1、 第四節第四節 勞斯勞斯-霍爾維茨穩定性判據霍爾維茨穩定性判據 穩定性是控制系統最重要的問題，也是對系統最起碼的要求?？刂葡到y在實際運行中，總會受到外界和內部一些因素的擾動，例如負載或能源的波動、環境條件的改變、系統參數的變化等。如果系統不穩定，當它受到擾動時，系統中各物理量就會偏離其平衡工作點，并隨時間推移而發散，即使擾動消失了，也不可能恢復原來的平衡狀態。因此，如何分析系統的穩定性并提出保證系統穩定的措施，是控制理論的基本任務之一。 常用的穩定性分析方法有： 1. 勞斯赫爾維茨（RouthHurwitz）判據 這是一種代數判據方法。它是根據系統特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定

2、系統的穩定性. 2. 根軌跡法 這是一種圖解求特征根的方法。它是根據系統開環傳遞函數以某一（或某些）參數為變量作出閉環系統的特征根在S平面的軌跡，從而全面了解閉環系統特征根隨該參數的變化情況。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判據 這是一種在復變函數理論基礎上建立起來的方法。它根據系統的開環頻率特性確定閉環系統的穩定性，同樣避免了求解閉環系統特征根的困難。這一方法在工程上是得到了比較廣泛的應用。 4. 李雅普諾夫方法 上述幾種方法主要適用于線性系統，而李雅普諾夫方法不僅適用于線性系統，更適用于非線性系統。該方法是根據李雅普諾夫函數的特征來決定系統的穩定性。一、穩定性的概念 穩定性的概念可以通過

3、圖3-31所示的方法加以說明?？紤]置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時，若將它稍微傾斜，外作用力撤消后，經過若干次擺動，它仍會返回到原來狀態。而當圓錐體尖部朝下放置時，由于只有一點能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的擾動后，它就會傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來的狀態了。 (a) 穩定的 (b) 不穩定的 圖3-31 圓錐體的穩定性 根據上述討論，可以將系統的穩定性定義為，系統在受到外作用力后，偏離了正常工作點，而當外作用力消失后，系統能夠返回到原來的工作點，則稱系統是穩定的。 瞬態響應項不外乎表現為衰減、臨界和發散這三種情況之一，它是決定系統穩定性的關鍵。由于輸入量只影響到穩態

4、響應項，并且兩者具有相同的特性，即如果輸入量r(t)是有界的： | r(t)|， t 0 則穩態響應項也必定是有界的。這說明對于系統穩定性的討論可以歸結為，系統在任何一個有界輸入的作用下，其輸出是否有界的問題。 一個穩定的系統定義為，在有界輸入的作用下，其輸出響應也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩定，又簡稱為BIBO穩定。 線性閉環系統的穩定性可以根據閉環極點在S平面內的位置予以確定。假如單輸入單輸出線性系統由下述的微分方程式來描述，即 (3.58) 則系統的穩定性由上式左端決定，或者說系統穩定性可按齊次微分方程式 (3.59) 來分析。這時，在任何初始條件下，若滿足 (3.60)( )(1

5、)(1)110()(1)(1)110nnnnmmmma caca ca cb rbrbrb r( )(1)(1)110nnnna caca ca c0(1)(1)lim ( )lim( )lim( )ntttc tctct0 則稱系統(3.58)是穩定的。 為了決定系統的穩定性，可求出式(3.59)的解。由數學分析知道，式(3.59)的特征方程式為 (3.61) 設上式有k個實根pi （i=1，2，k），r對共軛復數根(s ijw i ) (i=1，2，r)，k+2r=n，則齊次方程式(3.59)解的一般式為 (3.62) 式中系數Ai，Bi和Ci由初始條件決定。 從式(3.62)可知： (1

6、) 若pi 0，s i 0，則系統穩定的必要條件是上述系統特征方程的所有系數均為正數。 證明如下： 設式(3.63)有n個根，其中k個實根 p j (j=1，2，k)，r對復根s ijw i (i=1，2，r)，n = k+2r。則特征方程式可寫為1110( )nnnnD sa sasa sa0111022221211( )()()()()()nnnnnkrrD sa sasa saa spspspssswsw0 假如所有的根均在左半平面，即 p j 0，s i0 ，s i 0 。所以將各因子項相乘展開后，式（3.63）的所有系數都是正數。 根據這一原則，在判別系統的穩定性時，可首先檢查系統特

