1、統計力學習題精選（國際單位制。參考積分表：; ,。參考常數為：, , 維恩定律的常數b=3(mmK)。）選選擇題 1在常溫下，由能量均分定理，一般固體的定容熱容量為 （ ）A, B, C, D, 不確定答案：C2下面不屬于經典極限條件表述的是 （ ）A, 1 B, 分子間的平均距離遠大于分子的熱平均波長C, D, 能級間距遠小于kT答案：D3下面敘述不正確的是 （ ）A，光子氣體和自由電子氣體熱容量的研究表明，對其微觀粒子的正確描述均是波粒二象性。B，在考察自由電子氣體對熱容量的貢獻時，能量均分定理仍然適用。C，固體熱容量的愛因斯坦模型相較于經典理論，其合理的部分在于引入了原子振動的能量是量子

2、化的概念。 D，麥克斯韋速度分布律只對平衡狀態下的理想氣體成立。得分答案：B4. 下列那種情況下，實際氣體一般將越來越偏離理想氣體，其狀態方程也越來越偏離理想氣體的狀態方程 （ ）A, 氣體越來越稀薄 B，溫度愈來愈低C, 分子的質量m愈大 D， 越來越小于1答案：B5. 由平衡熱輻射理論，目前發現的溫度為3K的宇宙背景輻射中光子的數密度接近為 （ ） A, B, C, D, 答案：C6. 按波長分布太陽輻射能的極大值在處，假設太陽是黑體，太陽表面的溫度為 （ ）A, 3000K B, 6000KC, 9000K D, 以上都不對。答案：B7由熱力學第一定律可以判斷理想氣體一微小過程中dQ、d

3、E、dA（其中dA表示系統對外做功）的正負,下面判斷中錯誤的是 （ ）(A) 等容升壓、等溫膨脹 、等壓膨脹中dQ0；(B) 等容升壓、等壓膨脹中dE0；(C) 等壓膨脹時dQ、dE、dA同為正；(D) 絕熱膨脹時dE0.答案：D8. 描述系統狀態的宏觀量一般可以分為廣延量和強度量，并且存在一一對應的共軛關系，下面給出的宏觀量組合中，相互共軛正確的是： （ ）A，內能與溫度，粒子數與化學勢B，比容與壓強，長度與張力C，熵與溫度，磁場強度與總磁矩D，體積與壓強，數密度與化學勢答案：C9下面關于熱力學第二定律的表述正確的是A孤立系統熵永遠是增加的B不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體C不可能從單一熱源

4、取熱使之完全變為有用的功D絕熱系統熵永不減少答案：D10當系統溫度趨向于絕對零度時，費米子不能完全“沉積”在基態是由于 ( )A，泡利不相容原理 B，全同性原理C，粒子間沒有相互作用D，費米氣體是簡并氣體答案：A11熱力學極限指： ( )A， N有限，V有限， B， ，V有限，有限C， ， D， ，有限答案：D12孤立系統指 （ ）A，與外界無物質和能量交換的系統B，與外界有能量交換但無物質交換的系統C，能量守衡的系統D， 恒溫系統答案：A13摩爾數相同的兩種理想氣體，一種是氦氣，一種是氫氣，都從相同的初態開始經等壓膨脹為原來體積的2倍，則兩種氣體 （ ）A， 對外做功相同，吸收的熱量不同.B

5、， 對外做功不同，吸收的熱量相同.C， 對外做功和吸收的熱量都不同.D， 對外做功和吸收的熱量都相同.答案：A14鹽水溶液稱為 （ ） A， 單元雙相系B，二元單相系C，二元雙相系D，一元單相系答案：B15在量子統計描述中，微觀粒子的量子態由一套量子數確定 （ ）A，量子數數目與宏觀系統的粒子個數相同B，量子數數目與相空間維數相同C，量子數數目正比于系統能量D，量子數數目取決于微觀粒子的空間自由度與內秉自由度之和答案：D16孤立系統處于平衡狀態時包含的微觀狀態數（ ）A，最大B，最小C，視不同物質系統而定D，與系統達到平衡態的過程有關答案：A17一級相變和二級相變發生時（ ）A，都有相變潛熱B

