1、教 育 學 案書郎教育北師大版初一數學定理知識點匯總七年級上冊第一章 豐富的圖形世界幾何圖形從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。點、線、面、體（1）幾何圖形的組成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。（2）點動成線，線動成面，面動成體。1. 2. 3. 球體：由球面圍成的（球面是曲面）4. 幾何圖形是由點、線、面構成的。幾何體與外界的接觸

2、面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面；面與面相交得到線；線與線相交得到點。5. 棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線都叫做棱。6. 側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱，所有側棱長都相等。7. 棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方形。8. 根據底面圖形的邊數，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形9. 長方體和正方體都是四棱柱。正方體展開的11種情況10. 圓柱的表面展開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。11. 圓錐的表面展開圖是由一個圓形和一個扇形連成。12. 設一個多邊形的邊數為n(n3，且n為整數

3、)，從一個頂點出發的對角線有(n-3)條；可以把n邊形成(n-2)個三角形；這個n邊形共有條對角線。13. 圓上兩點之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。14. 扇形，由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。15. 凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。第二章 有理數及其運算相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。解題時要真正掌握數形結合的思想，并能靈活運用。倒數：如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒

4、數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|0）。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。有理數比較大?。赫龜荡笥诹悖摂敌∮诹?，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。有理數的運算 ：（1）五種運算：加、減、乘、除、乘方 （2）有理數的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配律 數軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一

5、不可）。任何一個有理數，都可以用數軸上的一個點來表示。（反過來，不能說數軸上所有的點都表示有理數）如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。（0的相反數是0）在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的側，且到原點的距離相等。數軸上兩點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數在原點的右邊，負數在原點的左邊。絕對值的定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a|。正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的數；0的絕對值是0。0-1-2-3123越來越大 或 絕對值的性質：除0外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數；互為

6、相反數的兩數（除0外）的絕對值相等；任何數的絕對值總是非負數，即|a|0比較兩個負數的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數的大小的步驟如下： 先求出兩個數負數的絕對值；比較兩個絕對值的大??；根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。絕對值的性質：對任何有理數a，都有|a|0若|a|=0，則|a|=0，反之亦然若|a|=b，則a=b對任何有理數a,都有|a|=|-a|有理數加法法則： 同號兩數相加，取相同符號，并把絕對值相加。異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時取絕對值較大的數的符號，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值。一個數同0相加，仍得這個數。加法的交換律、結合律在有理數

7、運算中同樣適用。靈活運用運算律，使用運算簡化，通常有下列規律：互為相反的兩個數，可以先相加；符號相同的數，可以先相加；分母相同的數，可以先相加；幾個數相加能得到整數，可以先相加。有理數減法法則： 減去一個數，等于加上這個數的相反數。有理數減法運算時注意兩“變”：改變運算符號；改變減數的性質符號（變為相反數） 有理數減法運算時注意一個“不變”：被減數與減數的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。有理數的加減法混合運算的步驟：寫成省略加號的代數和。在一個算式中，若有減法，應由有理數的減法法則轉化為加法，然后再省略加號和括號；利用加法則，加法交換律、結合律簡化計算。（注意：減去一個數等于加上這個數

8、的相反數，當有減法統一成加法時，減數應變成它本身的相反數。）有理數乘法法則： 兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。任何數與0相乘，積仍為0。如果兩個數互為倒數，則它們的乘積為1。（如：-2與 、 等）乘法的交換律、結合律、分配律在有理數運算中同樣適用。有理數乘法運算步驟：先確定積的符號；求出各因數的絕對值的積。乘積為1的兩個有理數互為倒數。注意：零沒有倒數求分數的倒數，就是把分數的分子分母顛倒位置。一個帶分數要先化成假分數。正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。有理數除法法則： 兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何非0的數都得0。0不可作為除數，否則無意義。 注意

9、：一個數可以看作是本身的一次方，如5=51；當底數是負數或分數時，要先用括號將底數括上，再在右上角寫指數。乘方的運算性質：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；任何數的偶數次冪都是非負數；1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。有理數混合運算法則：先算乘方,再算乘除,最后算加減。如果有括號,先算括號里面的。第三章 字母表示數代數式的概念： 用運算符號（加、減、乘除、乘方、開方等）把數與表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。 注意：代數式中除了

