1、理解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合理解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用情推理在數學發現中的作用/ /了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行簡單推理基本模式，并能運用它們進行簡單推理/ /了解合情推理和演繹推理之間了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異的聯系和差異 第十一知識塊第十一知識塊 推理與證明、數系的擴充推理與證明、數系的擴充 與復數的引入與復數的引入第第1 1課時課時 合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理 合情推理與演繹推理是中學數學的重要內容，是高考重

2、點考查的內容之一，合情推理與演繹推理是中學數學的重要內容，是高考重點考查的內容之一，幾乎每年都有涉及，主要以填空題的形式出現，考查歸納推理和類比推理的幾乎每年都有涉及，主要以填空題的形式出現，考查歸納推理和類比推理的運用以及同學們的邏輯推理能力運用以及同學們的邏輯推理能力【命題預測【命題預測】 1在歸納推理中，前提和結論之間的聯系不是必然的，在前提真實的情況下，在歸納推理中，前提和結論之間的聯系不是必然的，在前提真實的情況下，結論未必真運用歸納推理的一般步驟是：首先，通過觀察個別情況發現某些結論未必真運用歸納推理的一般步驟是：首先，通過觀察個別情況發現某些相似性相似性(特例的共性或一般規律特例

3、的共性或一般規律)；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般規律般規律(猜想猜想)；最后，對所得出的一般性命題進行檢驗；最后，對所得出的一般性命題進行檢驗2運用類比推理，不僅可以跨越各類事物的界限，進行不同事物的對比，而且運用類比推理，不僅可以跨越各類事物的界限，進行不同事物的對比，而且可以比較事物的本質屬性和非本質屬性，同時，類比推理比歸納推理更富有想可以比較事物的本質屬性和非本質屬性，同時，類比推理比歸納推理更富有想象，因而也更具有創造性在進行類比時要盡量從本質上去類比，不要被表現象，因而也更具有創造性在進行類比時要盡量從本質上去類比，不要被表現

4、象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤錯誤【應試對策【應試對策】 3演繹推理是數學證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得演繹推理是數學證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得到的結論就正確在數學中，合情推理為我們猜想、發現新的規律提供依據和到的結論就正確在數學中，合情推理為我們猜想、發現新的規律提供依據和方法，演繹推理用于證明這些猜想、發現是否為真，但數學結論、證明思路等方法，演繹推理用于證明這些猜想、發現是否為真，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理，因此，

5、我們不僅要學會證明，也要學會猜想的發現，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想4在推理論證的過程中，一個稍復雜的證明題經常要由幾個三段論式才能完在推理論證的過程中，一個稍復雜的證明題經常要由幾個三段論式才能完成，大前提通常省略不寫，或者寫在結論后面的小括號內，小前提有時也可以成，大前提通常省略不寫，或者寫在結論后面的小括號內，小前提有時也可以省去，而采取某種簡明的格式省去，而采取某種簡明的格式合情推理的應用合情推理的應用 (1) 合合情推理主要包括歸納推理和類比推理在數學研究中，在得到一個新結論情推理主要包括歸納推理和類比推理在數學研究中，在得到一個新結論(2) 前，合情推理能

6、幫助猜測和發現結論，證明一個數學結論之前，合情推理常前，合情推理能幫助猜測和發現結論，證明一個數學結論之前，合情推理常常常(3) 能為證明提供思路與方向能為證明提供思路與方向(2)合合情推理的過程概括為：情推理的過程概括為：【知識拓展【知識拓展】 (3)合情推理是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思合情推理是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發表結論，探索和提維方式在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發表結論，探索和提供思路的作用有利于創新意識的培養在能力高考的要求下，推理方法供思路的作用有利于創新意識的培養在能力

7、高考的要求下，推理方法顯得更加重要在復習中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得顯得更加重要在復習中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應手問題的解決有章有法，得心應手 注意注意(1)歸歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對科學的發未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對科學的發現是十分有用的觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規律性現是十分有用的觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規律性的說法

8、，乃是科學研究的最基本的方法之一的說法，乃是科學研究的最基本的方法之一 (2)類比推理是根據兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性類比推理是根據兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數來類比，平面幾何與立體幾亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發何中的某些對象類比等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發現真理現真理1歸納推理歸納推理 (1)歸歸納推理的定義納推理的定義 從個別事實中推演出從個別事實中推演出 的結論，像這樣的推理通常稱為