6、，都沒有相變潛熱C，一級相變有潛熱，二級相變無潛熱D，一級相變無潛熱，二級相變有潛熱答案：CpVO圖1 18如圖1所示的是理想氣體的兩個不同溫度的等溫過程，則 （ ） A ，過程的溫度高，過程的吸熱多.B ，過程的溫度高，過程的吸熱多.C ，過程的溫度高，過程的吸熱多.D ，過程的溫度高，過程的吸熱多.答案：C19 統計物理解決問題時需要知道 （ ）A，系統的微觀狀態B，系統的宏觀狀態C，系統的微觀狀態和系統的宏觀狀態D，宏觀狀態對應的可能微觀狀態的數目答案：D填空題 1 準靜態過程的體積功為W = ， 電極化功W = ，磁化功為W = 。答案：；（P為總電矩）；（m為總磁矩）2對單元閉系dH

7、= ，dF= .答案：dH= Tds+Vdp ，dF=-SdT-PdV ，3焓作為S，P的函數，是特性函數，已知H、S、P，則= ，F= ，G= 。答案： 4已知E為電場強度，是總電矩，試寫出麥氏關系式:（）P= .答案： 5 如右下圖，當一系統沿acb從a態到達b態時，吸熱80J，對外作功30J。則若系統沿adb從a態到b態，它對外作功為10J時，吸熱為 J。答案：60J6吉布斯函數G作為T、P的函數， 是特性函數。已知G、T、P，則 = ， F= ， H= 。答案： 7不可逆過程熱力學第二定律的積分表達式是 ，微分表達式是 ，答案： ， 8已知H為磁場強度，m是總磁矩，試寫出麥氏關系式（）

8、T ，答案： 9溫度的物理意義是 。答案：10設液相為相，氣相為相，則液滴形成的力學平衡條件是 。答案：11鹽的水溶液單相存在時， ；f 。答案：12在雙原子分子能量中，如果有五個平方項，則分子數為N的雙原子分子理想氣體的內能U= ;定壓熱容量CP= 答案：13負溫度狀態是 。 答案：14費米氣體中的化學勢是 。答案：15設液相為相，氣相為相，則液滴形成的力學平衡條件是 。答案：16熱力學平衡態下的強度量是系統微觀量在 分布下的 平均。 答案：最概然 統計 17根據朗道的連續相變理論，孤立系統總是從 趨向 演化，直到達到最 的平衡態。答案：有序 無序 無序18熱力學第零定律：兩物體同時與第三個

9、物體熱平衡時，這兩個物體彼此之間也熱平衡。 熱力學第一定律：在一個熱力學過程中，系統吸收的熱量等于系統內能的增加和系統對外所做的功。 熱力學第二定律：不可能從單一熱源取熱使之完全轉化為功而不引起其他的變化（不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他的變化）。 熱力學第三定律：不可能用有限的手續使系統的溫度達到絕對零度。19卡諾循環包括以下四個準靜態過程 。答案：（1）等溫過程（2）絕熱膨脹（3）等溫壓縮（4）絕熱壓縮20 卡諾熱機的效率為 。答案：簡答題和論述題1 試述玻爾茲曼氣體是非簡并氣體而玻色氣體和費米氣體是簡并氣體。參考答案：答案要點1 寫出按單粒子能級求和的配分函數2 討論非簡并

