1、第1講函數、基本初等函數的圖象與性質考情解讀1.高考對函數的三要素，函數的表示方法等內容的考查以基礎知識為主，難度中等偏下.2.函數圖象和性質是歷年高考的重要內容，也是熱點內容，對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數的圖象，通過數形結合的思想解決問題；對函數性質的考查，則主要是將單調性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數也有抽象函數常以選擇、填空題的形式出現，且常與新定義問題相結合，難度較大1函數的三要素定義域、值域及對應關系兩個函數當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一函數，定義域和對應關系相同的兩個函數是同一函數2函數的性質(1)單調性：單調性是函數在其定義域

2、上的局部性質利用定義證明函數的單調性時，規范步驟為取值、作差、判斷符號、下結論復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則(2)奇偶性：奇偶性是函數在定義域上的整體性質偶函數的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區間上具有相反的單調性；奇函數的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區間上具有相同的單調性(3)周期性：周期性是函數在定義域上的整體性質若函數在其定義域上滿足f(ax)f(x)(a不等于0)，則其一個周期T|a|.3函數的圖象對于函數的圖象要會作圖、識圖、用圖作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換4指數函數、對數函

3、數和冪函數的圖象和性質(1)指數函數yax(a>0，a1)與對數函數ylogax(a>0，a1)的圖象和性質，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關注兩函數圖象中的兩種情況的公共性質(2)冪函數yx的圖象和性質，分冪指數>0，<0兩種情況.熱點一函數的性質及應用例1(1)(2014·課標全國)已知偶函數f(x)在0，)單調遞減，f(2)0.若f(x1)>0，則x的取值范圍是_(2)設奇函數yf(x) (xR)，滿足對任意tR都有f(t)f(1t)，且x時，f(x)x2，則f(3)f的值等于_思維啟迪(1)利用數形結合，通過函數的性質解不等

4、式；(2)利用f(x)的性質和x0，時的解析式探求f(3)和f()的值答案(1)(1,3)(2)解析(1)f(x)是偶函數，圖象關于y軸對稱又f(2)0，且f(x)在0，)單調遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x1)>0，得2<x1<2，即1<x<3.(2)根據對任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，進而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函數yf(x)的一個周期為2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f0.思維升華函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題

5、中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題(1)(2013·重慶)已知函數f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)等于()A5 B1 C3 D4(2)已知函數f(x)x3x，對任意的m2,2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_答案(1)C(2)解析(1)lg(log210)lglg(lg 2)，由f(lg(log210)5，得alg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)451，則f(lg(lg 2)a(lg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)4143.(

6、2)易知f(x)為增函數又f(x)為奇函數，由f(mx2)f(x)<0知，f(mx2)<f(x)mx2<x，即mxx2<0，令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)<0恒成立，即，2<x<.熱點二函數的圖象例2(1)(2014·煙臺質檢)下列四個圖象可能是函數y圖象的是()(2)已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，設af()，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關系為()Ac>a>b Bc>b>aCa>c&g

7、t;b Db>a>c思維啟迪(1)可以利用函數的性質或特殊點，利用排除法確定圖象(2)考慮函數f(x)的單調性答案(1)C(2)D解析(1)函數的定義域為x|x1，其圖象可由y的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，y為奇函數，圖象關于原點對稱，所以，y的圖象關于點(1,0)成中心對稱可排除A，D.又x>0時，y>0，所以，B不正確，選C.(2)由于函數f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數yf(x)的圖象本身關于直線x1對稱，所以af()f()，當x2>x1>1時，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，等價于函數f(x)在(

8、1，)上單調遞減，所以b>a>c.選D.思維升華(1)作圖：常用描點法和圖象變換法圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換尤其注意yf(x)與yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互關系(2)識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系(3)用圖：圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究(1)函數f(x)1log2x與g(x)21x在同一直角坐標系中的圖象大致是()(2)(2013·課標全國)已知函數f(x)若

9、|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,0答案(1)C(2)D解析(1)f(x)1log2x的圖象過定點(1,1)，g(x)21x的圖象過定點(0,2)f(x)1log2x的圖象由ylog2x的圖象向上平移一個單位而得到，且f(x)1log2x為單調增函數，g(x)21x2×()x的圖象由y()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)21x為單調減函數A中，f(x)的圖象單調遞增，但過點(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調遞減，但過點(0,1)，不滿足；D中，兩個函數都是單調增函數，也不滿足選C.(2)函數y|f(x)|的圖象如圖當a0時，|f(x)