9、歸納推理的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理 (2)歸納推理的思維過程大致如圖歸納推理的思維過程大致如圖一般一般2 類比推理類比推理 (1)根根據兩個據兩個(或兩類或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他 方面也具有相同或方面也具有相同或 ，這樣的推理稱為類比推理，這樣的推理稱為類比推理 (2)類比推理的思維過程是：類比推理的思維過程是： 思考：思考：歸納推理和類比推理的特點與區別是什么？歸納推理和類比推理的特點與區別是什么？ 提示：提示：兩種推理的特點與區別：類比推理和歸納推理的結論都是有待于證兩種推理的特點與區別：類比推理和歸

10、納推理的結論都是有待于證 明的歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理明的歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理 相似的性質相似的性質3演繹推理演繹推理 (1)演演繹推理是根據已有的事實和正確的結論繹推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等包括定義、公理、定理等) ，按照嚴格的步驟得到，按照嚴格的步驟得到 的推理過程的推理過程 (2)主要形式是三段論式推理主要形式是三段論式推理 (3)三段論的常用格式為三段論的常用格式為 MP(M是是P)新結論新結論 SP(S是是P) 其中，其中，是是 ，它提供了一個一般性的原理；，它提供了一個一般性的原理

11、；是是 ，它指出，它指出 了了 一個特殊對象；一個特殊對象；是是 ，它是根據一般原理，對特殊情況作出的判斷，它是根據一般原理，對特殊情況作出的判斷SM(S是是M)大前提大前提小前提小前提結論結論1(江蘇省高考名校聯考信息優化卷江蘇省高考名校聯考信息優化卷)已已知如下結論：知如下結論：“等邊三角形內任意等邊三角形內任意 一點到各邊的距離之和等于此三角形的高一點到各邊的距離之和等于此三角形的高”，將結論拓展到空間中的正，將結論拓展到空間中的正 四面四面 體體(棱長都相等的三棱錐棱長都相等的三棱錐)，可得出的正確結論是：，可得出的正確結論是：_. 答案：答案：正正四面體內任意一點到各個面的距離之和等

12、于此正四面體的高四面體內任意一點到各個面的距離之和等于此正四面體的高2“金金導電、銀導電、銅導電、錫導電，所以一切金屬都導電導電、銀導電、銅導電、錫導電，所以一切金屬都導電”此推理此推理 方法是方法是_ 解析解析：由特殊到一般的推理：由特殊到一般的推理 答案：答案：歸納推理歸納推理3把把1,3,6,10,15,21，這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以 排成一個正三角形排成一個正三角形(如圖如圖)： 試求第七個三角形數是試求第七個三角形數是_ 解析：解析：第七個三角形數為：第七個三角形數為：123456728. 答案：答案：284一一切奇數都

13、不能被切奇數都不能被2整除，整除，21001是奇數，所以是奇數，所以21001不能被不能被2整除，其整除，其 演繹推理的演繹推理的“三段論三段論”的形式為的形式為_ 答案：答案：一一切奇數都不能被切奇數都不能被2整除，整除，(大前提大前提),21001是奇數，是奇數，(小小 前提前提)，21001不能被不能被2整除整除(結論結論)5函函數數f(x)由下表定義：由下表定義： 若若a11，a25，an2f(an)(nN)，則，則a2 011的值是的值是 _ 解析：解析：a11，a25，an2f(an)(nN)，a3f(a1)f(1)3， a4f(a2)f(5)1，a5f(a3)f(3)5， 由此可

14、知，數列由此可知，數列an是以是以3為周期的數列，為周期的數列，a2 011a67031a11，故應填，故應填1. 答案：答案：1x12345f(x)345211歸納推理的特點：歸納推理的特點：(1)歸納是依據特殊現象推斷出一般現象，因而由歸納所得歸納是依據特殊現象推斷出一般現象，因而由歸納所得 的結論超越了前提所包含的范圍的結論超越了前提所包含的范圍(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經驗或試驗的基礎之上的立足于觀察、經驗或試驗的基礎之上的2歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發現某些相同本質通過觀察個別情況發現某些