10、和簡并條件3 分析非簡并和簡并的物理意義。2試分別從模型和統計表達式的角度，比較理想氣體和光子氣體的異同。參考答案：理想氣體物理模型：粒子的能量描述： 態密度：服從量子相格統計的極限 粒子在態上的分布：服從玻爾茲曼分布光子氣體普朗克模型：粒子的能量描述：玻色粒子，能量服從德布羅意假設: 量子態密度：服從駐波條件 粒子在量子態上的分布：服從玻色分布（光子數不守恒，）3簡述平衡態統計力學中的最概然分布理論求熱力學量的基本思路。參考答案： 1，求能級和量子態分布2，求配分函數3，帶入基本熱力學函數統計表達式：內能，熵和物態方程4，由熱力學關系，確定其他所有平衡態性質。4什么是溫度？建立一種溫標需要包

11、含哪三要素？參考答案：溫度的熱力學定義：處于同一熱平衡的各個熱力學系統，必定有某一宏觀特征彼此相同，用于描述此宏觀特征的物理量-溫度建立溫標三要素：選擇測溫物質的測溫屬性來標志溫度，選定固定點，對測溫屬性隨溫度變化關系作出規定。5 什么是熵增原理？參考答案：熵增原理：系統經可逆絕熱過程后熵不變，經不可逆絕熱過程后熵增加，在絕熱條件下熵減少的過程是不可能實現的。6什么是近獨立子系？近獨立子系有哪三種分布？他們個適用于什么樣的系統？寫出相應的分布律參考答案：如果將一個系統分成許多部分（子系），當子系間相互作用的能量與子系本身的能量相比是可以忽略不計時，這樣的子系叫近獨立子系。對費米系統有費米-狄拉

12、克分布對玻色系統有玻色-愛因斯坦分布對粒子可以分辨的系統有玻爾茲曼分布7什么是能量均分定理？ 參考答案：能量均分定理是說，當系統處于平衡態時，它的能量表達式中每一個平方項的平均值等于KT/2。8試述系綜及宏觀熱力學量可用相應微觀量的系綜平均計算。 參考答案：計算題1試證明在體積V內，在到的能量范圍內，非相對論性三維自由粒子的量子態數為： 2 證明相變是一摩爾物質的變化為（L為相變潛熱）。如果其中一相為氣體，且可視為理想氣體，那么上式可以簡化為。參考答案：義相變是在等溫等壓下化學勢保持不變的過程，所以根據克拉珀龍方程： 有若一相為氣體（第二相），則若氣體可視為理想氣體，則所以3（1）利用歐拉齊次

13、函數定理證明 式中G為系統吉布斯函數，是第 i個組員的化學勢， 是第 i個組員的摩爾數。 （2）由此證明參考答案：（1）根據歐拉齊次函數定理，若為的n次齊次式，則G為系統各組分摩爾數 的一次齊次式，所以式中 為第i個組分的化學勢。（2）4試證明，單位時間碰到單位面積器壁上的，理想氣體中速率介于到之間的分子數為： 5（1）簡述焦耳-湯母孫多孔塞實驗的主要內容。 （2）寫出焦耳-湯母孫系數 的定義式。 （3）證明參考答案：（1）焦耳-湯姆孫多孔塞實驗是在一裝有多孔塞的管道中，讓氣體由一端經過多孔塞流入另一端，觀察氣體溫度隨壓強的變化。 （2） （3）由TdS方程和焓的微分表達式有 對等焓過程知 利

14、用三輪換關系，既有 6一塊晶體包含個原子，原子的自旋磁矩為，被置于均勻磁場中，這些原子可取三個取向：平行、垂直和反平行磁場。求（a）晶體的配分函數（b）晶體的磁矩（c）高溫弱場和低溫強場的磁矩參考答案：（a）將原子在外場中能量看作是內能一部分，晶體配分函數為：（b）從熱力學方程晶體磁矩：（c）高溫弱場時即晶體磁矩M按（3）式子求極限：當低溫強場時，此時7對某固體進行測量得， ， 其中A，B為常數，求該固體的物態方程。參考答案： 設：VV(P、T)法一：由保持P不變，分離變量積分得 V= （） 保持T不變，上式對P求偏導，得 代入（）式得 V=AT2-BPT+C。 法二：由保持T不變，分離變量積

