1、 振動概念（vibration）物體經過它的靜平衡位置所做的往復運動。或者說某一物理量在其平衡位置或平衡值附近來回的變動。 振動首先是一種運動。比如：地殼的運動、交流電、電磁波、潮水的漲落等。2 機械振動的研究對象和分類機械振動的研究對象和分類2.1 2.1 研究對象研究對象“振動系統振動系統”第一章第一章 緒緒 論論 系統的定義：系統的定義： 由若干個元素構成的有機組合，個元素間存在著相互作用、互相影響的關系。 機械系統的定義：機械系統的定義： 由若干個機械元件組成的系統。具體的講，是由運動副連接的一些構件所組成的能完成一定運動的機械裝置。第一章第一章 緒緒 論論2.2 2.2 機械系統研究

2、內容機械系統研究內容 系統（系統（S） 輸入（X） 輸出（Y）激勵響應響應第一章第一章 緒緒 論論系統的研究內容包括三個方面：系統的研究內容包括三個方面：1.已知系統的輸入（X）和系統（S）,求輸出(Y)系統的動力響應分析，或叫動態分析。2.已知系統的輸入（X）和輸出(Y)，求系統（S）系統設計；系統識別或系統辨識。3.已知系統的系統（S）和輸出(Y)，求輸入（X）環境預測。 自由振動：給圖中質量塊一個激勵，給一個初始位移后，質量塊就開始振下去。 強迫振動：用一個電機作元件，給系統一個持續激勵，系統會在電機的強制激勵下振動。 自激振動：揚聲器的鳴叫聲。3 3 機械振動的分類機械振動的分類3.1

3、 3.1 按輸入分按輸入分mk第一章第一章 緒緒 論論 簡諧振動：符合正弦（預選）規律的振動。 周期振動：x（t）x（t+kT）， 瞬態振動：風鈴隨風而動；地震 隨機振動：不能用當前的現象預測未來，但是符合統計學規律，可以用統計的方法來研究。如，煙的運動；紅旗的飄動。3.2 3.2 按輸出分按輸出分第一章第一章 緒緒 論論 自由度：用來描述一個物體確定運動的獨立坐標。 單自由度系統： 多自由度系統： 可以是兩個、三個甚至是n個自由度系統，n個獨立坐標，n維空間。 連續系統：用偏微分方程描述3.3 3.3 按自由度劃分按自由度劃分 ),.,(vdxtHH可用微分方程描述第一章第一章 緒緒 論論

4、線性振動 非線性振動:二階常系數線性齊次）(0kxxm 3.4 3.4 按微分方程分按微分方程分單擺振動方程）(0sinxkxm 第一章第一章 緒緒 論論4 4 主要參考文獻主要參考文獻 書書+期刊期刊書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、 李有堂、張義民等李有堂、張義民等期刊：期刊：噪聲與振動噪聲與振動 （sound and vibration）第一章第一章 緒緒 論論2.1 一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統 2.3 有線性阻尼有線性阻尼自由振動自由振動2.4 簡諧激勵力作用下簡諧激勵力作用下的的強迫振動強迫振動 2.8

5、隔振原理隔振原理2.5 周期激勵下的響應周期激勵下的響應2.6 任意激勵下的響應任意激勵下的響應2.7 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼2.2 固有頻率的計算固有頻率的計算 當物體沿當物體沿x x軸作直線運動時，慣性的大小可用質量來表軸作直線運動時，慣性的大小可用質量來表示。根據牛頓第二定律，作用在物體上的外力示。根據牛頓第二定律，作用在物體上的外力F F，物體由此，物體由此產生的加速度和物體質量產生的加速度和物體質量m m之間有下述關系：之間有下述關系：) 1-(122dtxdmF 構成機械振動系統的基本元素有慣性、恢復性和阻尼。構成機械振動系統的基本元素有慣性、恢復性和阻尼。慣性就

6、是能使物體當前運動持續下去的性質。恢復性就是能慣性就是能使物體當前運動持續下去的性質。恢復性就是能使物體位置恢復到平衡狀態的性質。阻尼就是阻礙物體運動使物體位置恢復到平衡狀態的性質。阻尼就是阻礙物體運動的性質。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復性的性質。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。構成機械振動系統的基本元素構成機械振動系統的基本元素質量的單位為質量的單位為kgkg。阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的強弱，通常是速度反映阻尼的強弱，通常是速度x的函數，阻尼力的函數，阻尼力可表示為可表示為 這種阻尼