15、相同本質(2)從已知的從已知的 相同性質中推出一個明確表述的一般性命題相同性質中推出一個明確表述的一般性命題解：解：在在an中中，a11，a2 ，a3 ，a4 ，所以猜想所以猜想an的通項公式的通項公式an .證明如下：因為證明如下：因為a11，an1 ，所以，所以 ，即即 ，所以所以 是以是以 1為首項，公差為為首項，公差為 的等差數列的等差數列，所以所以 ，所以通項公式，所以通項公式an .【例【例1】 在在數列數列an中，中，a11，an1 ，nN*，猜想這個數列的通項公，猜想這個數列的通項公式思路點撥：根據已知條件和遞推關系，先求出數列的前幾項，然后總結式思路點撥：根據已知條件和遞推關

16、系，先求出數列的前幾項，然后總結歸納其中的規律，寫出其通項公式歸納其中的規律，寫出其通項公式 變式變式1：(江蘇省高考命題研究專家原創卷江蘇省高考命題研究專家原創卷)將將正奇數按如圖所示的規律排列，正奇數按如圖所示的規律排列，則第則第21行從左向右的第行從左向右的第5個數為個數為_ 解析：解析：前前20行共有正奇數行共有正奇個個)，則第，則第21行行 從左向右的第從左向右的第5個數是第個數是第405個正奇數，所以這個數是個正奇數，所以這個數是24051809. 答案：答案：8091類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：

17、(1)找出兩類事物之找出兩類事物之的相似性或一致性；的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題確的命題(猜想猜想)2類比是科學研究最普遍的方法之一在數學中，類比是發現概念、方法、定理和類比是科學研究最普遍的方法之一在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造新分支的重要手段類比在數學中應用公式的重要手段，也是開拓新領域和創造新分支的重要手段類比在數學中應用廣泛數與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無廣泛數與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與

18、不等、有限與無限之間有不少結論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的限之間有不少結論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的 【例【例2】 已已知圓的方程是知圓的方程是x2y2r2(r0)，則經過圓上一點則經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程的切線方程為為x0 xy0yr2.類比上述性質，可以得到橢圓類比上述性質，可以得到橢圓1(ab0)類似的性質類似的性質 為為_ 思路點撥：思路點撥：由圓的切線方程與圓的方程的對比，猜想橢圓上一點的切線方程由圓的切線方程與圓的方程的對比，猜想橢圓上一點的切線方程 過橢圓過橢圓 上一點上一點P(x0，y0)的切線方程為的切線方程為 1.答案：答案：過過橢圓橢圓 1

19、(ab0)上一點上一點P(x0，y0)的切線方程的切線方程 1 解析：解析：圓的性質中，經過圓上一點圓的性質中，經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的切線方程就是將圓的方程中的一個的一個x與與y分別用分別用M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標替換故可得橢圓的橫坐標與縱坐標替換故可得橢圓 1類似的性質為：類似的性質為：M2與點與點N1、N2，則則三角形面積之比為：三角形面積之比為： 若從點若從點O所作的不在同一個平面所作的不在同一個平面 內的三條射線內的三條射線OP、OQ和和OR上分別有點上分別有點P1、P2與點與點Q1、Q2和和R1、R2，則類，則類似的結論為：似的結論為：_.答

20、案：答案：變式變式2：(江蘇靖江調研江蘇靖江調研)若若從點從點O所作的兩條射線所作的兩條射線OM、ON上分別有點上分別有點M1、在數學中，合情推理為我們猜想、發現新的規律提供依據和方法，演繹推在數學中，合情推理為我們猜想、發現新的規律提供依據和方法，演繹推理則用于證明這些猜想、發現是否為真，但數學結論、證明思路等的發現，理則用于證明這些猜想、發現是否為真，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學會證明，而且也要學會猜想主要靠合情推理，因此，我們不僅要學會證明，而且也要學會猜想 【例【例3】 如如圖圖，已知已知O是是ABC內任意一點內任意一點， 連接連接AO，BO，CO，