10、含有數、字母和運算符號外，還可以有括號；代數式中不含有“=、”等符號。等式和不等式都不是代數式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數式；代數式中的字母所表示的數必須要使這個代數式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。代數式的書寫格式：代數式中出現乘號，通常省略不寫，如vt；數字與字母相乘時，數字應寫在字母前面，如4a；帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數后與字母相乘，如應寫作；數字與數字相乘，一般仍用“”號，即“”號不省略；在代數式中出現除法運算時，一般按照分數的寫法來寫，如4（a-4）應寫作；注意：分數線具有“”號和括號的雙重作用。在表示和（或）差的代差的代數式后有單位名稱的，則必

11、須把代數式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如平方米代數式的系數： 代數式中的數字中的數字因數叫做代數式的系數。如3x,4y的系數分別為3，4。 注意：單個字母的系數是1，如a的系數是1；只含字母因數的代數式的系數是1或-1，如-ab的系數是-1。a3b的系數是1代數式的項： 代數式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的項，其中把不含字母的項叫做常數項注意：在交待某一項時，應與前面的符號一起交待。同類項： 所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。 注意：判斷幾個代數式是否是同類項有兩個條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數也相同。這兩個條件缺一不可；同類項

12、與系數無關，與字母的排列順序無關；幾個常數項也是同類項。合差同類項：把代數式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。合并同類項的理論根據是逆用乘法分配律；合并同類項的法則是把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。 注意：如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后結果為0；不是同類項的不能合并，不能合并的項，在每步運算中都要寫上；只要不再有同類項，就是最后結果，結果還是代數式。根據去括號法則去括號： 括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變符號；括號前面是“”號去掉，括號里各項都改變符號。根據分配律去括號： 括號前面是“+”號看成+1，括號前面是“

13、”號看成-1，根據乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的。注意：去括號時，要連同括號前面的符號一起去掉；去括號時，首先要弄清楚括號前是“+”號還是“”號；改變符號時，各項都變號；不改變符號時，各項都不變號。第四章 平面圖形及位置關系一. 線段、射線、直線1. 正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區別：名稱圖形表示方法端點長度直線直線AB(或BA)直線l無端點無法度量射線射線OM1個無法度量線段線段AB(或BA)線段l2個可度量長度2. 直線公理:經過兩點有且只有一條直線.b書郎教圖2二.比較線段的長短AOB書郎教圖11. 線段公理:兩點間線段最短;兩之間線段的長度叫做

14、這兩點之間的距離.2. 比較線段長短的兩種方法:圓規截取比較法;刻度尺度量比較法.書郎教圖43. 用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分;1書郎教圖3用圓規可以畫出線段的和、差、倍.三.角的度量與表示1. 角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角;這個公共端點叫做角的頂點;平角書郎教圖6終邊始邊書郎教圖5這兩條射線叫做角的邊.2. 角的表示法：角的符號為“” 用三個字母表示，如圖1所示AOB用一個字母表示，如圖2所示b用一個數字表示，如圖3所示1書郎教圖8CABO用希臘字母表示，如圖4所示周角書郎教圖7經過兩點有且只有一條直線。兩點之間的所有連線中，線段最短。兩點之間線段的長度，叫做

15、這兩點之間的距離。1=60 1=60”角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的。如圖5所示：一條射線繞它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖6所示：終邊繼續旋轉，當它又和始邊重合時，所成的角叫做周角。如圖7所示：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。如圖8所示，過點C作直線AB的垂線，垂足為O點，線段CO的長度叫做點C到直線AB的距離。第

16、五章 一元一次方程在一個方程中，只含有一個未知數x（元），并且未知數的指數是1（次）,這樣的方程叫做一元一次方程。等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數式，所得結果仍是等式。等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式。解方程的步驟：解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等幾個步驟，把一個一元一次方程“轉化”成x=m的形式。列一元一次方程解應用題： （1）讀題分析法: 多用于“和，差，倍，分問題”仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套-”，利用這些關鍵字列出文字等式，并且據題