7、稱為粘性阻尼。比例常數這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數c稱為粘性阻尼系稱為粘性阻尼系數，單位數，單位N.s/m。 )31 ( xcFd 典型恢復性元件是彈簧，彈簧產生的恢復力是該元件位典型恢復性元件是彈簧，彈簧產生的恢復力是該元件位移的函數，即移的函數，即Fs=Fs（x）。當。當Fs（x）是線性函數時，有：是線性函數時，有： Fs=kx (1-2) k稱為彈簧常數或彈簧的剛度系數。單位為稱為彈簧常數或彈簧的剛度系數。單位為N/m。質量、彈簧和阻尼器質量、彈簧和阻尼器是構成機械振動系統是構成機械振動系統物理模型物理模型的的三個基本元件。三個基本元件。 自由度與廣義坐標自由度與廣義坐標 自由度數自由

8、度數: 完全確定系統運動所需的獨立坐標數目稱為自由度數。完全確定系統運動所需的獨立坐標數目稱為自由度數。 剛體在空間有剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉動，個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉動，如飛機、輪船；如飛機、輪船； 質點在空間有質點在空間有3個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球；個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球； 質點在平面有質點在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單自由度。自由度。質量元件質量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件 xmFm 平動：平動：力、質

9、量和加速度的單位分別力、質量和加速度的單位分別為為N、kg和和m / s 2。 JTm轉動：轉動：力矩、轉動慣量和角加速度的力矩、轉動慣量和角加速度的單位分別為單位分別為Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 離散系統的組成離散系統的組成2.1 離散系統的組成離散系統的組成彈性元件彈性元件 無質量、不耗能，儲存勢能的元件無質量、不耗能，儲存勢能的元件 xkFs平動：平動：力、剛度和位移的單位分別為力、剛度和位移的單位分別為N、N / m和和m 。tskT 轉動：轉動：力矩、扭轉剛度和角位移的單力矩、扭轉剛度和角位移的單位分別為位分別為Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元

10、件 無質量、無彈性、線性耗能元件無質量、無彈性、線性耗能元件 xcFd平動：平動：力、阻尼系數和速度的單位分力、阻尼系數和速度的單位分別為別為N、N s/ m和和m/s。tdcT 轉動：轉動：力矩、扭轉阻尼系數和角速度力矩、扭轉阻尼系數和角速度的單位分別為的單位分別為Nm、 Nms / rad和和rad/s 2.1 離散系統的組成離散系統的組成等效彈簧剛度等效彈簧剛度 斜向布置的彈簧斜向布置的彈簧 2ecos/kxFkxx串聯彈簧串聯彈簧 并聯彈簧并聯彈簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并聯系統并聯系統串聯系統串聯系統等效阻尼系數等效阻尼系數 傳動系統的等效剛

11、度傳動系統的等效剛度 21 te1 t/ikk傳動系統的等效阻尼傳動系統的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效質量等效質量 傳動系統的等效慣量傳動系統的等效慣量 單自由度系統的類型tQkxxrxmtQkxxmkxxrxmkxxmsinsin0000 單自由度無阻尼自由振動單自由度無阻尼自由振動單自由度有粘性阻尼的自由振動單自由度有粘性阻尼的自由振動單自由度無阻尼受迫振動單自由度無阻尼受迫振動單自由度有粘性阻尼的受迫振動單自由度有粘性阻尼的受迫振動機機 械械 振振 動動 學學例：如右圖，舍振動體的例：如右圖，舍振動體的質量為質量為m m，它所受的重，它所受的重力為力為W

12、W，彈簧剛度為，彈簧剛度為k,k,彈簧掛上質量塊的靜伸彈簧掛上質量塊的靜伸成量為成量為j j，此時系統，此時系統處于靜平衡狀態，平衡處于靜平衡狀態，平衡位置為位置為0-00-0，求給系統，求給系統一個初始擾動后系統的一個初始擾動后系統的振動方程。振動方程。模型的建立模型的建立機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統無阻尼自由振動：無阻尼自由振動： 振動系統受到初始擾動后，不再受到振動系統受到初始擾動后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。靜平衡振動系統產生彈性恢復力彈力重力靜平衡破壞初始擾動機機 械械 振振