21、并延長交并延長交 對邊于對邊于A，B，C，則則 . 這是平面幾何中的一個結論，其證明常采用這是平面幾何中的一個結論，其證明常采用“面積法面積法”： . 運用類比推理猜想，對于空間中的四面體運用類比推理猜想，對于空間中的四面體VBCD， 存在什么類似的結論，并用存在什么類似的結論，并用“體積法體積法”證明證明 思路點撥：思路點撥：將邊長擴展為面積，將面積擴展為體積，即可得到一個類似將邊長擴展為面積，將面積擴展為體積，即可得到一個類似的結論和證法的結論和證法解：解：如如圖圖，設設O為四面體為四面體VBCD內任意一點，連接內任意一點，連接VO，BO，CO，DO，并延長交并延長交對面于對面于V，B，C

22、，D.類比關系為類比關系為 . 類比平面幾何中的類比平面幾何中的“面積法面積法”，可用，可用“體積法體積法”來證明來證明 (其中其中h，h為兩個四面體的高為兩個四面體的高)，同理同理， 變式變式3：在在ABC中，中，ABAC，ADBC于于D，求證：，求證： ，那么在四，那么在四 面體面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并 說明理由說明理由證明：證明：如圖如圖(1)所示所示，由射影定理由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，又又BC2AB2AC2， 所以所以猜想：類比猜想：類比ABAC，ADBC猜想四面體猜想四面體ABCD中

23、，中，AB、AC、AD兩兩垂直，兩兩垂直， AE平面平面BCD，則，則如圖如圖(2)，連接，連接BE交交CD于于F，連接，連接AF.ABAC，ABAD，AB平面平面ACD.而而AF面面ACD，ABAF.在在RtABF中，中，AEBF， 在在RtACD中中 ，AFCD， . 故猜想正確故猜想正確1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理主要包括歸納推理和類比推理數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能合情推理能幫助猜測和發現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向為證明提供思路與

24、方向2合情推理的過程概括為：合情推理的過程概括為： 【規律方法總結規律方法總結】3演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特殊情況的結論的推理方法，是由演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特殊情況的結論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數學問題的證明主要通過演一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數學問題的證明主要通過演繹推理來進行繹推理來進行4合情推理僅是合情推理僅是“合乎情理合乎情理”的推理，它得到的結論不一定真但合情推理常的推理，它得到的結論不一定真但合情推理常常幫助我們猜測和發現新的規律，為我們提供證明的思路和方法而演繹推常幫助我們猜測和發現新的規律，為我們提供證明

25、的思路和方法而演繹推理得到的結論一定正確理得到的結論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下前提和推理形式都正確的前提下)；5在數學中，證明命題的正確性都是使用演繹推理，而合情推理不能用作證明在數學中，證明命題的正確性都是使用演繹推理，而合情推理不能用作證明. 【例【例4】 在平面上在平面上，設設ha，hb，hc是三角形是三角形ABC三條邊上的高三條邊上的高，P為三角形內任一為三角形內任一 點點，P到相應三邊的距離分別為到相應三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結論我們可以得到結論： 把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結論把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結論_ 【錯因分析錯因分析】從

26、平面到空間的類比時缺乏對應特點的分析，在三角形中是其內一點到各從平面到空間的類比時缺乏對應特點的分析，在三角形中是其內一點到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1，類比到空間就應該是三棱錐內，類比到空間就應該是三棱錐內一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1.本題如果不考慮比值的本題如果不考慮比值的特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比等，從而得到一些錯誤的類特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比等，從而得到一些錯誤的類比結論比結論 【答題模板答題模板】解解：設設ha，hb，hc，hd分別是三棱錐分別是三棱錐A

27、BCD四個面上的高四個面上的高，P為三棱錐為三棱錐ABCD內任一點內任一點，P到相應四個面的距離分別為到相應四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是于是我們可以得到結論我們可以得到結論： 【狀元筆記狀元筆記】類比推理是一種由此及彼的合情推理，類比推理是一種由此及彼的合情推理，“合乎情理合乎情理”是這種推理的特征，一是這種推理的特征，一般的解答思路是進行對應的類比，如平面上的三角形對應空間的三棱錐般的解答思路是進行對應的類比，如平面上的三角形對應空間的三棱錐(四面四面體體)，平面上的面積對應于空間的體積等類比推理得到的結論不一定正確，平面上的面積對應于空間的體積等類比推理得到的結論不一定正確，故這類題目在得到類比的結論后，還要對類比結論的正確性作出證明，例如故這類題目在得到類比的結論后，還要對類比結論的正確性作出證明，例如本題中在三角形中的結論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據等本題中在三角形中的結論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據等體積法得到，這樣不但