15、分得 V= （） 保持P不變，上式對T求偏導得 代入（）式得 V=-BTP+ AT2+C8銅棒的一端與127的無窮大熱源接觸，另一端與27的無窮大熱源接觸。當棒在穩定導熱時，傳導的熱量為5016J，試求：棒和熱源的總熵變。 參考答案： 9平衡熱輻射是由光子組成的理想玻色氣體，試計算其ln(其中為巨配分函數)，并進而計算內能和壓強。101mol理想氣體分別通過下述三個可逆過程 (1) 先通過等壓過程再通過等溫過程； (2) 先通過等容過程再通過等溫過程； (3) 先通過等溫過程再通過絕熱過程。 從相同的初態到相同的未態，求體系的熵的變化。標準答案：PV(1): (2) (3) =11一均勻桿的兩

16、端分別與溫度為和的大熱源接觸并達到穩定態，今取去與桿接觸的熱源，經過一段時間后桿趨于平衡態，設桿的質量為m,定壓比熱容為常數，求這一過程熵的變化是多少？標準答案： 取一小段dx，則因m=(S是桿的截面積)，dm=，dx小段桿的熵變為 整根桿的熵變為 =12 假設一容器內盛有理想氣體,容器內有一活門把它分成兩部分，每部分的體積分別為和；內含理想氣體的物質的量分別為和，兩邊溫度相等。若，則活門開啟后，將出現理想氣體的擴散。求理想氣體擴散前后熵的變化。標準答案：活門開啟，氣體擴散并最后達到平衡態后的總熵是 。擴散過程前后的熵的變化是 利用不等式 可得 以上說明擴散過程是個絕熱的不可逆過程，滿足熵增加

17、原理。13試求理想氣體的體脹系數，壓強系數盧和等溫壓縮系數T .標準答案：已知理想氣體的物態方程由此易得： 14證明任何一種具有兩個獨立參量T，p的物質，其物態方程可由實驗測得的體脹系數及等溫壓縮系數T，根據下述積分求得： 如果，試求物態方程 標準答案：以T，p為自變量，物質的物態方程為V=V（T，P），其全微分為 全式除以V，有根據體脹系數a和等溫壓縮系統定義，可將上式改為：上式是以T，P為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分有： 若，可表為從（）積分到（），再積分到（T，P），相應地體積由最終變到V，有 即(常量)，或15 在0和l pn下，測得一銅塊的體脹系數和等溫壓縮系數分別為，

18、=4.8510-5K-1和T =7.810-7pn-1和T可近似看作常量今使銅塊加熱至10問： (a) 壓強要增加多少pn才能使銅塊的體積維持不變?(b) 若壓強增加100pn，銅塊的體積改變多少?標準答案： (a)： 如系統的體積不變，dp與dT的關系為。將上式積分可得：將所給數據代入可得：(b)：由將所給數據代入可得：16求證：(i) ； (ii) 標準答案：焓的全微分為令=0，得內能的全微分為令=0，得17已知,求證 標準答案：對復合函數求偏導數，有如果=O，即有=0式（2）也可以用雅可比行列式證明： = = =18試證明一個均勻物體在準靜態等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積

19、的增減標準答案：熱力學偏導數 描述等壓過程中熵隨體積的變化率，用描述等壓下溫度隨體積的變化率。為求出這兩個偏導數的關系，對復合函數 （1）求偏導數，有 （2）因為CP0，T0，所以的正負取決于 的正負式（2）也可以用雅可比行列式證明： = = =19求證：標準答案：自由能是以為自變量的特性函數，求對的偏導數，有 （1）但自由能的全微分可得=， =- （2）代入（1），即有-=-T20兩相共存時，兩相系統的定壓熱容量Cp=T，體脹系數和等溫壓縮系數均趨于無窮，試加以說明標準答案： 我們知道，兩相平衡共存時，兩相的溫度，壓強和化學式必須相等。如果在平衡壓強下，令兩相系統準靜態地從外界吸取熱量，物質