13、 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統解：解：取靜平衡位置為坐取靜平衡位置為坐標原點，以標原點，以X軸為系統軸為系統的坐標軸，向下為正的坐標軸，向下為正方向建立坐標系。方向建立坐標系。 以以x x表示質量塊的受擾表示質量塊的受擾后的位移，當質量塊后的位移，當質量塊離開平衡位置時，在離開平衡位置時，在質量塊上作用的力有質量塊上作用的力有：XTWmgkxkTjW重力彈性恢復力x 由于受力不平衡，質量塊產生加速度由于受力不平衡，質量塊產生加速度機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統根據牛頓第二定律建立振動微分方程：xmxkwj )(

14、0,022xxmkkxxmnn ：則上式可寫成令即叫做系統的固有頻率2n二階齊次常系數微分方程，stex 機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統扭轉振動問題扭轉振動問題例1-2： 右圖所示，垂直軸的下端右圖所示，垂直軸的下端固定一個水平圓盤。已知固定一個水平圓盤。已知軸長為軸長為l ,l ,直徑為直徑為d,d,剪切剪切彈性模量為彈性模量為G,G,圓盤的轉動圓盤的轉動慣量為慣量為I I，在盤上施加初，在盤上施加初始擾動后（如力偶），系始擾動后（如力偶），系統做自由扭轉振動。若不統做自由扭轉振動。若不計阻尼影響，振動將永遠計阻尼影響，振動將永遠持續下去。求

15、系統的振動持續下去。求系統的振動方程。方程。機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統由材料力學知：扭轉剛度為：324Gdk)/(J0JIsradkkkn系統固有角頻率令即扭轉振動微分方程為：建立如圖所示坐標系， 0)1(212nnsHzIkf 代入微分方程得到：將系統振動的固有頻率：機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統典型的單自由度自由振動單擺例1-3：如左圖所示，求t時刻剛體的角度是多少？機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統解： 以靜平衡位置為原點，以以靜平衡位置為

16、原點，以角增角增加的方向為正方向建立坐標系。加的方向為正方向建立坐標系。 隔離物體，進行受力分析。隔離物體，進行受力分析。 使用牛頓定律建立振動模型：使用牛頓定律建立振動模型：a)力矩形式：力矩形式：0sin0sinsinmglJmglJJmgl 作為擺動時，即b)力形式：力形式：？機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統txtxtxxbxbbbxbbxtnnnnnnnnnncossin)(0sin0cos0cos0sin0000201210210時有：代入初始條件：1-2 無阻尼單自由度系統的自由振動規律為：高等數學知方程的通解度和初位移均為零。此初始

17、條件亦即：初速預先給定初始條件：考慮00002,0 xxxxxxttn )sin(cossin)(21tAtbtbtxnnn.;A2112221為頻率三要素：nbbtgbb機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統結結 論論單自由度無阻尼自由振動系統的方程是一樣的單自由度無阻尼自由振動系統的方程是一樣的,規律是相同的，具有以下特點：規律是相同的，具有以下特點： 1.1.單自由度無阻尼振動是簡諧的。單自由度無阻尼振動是簡諧的。 2.2.振幅決定于初始條件：振幅決定于初始條件： )(;222120220bbAxxAn圖中系統，用手把圖中系統，用手把m m移到移

18、到X X0 0位置，初始位移的大小決位置，初始位移的大小決定于定于m m的振幅，如果放手的同時，給的振幅，如果放手的同時，給m m一個右向的初一個右向的初速度，可以通過上式計算出其最大振幅。速度，可以通過上式計算出其最大振幅。機機 械械 振振 動動 學學單自由度無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統3.3. 固有頻率與初始條件無關。系統一定，固有固有頻率與初始條件無關。系統一定，固有頻率一定。頻率一定。 fTfmknn1;2;的特點，座鐘。應用：利用“等時性”思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準確還是小準確？思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準確還是小準確？結結 論論機機 械械 振振 動動 學學單自由度

19、無阻尼自由振動系統單自由度無阻尼自由振動系統 在振動研究中，計算振動系統的固有頻率有很重要的意義 ，除用定義法（牛頓法）外，通常還有以下幾種常用的方法，即靜變形法、能量法和瑞利法，現分別加以介紹。2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法1、靜變形法（、靜變形法（Static Deformation Method） Wkj 當單振子處于靜平衡狀態時，彈簧的彈性力與振動質量的重力互相平衡，即存在關系式： 由上式可得：jjmgWk故系統的固有頻率為：) 1 (2121jngmkf由此可見，只要知道質量塊處的彈性靜變形，就可以計算出系統的固有頻率。在有些實際問題中，不能直接給出系統

