1、第四節一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 三、相關變化率三、相關變化率 隱函數和參數方程求導 相關變化率 第二章 31xy一、隱函數的導數一、隱函數的導數若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數 ,由)(xfy 表示的函數 , 稱為顯函數顯函數 .例如例如,013 yx可確定顯函數03275xxyy可確定 y 是 x 的函數 ,但此隱函數不能顯化 .函數為隱函數隱函數 .則稱此隱函數求導方法求導方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(含導數 的方程)y0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化)(0

2、),(xyyyxF 確定了一元隱函數確定了一元隱函數設設得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu則則兩邊對兩邊對 x 求導，當遇到求導，當遇到 y 的函數的函數 f(y)時時)(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 記記xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(將求出的這些導數代入將求出的這些導數代入0 dxdu得到關于得到關于dxdy的代數方程，的代數方程，即即為為所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隱函數求二階導數，與上同理至于隱函數求二階導數，與上同理求導求導兩邊再對兩邊再對在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再

3、將再將),(yxgdxdy 例例. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導數.0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數的導數所確定的隱函數所確定的隱函數求由方程求由方程解解,求求導導方方程程兩兩邊邊對對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例. 求橢圓

4、191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點

5、顯然通過原點.例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入得得4110 yxy.16110 yxy補證反函數的求導法則補證反函數的求導法則為其反函數為其反函數為直接函數，為直接函數，設設)()(xfyyx 隱隱函函數數確確定定的的一一個個可可視視為為由由方方程程0)()( yxxfy 由隱函數的微分法則由隱函數的微分法則求導得求導得兩邊

6、對兩邊對方程方程xyx)( dxdyy )(1 )(1ydxdy 例例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設設 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例例5 求證拋物線求證拋物線ayx 上任一點的切線上任一點的切線在兩坐標軸上的截距之和等于在兩坐標軸上的截距之和等于a證證求導得求導得兩邊對兩邊對方程方程xa

7、yx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲線上任一點故曲線上任一點),(00yx處切線的斜率為處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 切線方程為切線方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在兩坐標軸上的截距之和為故在兩坐標軸上的截距之和為)(0000yxayaxa a 二、對數求導法二、對數求導法 有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數但直接求導有困難或很麻煩但直接求導有困難或很麻煩觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin2

8、3xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.目的是利用對數的性質簡化目的是利用對數的性質簡化求導運算。求導運算。-對數求導法對數求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形開方和冪指函數開方和冪指函數多個函數相乘、乘方、多個函數相乘、乘方、xvxu例例6 6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(

9、23 xxxexxxyx例例7 的導數的導數求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解這函數的定義域這函數的定義域 1, 32, 4 xxx4 x若若兩邊取對數得兩邊取對數得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對兩邊對 x 求導得求導得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊取對數得兩邊取對數得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 兩邊對兩邊對 x 求導得求導得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理同理32 x若若313121112

10、 xxxxyy例例8dxdyyxxy求求設設 解解兩邊取對數得兩邊取對數得yxxylnln 兩邊對兩邊對 x 求導得求導得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例例9dxdyaxaxaxynanaa求求設設)()()(2121 解解兩邊取對數得兩邊取對數得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊對兩邊對 x 求導得求導得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例例1010.),0(sinyxxyx 求求設設解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1

11、sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 例例.)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv vuuyvlnuuvv1按指數函數求導公式按冪函數求導公式注意注意:三、由參數方程所確定的

12、函數的導數三、由參數方程所確定的函數的導數.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去參數消去參數22)2(xty 42x xy21 問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy 參量函數參量函數, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得

13、dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二階可導二階可導若函數若函數 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :例例. 拋射體運動軌跡的參數方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)

14、(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy拋射體軌跡的參數方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達到最高點的時刻,2gvt 高度ygv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g例例1111處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin t

15、tcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例123222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設設證證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例例13設曲線設曲線由極坐標方程由極坐標方程r=r()所確定，試求該所確定，試求該曲線上任一點的切線斜率，并寫出過對數螺線曲線上任一點的切線斜率，并寫出過對數螺線上點上點處的切線的直角坐標方程處的切

16、線的直角坐標方程 er )2,(2 e解解由極坐標和直角坐標的變換關系知由極坐標和直角坐標的變換關系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 時時當當 er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy時時當當2 切線斜率為切線斜率為12 dxdyk), 0()2,(22 eeer所對應的直角坐標為所對應的直角坐標為上點上點而而 故切線的直角坐標方程為故切線的直角坐標方程為)0(2 xey 2 eyx 即即例例1414.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻

17、刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發發射射炮炮彈彈發發射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv 解解.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20tt

18、ttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關變化率四、相關變化率.,)()(變化率稱為相關變化率變化率稱為相關變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數都是可導函數及及設設dtdydtdxyxtyytxx 相關變化率問題相關變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對 t

19、 求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升 t 分鐘后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(思考題思考題: 當氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發點走來,當距離為500 m 時, 仰角的

20、增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求例例1515?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以解解0604000m則則水水庫庫內內水水量量為為水水深深為為設設時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 tdtdhhdtdV 38000,/288003小時小時米米 dtdV,20米時米時當

21、當 h小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率內容小結內容小結1. 隱函數求導法則直接對方程兩邊求導2. 對數求導法 :適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數3. 參數方程求導法極坐標方程求導4. 相關變化率問題列出依賴于 t 的相關變量關系式對 t 求導相關變化率之間的關系式轉化轉化求高階導數時,從低到高每次都用參數方程求導公式思考與練習思考與練習1. 求螺線r在對應于的點處的切線方程.解解: 化為參數方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當時對應點斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy22. 設,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數求導法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3. 設)(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導, 得0yxyyey再求導, 得2yey yxey)(02 y當0 x時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 作業作業P111: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 (2