7、征方程的系數是否都為正數，假如有任何系數為負數或等于零（缺項），則系統就是不穩定的。但是，假若特征方程的所有系數均為正數，并不能肯定系統是穩定的，還要做進一步的判別。因為上述所說的原則只是系統穩定性的必要條件，而不是充分必要條件。 (二二) 勞斯判據勞斯判據 這是1877年由勞斯(Routh)提出的代數判據。 1. 若系統特征方程式 設an0，各項系數均為正數。 2. 按特征方程的系數列寫勞斯陣列表：1110nnnna sasa sa02411352123312341231101nnnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccsdddsfsg表中直至其余bi項均為零。2113142151

8、311111nnnnnnnnnnnnnnnaabaaaaabaaaaabaaa 67131121152131173141111nnnnnnaacbbbaacbbbaacbbb 按此規律一直計算到n -1行為止。在上述計算過程中，為了簡化數值運算，可將某一行中的各系數均乘一個正數，不會影響穩定性結論。 3. 考察陣列表第一列系數的符號。假若勞斯陣列表中第一列系數均為正數，則該系統是穩定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系數有負數，則第一列系數符號的改變次數等于在右半平面上根的個數。 例3.3 系統特征方程為試用勞斯判據判別系統的穩定性。 解 從系統特征方程看出，它的所有系數

9、均為正實數，滿足系統穩定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下432ssss6121160 1 12 6 6 11 0 61/6 6 455/61 0 6 第一列系數均為正實數，故系統穩定。事實上，從因式分解可將特征方程寫為其根為2，3， ，均具有負實部，所以系統穩定。(s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 13j220s1s2s3s4s例例3.4 已知系統特征方程式為 解 列寫勞斯陣列表 1 2 5 3 1 6 5 9 （各系數均已乘3） -11 15 （各系數均已乘5/2） 174 （各系數均已乘11） 15 勞斯陣列表第一列有負數，所以系統是不穩定的。由于第一列系數的符號改變了兩次(

10、511174)，所以，系統特征方程有兩個根的實部為正。54320sssss32565s4s3s2s1s0s 4. 兩種特殊情況 在勞斯陣列表的計算過程中，如果出現： (1) 勞斯陣列表中某一行的第一個系數為零，其余各系數不為零（或沒有其余項），這時可用一個很小的正數e來代替這個零，從而使勞斯陣列表可以繼續運算下去（否則下一行將出現）。如果e的上下兩個系數均為正數，則說明系統特征方程有一對虛根，系統處干臨界狀態；如果e的上下兩個系數的符號不同，則說明這里有一個符號變化過程，則系統不穩定，不穩定根的個數由符號變化次數決定。 例3.5 設系統特征方程為s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 解

11、解 勞斯陣列表為 由于e的上下兩個系數(2和2)符號相同，則說明有一對虛根存在。上述特征方程可因式分解為 (2) 若勞斯陣列表中某一行（設為第k行）的所有系數均為零，則說明在根平面內存在一些大小相等，并且關于原點對稱的根。在這種情況下可做如下處理： a. 利用第k1行的系數構成輔助多項式，它的次數總是偶數的； 1 1 2 2 e 22(1)()0ss20s1s2s3s b. 求輔助多項式對s的導數，將其系數構成新行，代替第k行；c. 繼續計算勞斯陣列表；d. 關于原點對稱的根可通過令輔助多項式等于零求得。例3.6 系統特征方程為 解 勞斯陣列表為 1 16 10 160 輔助多項式 10 +

12、160 0 0 求導數 20 0 構成新行 20s + 0 16032sss101616000s1s2s3s2s 從上表第一列可以看出，各系數均未變號，所以沒有特征根位于右半平面。由輔助多項式知道10s 2 + 160 = 0有一對共軛虛根為j4。 例3.7 特征方程式為 解 勞斯陣列表如下： 1 3 -4 2 6 -8 輔助多項式 2s 4 + 6s 2 - 8 0 0 0 求導數 8 12 0 構成新行 8s 3 + 12s 3 -8 100/3 -84240sssss5323680s1s2s3s4s5s 勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半平面。由輔助多項式： 可得s1, 2 =

13、，s3, 4 = j2，它們均關于原點對稱，其中一個根在S平面的右半平面。 (三) 勞斯判據的應用 應用勞斯判據不僅可以判別系統穩定不穩定，即系統的絕對穩定性，而且也可檢驗系統是否有一定的穩定裕量，即相對穩定性。另外勞斯判據還可用來分析系統參數對穩定性的影響和鑒別延滯系統的穩定性。2s 4 + 6s 2 - 8 = 01. 穩定裕量的檢驗 如圖3-33所示，令 (3.64) 即把虛軸左移s1 。將上式代入系統的特征方程式，得以z為變量的新特征方程式，然后再檢驗新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線s= s1 )的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數），則說系統具有穩定裕