10、|ax顯然成立當a>0時，只需在x>0時，ln(x1)ax成立比較對數函數與一次函數yax的增長速度顯然不存在a>0使ln(x1)ax在x>0上恒成立當a<0時，只需在x<0時，x22xax成立即ax2成立，a2.綜上所述：2a0.故選D.熱點三基本初等函數的圖象及性質例3(1)若函數f(x)若f(a)>f(a)，則實數a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)(2)已知，且sin sin >0，則下面結論正確的是()A> B>0 C< D2>2思維啟迪(1)可利

11、用函數圖象或分類討論確定a的范圍；(2)構造函數f(x)xsin x，利用f(x)的單調性答案(1)C(2)D解析(1)方法一由題意作出yf(x)的圖象如圖顯然當a>1或1<a<0時，滿足f(a)>f(a)故選C.方法二對a分類討論：當a>0時，log2a>loga，即log2a>0，a>1.當a<0時，log(a)>log2(a)，即log2(a)<0，1<a<0，故選C.(2)設f(x)xsin x，x，yxcos xsin xcos x(xtan x)，當x，0時，y<0，f(x)為減函數，當x0，時，y

12、>0，f(x)為增函數，且函數f(x)為偶函數，又sin sin >0，sin >sin ，|>|，2>2.思維升華(1)指數函數、對數函數、冪函數和三角函數是中學階段所學的基本初等函數，是高考的必考內容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類討論、等價轉化等數學思想方法及其運算能力(2)比較數式大小問題，往往利用函數圖象或者函數的單調性(1)設<()b<()a<1，那么()Aaa<ab<ba Bab<aa<baCaa<ba<ab Dab<ba<aa(2)已知函數f(x)2x，函數g(x)則函

13、數g(x)的最小值是_答案(1)B(2)0解析(1)因為指數函數y()x在(，)上是遞減函數，所以由<()b<()a<1得0<a<b<1，所以0<<1.所以yax，ybx，y()x在(，)上都是遞減函數，從而ab<aa，()a<1得ba>aa，故ab<aa<ba，答案選B.(2)當x0時，g(x)f(x)2x為單調增函數，所以g(x)g(0)0；當x<0時，g(x)f(x)2x為單調減函數，所以g(x)>g(0)0，所以函數g(x)的最小值是0.1判斷函數單調性的常用方法(1)能畫出圖象的一般用數形結合法

14、去觀察(2)由基本初等函數通過加、減運算或復合而成的函數，常轉化為基本初等函數單調性的判斷問題(3)對于解析式較復雜的一般用導數法(4)對于抽象函數一般用定義法2函數奇偶性的應用函數的奇偶性反映了函數圖象的對稱性，是函數的整體特性利用函數的奇偶性可以把研究整個函數具有的性質問題轉化到只研究部分(一半)區間上，是簡化問題的一種途徑尤其注意偶函數f(x)的性質：f(|x|)f(x)3函數圖象的對稱性(1)若函數yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關于直線xa對稱提醒：函數yf(ax)與yf(ax)的圖象對稱軸為x0，并非直線xa.(2)若f(x)滿足f(ax

15、)f(bx)，則函數f(x)的圖象關于直線x對稱(3)若函數yf(x)滿足f(x)2bf(2ax)，則該函數圖象關于點(a，b)成中心對稱4二次函數、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關系，能用函數與方程、分類討論、數形結合思想來研究與“三個二次”有關的問題，高考對“三個二次”知識的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現在解答題中5指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響，解決與指、對數函數特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數a的范圍比較兩個對數的大小或解對數不等式或解對數方程時，一般是構造同底的對數函數，若底數不同，可運用換底公式化為同底的對數，

16、三數比較大小時，注意與0比較或與1比較6解決與本講有關的問題應注意函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化等思想的運用.真題感悟1(2014·安徽)若函數f(x)(xR)是周期為4的奇函數，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.答案解析f(x)是以4為周期的奇函數，fff，fff.當0x1時，f(x)x(1x)，f×.當1<x2時，f(x)sin x，fsin .又f(x)是奇函數，ff，ff.ff.2(2014·福建)若函數ylogax(a>0，且a1)的圖象如圖所示，則所給函數圖象正確的是()答案B解析由題意得ylogax(a>0，且a1

17、)的圖象過(3,1)點，可解得a3.選項A中，y3x()x，顯然圖象錯誤；選項B中，yx3，由冪函數圖象可知正確；選項C中，y(x)3x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，ylog3(x)的圖象與ylog3x的圖象關于y軸對稱，顯然不符，故選B.押題精練1已知函數f(x)e|ln x|，則函數yf(x1)的大致圖象為()答案A解析據已知關系式可得f(x)作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函數yf(x1)的圖象2已知函數f(x)|logx|，若m<n，有f(m)f(n)，則m3n的取值范圍是()A2，) B(2，)C4，) D(4，)答案D解析f(x)|logx|，若m<n，有f(