17、意設出未知數，最后利用題目中的量與量的關系填入代數式，得到方程.（2）畫圖分析法: 多用于“行程問題”利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據，最后利用量與量之間的關系（可把未知數看做已知量），填入有關的代數式是獲得方程的基礎.11列方程解應用題的常用公式：（1）行程問題： 距離=速度時間 ；（2）工程問題： 工作量=工效工時 ；工程問題常用等量關系： 先做的+后做的=完成量（3）順水逆水問題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；水流速度=（

18、順水速度-逆水速度）2 順水逆水問題常用等量關系： 順水路程=逆水路程（4）商品利潤問題： 售價=定價 ， ；利潤問題常用等量關系： 售價-進價=利潤 （5）配套問題：（6）分配問題：第六章 生活中的數據科學記數法：一般地，一個大于10的數可以表示成a10n的形式，其中1an).2. 在應用時需要注意以下幾點:法則使用的前提條件是“同底數冪相除”而且0不能做除數,所以法則中a0.任何不等于0的數的0次冪等于1,即,如,(-2.50=1),則00無意義.任何不等于0的數的-p次冪(p是正整數),等于這個數的p的次冪的倒數,即( a0,p是正整數), 而0-1,0-3都是無意義的;當a0時,a-p

19、的值一定是正的; 當a0時,a-p的值可能是正也可能是負的,如,運算要注意運算順序. 六. 整式的乘法1. 單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將系數相乘與指數相加混淆；相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。2單項式與多項式相乘單項式乘以多項式，是通過乘法

20、對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；在混合運算時，要注意運算順序。3多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項式項數的積；多項式相乘的結果應注意合并同類項；對含有同一個字母的一

21、次項系數是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數為1，一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對于一次項系數不為1的兩個一次二項式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到七平方差公式1平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即。其結構特征是：公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。八完全平方公式1 完全平方公式：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍， 即；口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；2結構特征：公式左邊是二項式的完全平方；公式右邊共有

22、三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。3在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現這樣的錯誤。九整式的除法1單項式除法單項式單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式；2多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。個 性 化 輔 導 教 案授課時間： 授課時段 科目：課題：同底數冪的運算授課老師 ：電話：教學目標掌握同底數冪的乘法與除法運算

23、；冪的乘方；積的乘方；同底數冪的除法運算法則重點難點同底數冪的乘法與除法運算；冪的乘方；積的乘方；同底數冪的除法運算法則教學過程（內容）一、概念與法則：1、同底數冪的乘法：同底數冪乘法的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：aman=am+n （m 、n均為正整數）例題1： x2x5 = 22423 = xmx3m+1= （a+1）（a+1）6=2、冪的乘方：冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。即：（am）n =amn （m 、n均為正整數） 例題2：計算（1） （103）3 = （2）（）34 = （3）（6）34= （4）（x2）5= （a1）27 = （6）（as）

24、3= （7）（x3）4x2 = （9）（x2）37 = 3、積的乘方：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn （m 、n均為正整數）例題3、計算：（1）（2a）3= （2）（-5b）3= （3）（xy2）2= （4）（-2x3）4=注意：、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。 、此法則也可以逆用，即：anbn =（ab）n。4、同底數冪的除法：同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：aman=am-n （a0； m 、n均為正整數）例題4.計算=_, =_.毛5、特別規定零指數冪：零指數冪的意義：任何不等于0的數的0次冪都等于1即：a0=1（a0）6、負指數冪：任何不等于零的數的p次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即：例題5：.若有意義,則x_； .=_.二、典型例題：例1：. 化簡（1）、 (x-y)2(x-y)3(y-x)2(y-x)3 （2）例2、若2m=4，2n=8，求2m+n，22m+3n的值 若a2n=3，求（a3n）4的值。例3、若 2816=2，求正整數m的值.例4、（1）已知xya，求（xy）3（2x2y）3（3x3y）3的值（2）化簡求值：（2x-y）（2x-y）（y-2x），其中x=