14、量 s 1 。 s = z -s 1 圖3-33 穩定裕量s1 例例3.8 檢驗特征方程式是否有根在右半平面，并檢驗有幾個根在直線s = -的右邊。 解 勞斯陣列表為 2 13 10 4 12.2 4 第一列無符號改變，故沒有根在S平面右半平面。 再令s= z-1，代入特征方程式，得即 320sss21013432(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 23s2s1s0s 則新的勞斯陣列表 從表中可看出，第一列符號改變一次，故有一個根在直線s= -（即新座標虛軸）的右邊，因此穩定裕量不到1。 2. 分析系統參數對穩定性的影響 設一單位反饋控制系統如圖3-34所示，其閉環傳遞函數

15、為 系統的特征方程式為 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1( )( )( )(1)()BC sKGsR ss ssK5320sssK65圖3-34 求K的范圍 列寫勞斯陣列表： s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K K306 若要使系統穩定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數，即K 0， 30 - K 0所以0 K 25系統才能穩定。 3. 鑒別延滯系統的穩定性 勞斯判據適用于系統特征方程式是s的高階代數方程的場合。而包含有延滯環節的控制系統，其特征方程式帶有指數e-t s項。若應用勞斯判據來判別延滯系統的穩定性，則需要采用近似的方法處理。 例

16、如圖3-35是一個延滯系統，其閉環傳遞函數為T - 5 0 ， ， TT102505 ( )(1)sBsKeGss sKett特征方程式為 (3.65) 若采用解析法來分析系統，首先需將指數函數e-t s用有理函數去近似。常用的指數函數近似法有： (1) 用有限項簡單有理函數的乘積近似 (3.66)(1)ss sKet0圖3-35 延滯系統 1lim1nsnesntt 若取n為有限值，則 (3.67) 即用n個具有同一實數極點的有理函數的乘積來近似指數函數。式中n值的選取與s值有關，而s是指在分析問題時所感興趣的S平面中某一區域的值。例如在穩定性分析時，s的值就是對應于那些在S平面虛軸附近的特

17、征根所在的區域。只有選取的n值使式(3.67)在該區域內成立，則近似分析才是正確的。 現在若把式(3.67)代入式(3.65)，就可應用勞斯判據來判定系統穩定性或決定參數的穩定性范圍。但是，為了保證一定的準確度，n值往往較大，分析起來還是相當麻煩的。11nsesntt (2) 用有理分式近似 指數函數的泰勒級數為 (3.68) 由此可見，可用一個有理分式p(s)/q(s)來近似e-t s 。 表3.5所列出的派德(pade)近似式，其分子為m次，分母為n次，在一定的m值和n值下，與式(3.68)相同的項數為最多。關于階次m和n的選取，應在滿足近似準確度要求的前提下，盡可能少增加特征方程式的階次

18、。 因此，對式(3.65)所示的特征方程式，令 e-t s= p(s)/q(s) (3.69) 則 s(s+1)q(s)+Kp(s)= 0 (3.70) 23()()1sssestttt 2!3! 選擇q(s)的階次n比p(s)的階次m低2階，使之盡可能少增加特征方程式的次數。選n=1，m=3，派德近似式為 設t =秒，將上式代入式(3.65)得或23()()114ssssesttttt3211442!43!2311(1)(1)(1)44s ssKsss31042432()()(1)4KK ssK sK1153042444 應用勞斯判據可求出K的臨界值為1.13，而實際上K的準確值為1.14。

19、所以應用派德近似式可以不增加分析的復雜程度，而仍能保證有較好的近似性。 應用上述分析方法的缺點是：只有應用近似式后，才能確定需要的近似準確度，同時隨著近似程度的提高，多項式的階次也將隨之增加，分析會顯得愈加復雜。 從上述分析可以看出，因為系統具有延滯，大大降低了系統的穩定性（當t =時，則K為任何正值，系統均能穩定）。 三、赫爾維茨判據三、赫爾維茨判據 若系統特征方程式為 ansnan-1sn-1a1sa0= 0 赫爾維茨判據為：系統穩定的必要和充分條件是an0的情況下，對角線上所有子行列式（如表中橫豎線所隔）i (i=1，2，,n)均大于零。 赫爾維茨行列式由特征方程的系數按下述規則構成：主對角線上為特征方程式自an-1至a0的系數，每行以主對角線上的系數為準，若向左，系數的注腳號碼依次下降；若