20、將從比熵較低的相準靜態地轉移到比熵較高的相，過程中溫度保持為平衡溫度不變。兩相系統吸取熱量而溫度不變表明他的熱容量 CP趨于無窮。在上述過程中兩相系統的體積也將變化而溫度不變，說明兩相系統的體脹系數 也趨于無窮。如果在平衡溫度下，以略高于平衡壓強的壓強準靜態地施加于,物質將準靜態地從比容較高的相轉移到比容較低的相，使兩相系統的體積改變。無窮小的壓強導致有限的體積變化說明，兩相系統的等溫壓縮系數也趨于無窮。21試證明在相變中物質摩爾內能的變化為。 如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡 標準答案： 發生相變物質由一相轉變到另一相時，其摩爾內能 摩爾焓 和摩爾體積 的改變滿足

21、平衡相變是在確定的溫度和壓強下發生的，相變中摩爾焓的變化等于物質在相變過程中吸收的熱量，即相變潛熱L：克拉伯龍方程給出即將（2）和（4）代入（1），即有如果一相是氣體，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，其摩爾體積遠小于氣相的摩爾體積，則克拉伯龍方程簡化為式（5）簡化為22試從式出發，以p、S為自變量，證明從而證明：標準答案：（）證明了系統的熵，溫度，壓強和體積對其平均值有偏離的概率為 由于簡單系統只有兩個獨立變量，上式四個偏離變量中只有兩個可以獨立改變。如果選和為自變量，利用 可以將式（1）表示為 上式指出系統熵對其平均值具有偏差，壓強具有偏差的概率可以分解為依賴于和的兩個獨立的高斯分布的乘積，

22、將上式與高斯分布的標準形式比較，知24利用式求得的、和證明：標準答案：式（）給出 以為自變量，可將S展開為 以乘式乘式（2），求平均并利用（1），有 以乘式（2），同理得 以為自變量，可將P展開為 以乘式（5），求平均并利用（1），有以乘式（2），同理得25試證明，對于磁介質，有并據此證明 ， ， 標準答案：式（）給出簡單系統溫度和體積具有張落T，V的概率為 根據式（）磁介質與簡單系統熱力學量有如下的對應關 因此，磁介溫度有張落T，介質磁距有漲落的概率為 將上式與附錄（B.29）比較，知 26證明：在體積V內，在到的能量范圍內，三維自由粒子的量子態數為。（習題6.1）標準答案： （1）進行變量

23、代換：，代入（1）式對積分 證畢。27試證明，對于一維自由粒子，在長度L內，在到的能量范圍內，量子態數為。（習題6.2）標準答案：一維自由粒子 ， （1）除外，是二度簡并的：進行變量代換，考慮到0的能級簡并度：證明原式成立，證畢。（，由（1）式，有0）28試證明,對于二維自由粒子,在面積內,在到的能量范圍內,量子態數為。（習題6.3）標準答案：二維自由粒子，用極坐標，面元為：把P變為：對積分：證明了原式成立。證畢。29在極端相對論情況下，。試求在體積V內，在到的能量范圍內三維粒子的量子態數。（習題6.4）標準答案：解：自由粒子處在體積V中，又處在P-P+dP球殼中的量子態數： （1）用變量代換

24、，代入上式：。答：粒子處在能量范圍內的三維粒子的量子態數為：30試根據公式證明，對于非相對論粒子，有上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立。（習題7.1）標準答案：證明：，則由，考慮，則 成立。證畢。31試根據公式證明，對于相對論粒子有上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立。（習題7.2）標準答案：對極端相對論粒子由，考慮，則成立。證畢。32氣體以恒定的速度沿z軸方向作整體運動，試證明，在平衡態下分子動量的最概然分布為： （習題7.8）證明：我們推導的分子動量的最概然分布是在系統的靜止坐標系中進行的。所以我們在系統上固著一坐標系，則分子的最概然分布為 （1）現在我們在靜