18、m)f(n)，logmlogn，mn1，0<m<1，n>1，m3nm在m(0,1)上單調遞減，當m1時，m3n4，m3n>4.3已知f(x)2x1，g(x)1x2，規定：當|f(x)|g(x)時，h(x)|f(x)|；當|f(x)|<g(x)時，h(x)g(x)，則h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，無最小值C有最小值1，無最大值D有最大值1，無最小值答案C解析由題意得，利用平移變化的知識畫出函數|f(x)|，g(x)的圖象如圖，而h(x)，故h(x)有最小值1，無最大值(推薦時間：40分鐘)一、選擇題1下列函數f(x)中，滿足“對任意的x1，x2(0

19、，)時，均有(x1x2)f(x1)f(x2)>0”的是()Af(x) Bf(x)x24x4Cf(x)2x Df(x)logx答案C解析函數f(x)滿足“對任意的x1，x2(0，)時，均有(x1x2)f(x1)f(x2)>0”等價于x1x2與f(x1)f(x2)的值的符號相同，即可化為>0，表示函數f(x)在(0，)上單調遞增，由此可得只有函數f(x)2x符合故選C.2(2014·浙江)在同一直角坐標系中，函數f(x)xa(x0)，g(x)logax的圖象可能是()答案D解析方法一分a>1,0<a<1兩種情形討論當a>1時，yxa與ylogax

20、均為增函數，但yxa遞增較快，排除C；當0<a<1時，yxa為增函數，ylogax為減函數，排除A.由于yxa遞增較慢，所以選D.方法二冪函數f(x)xa的圖象不過(0,1)點，排除A；B項中由對數函數f(x)logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數f(x)xa的圖象應是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D對；C項中由對數函數f(x)logax的圖象知a>1，而此時冪函數f(x)xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯3已知函數yf(x)是奇函數，當x>0時，f(x)lg x，則f的值等于()A. B Clg 2 Dlg 2答案D解析當x<0時，x

21、>0，則f(x)lg(x)又函數f(x)為奇函數，f(x)f(x)，所以當x<0時，f(x)lg(x)所以flg 2，ff(2)lg 2.4若a>b，則下列不等式成立的是()Aln a>ln b B0.3a>0.3bC D.>答案D解析因為a>b，而對數的真數為正數，所以ln a>ln b不一定成立；因為y0.3x是減函數，又a>b，則0.3a<0.3b，故B錯；因為y在(0，)是增函數，又a>b，則不一定成立，故C錯；y在(，)是增函數，又a>b，則，即>成立，選D.5設偶函數f(x)滿足f(x)2x4(x0)，則

22、x|f(x2)>0等于()Ax|x<2或x>4Bx|x<0或x>4Cx|x<0或x>6Dx|x<2或x>2答案B解析由于函數f(x)是偶函數，因此有f(|x|)f(x)，不等式f(x2)>0，即f(|x2|)>0，f(|x2|)2|x2|4>0，|x2|>2，即x2<2或x2>2，由此解得x<0或x>4.于是有x|f(x2)>0x|x<0或x>4，故選B.6使log2(x)<x1成立的x的取值范圍是()A(1,0) B1,0)C(2,0) D2,0)答案A解析在同一坐標

23、系內作出ylog2(x)，yx1的圖象，知滿足條件的x(1,0)，故選A.7下列函數中，與函數f(x)2x1的奇偶性、單調性均相同的是()Ayex Byln(x)Cyx2 Dytan x答案B解析因為函數f(x)2x1(2x)，可知函數f(x)在定義域上是奇函數，且單調遞增，yex為非奇非偶函數，yx2為偶函數，ytan x在定義域上是奇函數，但不單調遞增，只有yln(x)在定義域上是奇函數，且單調遞增，故選B.8(2013·天津)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間0，)上單調遞增若實數a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是()A1,2 B.C.

24、 D(0,2答案C解析由題意知a>0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函數，f(log2a)f(log2a)f(loga)f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又f(x)在0，)上遞增|log2a|1，1log2a1，a，選C.二、填空題9已知函數f(x)，則f(ln 3)_.答案e解析f(ln 3)f(ln 31)eln 31e，故填e.10已知函數f(x)x|xa|，若對任意的x1，x22，)，且x1x2，(x1x2)·f(x1)f(x2)>0恒成立，則實數a的取值范圍為_答案a|a2解析f(x)，由(x1x2)f(x1)f(x2)>0知，函數yf(x)在2，)單調遞增，當a0時，滿足題意，當a>0時，只需a2，即0<a2，綜上所述，實數a的取值范圍為a2.11設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_答案10解析