點(diǎn)為（1）收斂域取 收斂域包含 ，是因果系統(tǒng) 收斂域不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定 單位脈沖響應(yīng)為（2）收斂域取 收斂域不包含 ，不是因果系統(tǒng) 收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定 單位脈沖響應(yīng)為211 ( )1,

6、(1)(1)aH zaazaz例： 已知分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1,za a1aaReIm11az ( )nnh naa1aza( )nh na（3）收斂域取 收斂域不包含 ，不是因果系統(tǒng) 收斂域不包含單位圓收斂域不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定 單位脈沖響應(yīng)為1aaReIm1za( )() (1)nnh naa un 根據(jù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，分析分析系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性o 系統(tǒng)差分方程：o 系統(tǒng)函數(shù)10111011(1)()( )(1)()MMrrN MrrNNrrkkc zzcbH zAAzAad zzd00()()MNiiiibx nia y nio 頻域響應(yīng)()11()( )|()()j

7、wMjrjjN MrNZ ejrkecH ZH eAeed時域輸出與系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)有關(guān)；頻率特性與系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)有關(guān)，希望根據(jù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布進(jìn)行定性分析。 o 頻域響應(yīng)函數(shù)()jH e系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幾何確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 的幾何確定()jH eo 假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定 ZjOBze 在 平面上用矢量表示rcRezImzjBrdrOr極點(diǎn) 矢量 矢量零點(diǎn) 矢量 矢量rzdrOd jredrd B rzcrOcrc B rrjjrrrrd Bd Bec Bc Be jreco 幅頻特性o 相頻特性11()MrjrNrkc BH eAd B()11()MrjjN MrNrkc BH eAed B (

8、)()jjH ee 11( )()MNrrrrNM 1cRezImzj1d2dje112211( )()MNrrrrNM ()()()jjjH eH ee 11()MrjrNrkc BH eAd B2c0（1）z=0處的零極點(diǎn)對幅頻特性 沒有影響，只對相位有影響（2）當(dāng) B 旋轉(zhuǎn)到某個極點(diǎn) 附近時，例如在同一半徑上時， 較短，則 在該點(diǎn)應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)一個峰值，越短， 附近越尖銳。若 落在單位圓上，則 ,在 處的峰值趨于無窮大。（3）零點(diǎn)的作用與極點(diǎn) 的作用正好相反。rd)(jeH)(jeHBRezImzjOrdrrcrrd Brd0rd B 11()MrjrNrkc BH eAd B解：系統(tǒng)函數(shù)為B

9、點(diǎn)從 開始，沿單位圓逆時針轉(zhuǎn)一圈零點(diǎn)：對幅頻特性沒有影響對幅頻特性沒有影響極點(diǎn)： ，極點(diǎn)矢量長度最短， 峰值為1/(1-b) 極點(diǎn)矢量長度最長, 谷值為1/(1+b)例2.4.6一階系統(tǒng)的差分方程如下，定性分析系統(tǒng)的幅頻特性( )(1)( )01y nby nx nb1( )( )( )Y zbz Y zX z11( )1zH zbzzbRezImzj0Bb1100解：計算零極點(diǎn)極點(diǎn)：N階極點(diǎn) z=0零點(diǎn)：N個零點(diǎn)當(dāng)變化時，極點(diǎn)矢量長度不變，且為1。零點(diǎn)對幅頻特性的影響？例2.4.7 系統(tǒng)函數(shù)如下，定性分析系統(tǒng)的幅頻特性( )1NH zz 1( )1NNNzH zzz 20,1,2,1jkNk

10、zekNRezImzj011BN=8梳狀濾波器-1-0.500.51-1-0.500.518Real PartImaginary Part00.5100.511.522.5/|H(ej)|00.51-2-1012/()N=8解：求Z變換及零極點(diǎn)零點(diǎn)：N個零點(diǎn)極點(diǎn)：z=1，N-1階極點(diǎn)z=0零點(diǎn)z=0與極點(diǎn)z=0相消設(shè)N=8，幅頻特性？例 系統(tǒng)函數(shù)如下，定性分析系統(tǒng)的幅頻特性( )( )Nx nRn0( )( )( )nNNnX zZT RnRn z10Nnnz111Nzz11(1)NNzzz20,1,2,1jkNkzekNRezImzj011B-1-0.500.51-1-0.500.517Re

11、al PartImaginary Part00.5102468/|H(ej)|00.51-3-2-1012/()零極點(diǎn)分布對幅頻特性的影響o 極點(diǎn)影響幅頻特性的峰值，峰值頻率在極點(diǎn)的附近；o 極點(diǎn)越靠近單位圓，峰值越高，越尖銳；o 極點(diǎn)在單位圓上，峰值幅度為無窮，系統(tǒng)不穩(wěn)定。o 零點(diǎn)影響幅頻特性的谷值，谷值頻率在零點(diǎn)的附近；o 零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零；o 零點(diǎn)在單位圓上，谷值為零。o 處于坐標(biāo)原點(diǎn)的零極點(diǎn)不影響幅頻特性o 該方法適于低階系統(tǒng)用Z變換求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)o 只與系統(tǒng)的只與系統(tǒng)的輸入信號有關(guān)輸入信號有關(guān)，與，與初始狀態(tài)無關(guān)初始狀態(tài)無關(guān)，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

12、o 只與系統(tǒng)的只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)初始狀態(tài)有關(guān)，與，與輸入信號無關(guān)輸入信號無關(guān)，稱為稱為 系統(tǒng)的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)o 系統(tǒng)的響應(yīng)（輸出響應(yīng)）系統(tǒng)的響應(yīng)（輸出響應(yīng)） 全響應(yīng)系統(tǒng)的全響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)的零狀零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)121321 (1)( )( 1) (2)( )( 1)( 2) (3)( )( 1)( 2)( 3)ZT y nz Y zyZT y nz Y zz yyZT y nz Y zz yz yy1.零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)o 移位因果序列的Z變換(單邊)00 () ( )() ( )()nnnnZT y nm u ny nm u n zy nm z1(

13、)()0( )( )( )l mmll mn m llmllmy l zzy l zy l z1( )( )mmllmzY zzy l zo 系統(tǒng)的差分方程00()()MNiiiibx nia y nio Z變換 () ( )( )mZT x nm u nzX z100( )( )( )MNiiiliiiilibz X zaz Y zzy l z1000( )( )( )MNNiiliiiiiiliibz X za zy l za z Y zx(n)=0,nM時，上式成立，則MT為穩(wěn)定時間()1%0,1,max ( )y Mny n例：00122jjee設(shè)H(z)有一個實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)的輸入是單位階躍序列，系統(tǒng)的輸出為：,1(1)( )( )1HY zH zz的極點(diǎn)構(gòu)成的部分分式之和0011111122(1)( )1111jjkaaHY zzezezz001122( )jnjnnnny nkaeae穩(wěn)態(tài)響應(yīng)112203( )sin()nny nkkjnk穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)o 系統(tǒng)穩(wěn)定o 穩(wěn)定時間估算公式o 時間常數(shù)o 達(dá)到暫態(tài)峰值的1%，所需采樣間隔數(shù)1112203( )sin()nny nkkjnk12max,1/ln4.5/ln 0.00840.30.00770.50.009210.80.011