25、止坐標系上觀察，氣體以恒定速度沿軸作整體運動。令則 (2)兩坐標系下動量的微分相等，,將（2）式中各量代入（1）式，得分子在靜止坐標系中的最概然分布為：原式成立。證畢。33氣體以恒定速度v0沿著z軸方向作整體運動，求分子的平均平動能量。（習題7.9）解：由7.8題知，當氣體以恒定速度以沿z軸方向作整體運動時分子動量的最概然分布滿足總分子數為的守恒條件代回最概然分布，麥氏動量概率分布一個分子的平動能量為：一個分子的平均能量為： (4)以上積分有三種類型（1）（2）（3） （5）所以一個分子的平動能量為34表明活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作二維氣體，試寫出在二維氣體中分子的速度分布

26、和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。（習題7.10）解：考慮處于長度為的二維容器中自由電子氣的運動狀態。將周期性邊界用于二維自由電子氣，該粒子在兩個方向動量的可能值為，0， ，0， 在宏觀尺度下，粒子的動量值和能量值是準連續的，這時往往考慮在面積內，動量在到，到的動量范圍內的自由粒子量子態數。在到的范圍內可能的數目為在到的范圍內可能的數目為在面積內，在到，到的動量范圍粒子量子態數為此即二維自由電子氣的簡并度，由玻耳茲曼分布，處在面積內，在的動量范圍內分子數為參數由總分子數決定，利用，得，代回（1），得質心動量在范圍內的分子數為如果用速度作變量，作代換，可得在范圍內的分子數為此即二

27、維自由電子氣的麥氏速度分布。對應的麥氏速度分布函數滿足條件在速度空間的平面極坐標中，麥氏速度分布律兩邊完成速度空間所有方向的積分，此即在單位面積內，速率在范圍內的分子數，稱為麥氏速率分布律 （3）函數稱為速率分布函數，滿足條件麥氏速度概率分布：，麥氏速度概率密度分布：，麥氏速率概率分布：麥氏速率概率密度分布：；最可幾速率：使速率分布函數取極大值的速率。對關于求導，令取，得最可幾速率平均速率：利用積分，則方均根率：利用積分，則方均根率滿足，于是，或。35試根據麥氏速度分布律證明，速度和平動能量的漲落為：答案：（習題712）（1）用麥氏速率概率分布律： （1） （2） （3） （4）將（3）與（4

28、）代入（2）得：(2)方法一將（1）式中的變量v變成；則 （5） （6）將（5）、（6）代入（1）得： （7） （8）化簡（7）式為：，令：，則： （9） （10）將（9）、（10）、代入（8），得：。證明了第二次成立，證畢。方法二由，利用，則 所以總結求能量平均值的方法有（1）利用能量概率分布（2）利用速率概率分布（3）利用動量概率分布36計算溫度為T時，在體積V內光子氣體的平均總光子數，并據此估算 1，溫度為1000K的平衡輻射總光子的數密度； 2，溫度為3K的宇宙背景輻射中的光子的數密度。答案：（習題8-7）光子屬于極端相對論粒子，由習題6-4的結果，光子在體積內，在到的能量范圍內的量子

29、態數為，光子在體積內，在到的頻率范圍內的量子態數為溫度為時平均光子數為總光子數為，引入變量，上式化成，或在下，有在下，有37試根據普朗克公式求平衡輻射內密度按波長的分布：并據此證明，使輻射內能密度取極大值的波長滿足方程：這個方程的數值解為x=4.9651。因此， 隨溫度增加向短波方向移動。答案：（習題8-8）利用，有，代入，有引入變量，使取極大的波長由下式確定令解最后的超越方程，兩條曲線相交點在，得使輻射場的內能密度取極大值的為定值，這時與溫度成反比，稱為維恩位移定律。38按波長分布太陽輻射能的極大值在 處，假設太陽是黑體，求太陽的表面溫度。答案：（習題8-9）由上題所得，假設太陽是黑體，太陽

30、表面溫度近似為39試根據熱力學公式及光子氣體的熱容量，求光子氣體的熵。（習題8-10）)給出光子氣體的內能為熱容量根據熱力學均勻系統熵的積分表達式選擇等容路徑由到，即有其中已取。40（習題8-13）解：對，代入為強簡并氣體。對，代入為非簡并氣體。41銀的導電電子數密度為，試求0K時電子氣體的費米能級，費米速率和兼并壓。（習題8-14）解：將所給參數代入=42試求在極端相對論條件下，自由電子氣體在0K時的費米能量，內能和簡并壓。(習題8-19)解：能量動量關系態密度時自由電子氣體的總數費米能量時自由電子氣體的內能自由電子氣體的壓強43假設自由電子在二維平面上運動，面密度為n，試求0K時二維電子氣

31、體的費米能量，內能和簡并壓。答案：(習題8-20)解：根據習題6-3的結果，在面積內，在到的能量范圍內二維自由電子的量子態數為（其中2為自旋因子）考慮到下自由電子的分布費米能量由下式確定：從中解出下二維自由電子的內能利用二維自由電子內能與壓強的關系，下二維自由電子的壓強為44試根據熱力學公式，求低溫下金屬中自由電子氣體的熵。答案：（習題8-22）解：由()給出低溫下自由電子氣體的定容熱容量根據熱力學均勻系統熵的積分表達式，選擇等容路徑由到，即有其中已取。45 證明在正則分布中熵可表為其中是系統處在 態的概率（例題）解證: 多粒子配分函數由(1)知代至(2)得;于是46 試用正則分布求單原子分子

32、理想氣體的物態方程，內能和熵（例題2）解證：符號符號利用式（）類似求47體積內盛有兩種組元的單原子混合理想氣體，其摩爾數為和，溫度為。試由正則分布導出混合理想氣體的物態方程，內能和熵（例題3）解證：48 利用范氏氣體的配分函數，求內能和熵解證：一般認為較小49 被吸附在液體表面的分子形成一種二維氣體，考慮分子間的相互作用，試用正則分布證明，二維氣體的物態方程為其中為液體的面積，為兩分子的互作用勢解證：二維氣體其中定義變量代換據式（）50 仿照三維固體的地拜理論，計算長度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內能和熱容量解證：一維線形原子鏈共有個振動，存在最大頻率令高溫近似低溫近似其中51 仿照三維固體

33、的德拜理論，計算長度為L的線形原子鏈（一維晶體）在高溫和低溫下的內能和熱容量。解證：二維：面積S內，波矢范圍內輻射場振動自由度為 橫波按頻率分布為 縱波按頻率分布為 令低溫近似 高溫近似 計算略52 利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下的配分函數的對數，從而求內能和熵。解證：式（）德拜頻譜 對于振動 計算略高溫近似， ， （計算略）53在容器中儲存有種惰性單原子氣體組成的混合系統，系統的溫度為。氣體1有個分子，氣體2有個分子，氣體有個分子（a）通過計算系統的配分函數求系統的狀態方程（b）系統的總壓強與第種氣體的分壓（即第種氣體在相同溫度下占有整個體積時的壓強）的關系如何？參考答案：假定所有這K種惰性單原子氣體組成的系統是理想氣體系統且服從M-B分布，多種不同的氣體之間是近獨立的，非定域的(a) 故第i種氣體分子的配分函數總的配分函數：所以我們有系統總的配分函數：由式（1）求 系統狀態方程(b)第種i氣體壓強：與 相比可知54假定系統由個相同的獨立結點對組成（線性聚合體中有這種情況），每一結點對包括A結點和B結點，A，B結點分別最多只能被一個分子占有，A結點上吸附一個分子時，其能量為，B結點上吸附一個分子時，