20、的彈簧剛度時，利用此法計算固有頻率比較方便。例例1 1 設一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質量。設一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質量。梁本身重量忽略不計。試求這一系統的固有頻率（見下圖）。梁本身重量忽略不計。試求這一系統的固有頻率（見下圖）。自由端有集中質量的懸臂梁 解：懸臂梁在自由端由集中力mg所引起的靜撓度為： EJmglj33) 1 (3213mlEJfn當不易用計算方法求出靜撓度時，也可用實測方法得到靜撓度，然后按（1）式計算系統固有頻率。2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy

21、Method）在無阻尼自由振動系統中，由于沒有能量的損失，所以振幅在無阻尼自由振動系統中，由于沒有能量的損失，所以振幅始終保持為一常數，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們始終保持為一常數，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們將這樣的系統稱為將這樣的系統稱為保守系統保守系統。在保守系統中，根據機械能守恒定律，在整個振動過程的在保守系統中，根據機械能守恒定律，在整個振動過程的任一瞬時機械能應保持不變。任一瞬時機械能應保持不變。式中：式中：T T系統中運動質量所具有的動能；系統中運動質量所具有的動能；U U系統由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功系統由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功

22、 而產生的重力勢能。而產生的重力勢能。0UTdtd即： T+U=常數 或2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法xkxmgxkxdxmgx0221222121kxkxmgxmgxU221xmT 對于單自由度無阻尼自由振動系統來說，系統的動能為：1. 重力勢能：當質量塊m低于靜平衡位置時，重力勢能為-mgx。2. 彈性勢能：當質量塊m運動至離靜平衡位置距離+x時，彈簧的彈性力對質量塊所作的功即為系統此時的彈性勢能。如下圖所示，系統的彈性勢能為：故系統的勢能為故系統的勢能為：)2()(212122常數Ekxxm 所以：所以：系統的勢能則由以下兩部分組成： 22xmmgx單自由度

23、振動系統的彈性勢能這就是單自由度無阻尼自由振動系統的能量方程。這就是單自由度無阻尼自由振動系統的能量方程。這一方程說明，這一方程說明，無阻尼自由振動系統的能量關系無阻尼自由振動系統的能量關系是振動質體的能量與彈性勢能的相互轉化過程是振動質體的能量與彈性勢能的相互轉化過程，而無能量的消耗。而無能量的消耗。但在振動系統中存在阻尼時，但在振動系統中存在阻尼時，則在振動質體的動能與彈性勢能的互相轉化過程則在振動質體的動能與彈性勢能的互相轉化過程中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉化為中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉化為熱能，故系統的振幅將逐漸減小，直至完全消失。熱能，故系統的振幅將逐漸減小，直

24、至完全消失。 2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法tAxnsinEtkAtAmnnn22222sin21cos21EAmTn22max210T25232，時，、或、當nnntttEkAU2max21maxmaxUT)3(2121222kAAmnmkn若將無阻尼自由振動的時間歷程若將無阻尼自由振動的時間歷程 代入系統的能量方程（代入系統的能量方程（2）式可得：）式可得： 這說明系統的最大動能或最大勢能均等于系統的總能量，且動能與勢能的這說明系統的最大動能或最大勢能均等于系統的總能量，且動能與勢能的最大值相等，即：最大值相等，即：0U20時，、或、當nnttt根據上式即可算

25、出系統的固有頻率：根據上式即可算出系統的固有頻率：對彈簧質量系統（單振子）對彈簧質量系統（單振子）用上述能量法意義不大。但用上述能量法意義不大。但是復雜的單自由度系統用能是復雜的單自由度系統用能量法計算固有頻率比較方便。量法計算固有頻率比較方便。 2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法例1：一根矩形截面梁，上面承受質量為m 的物體（如圖所示）。若忽略梁的質量，試用能量法求該系統的固有頻率。承受質量的矩形截面梁解：梁的剛度可用靜變形法求出：解：梁的剛度可用靜變形法求出：jmgk而梁的靜擾度可根據材料力學公而梁的靜擾度可根據材料力學公式計算：式計算：EJlbmgaj32222

26、3baEJlk 故代入（代入（3 3）式即可求出該系統的固有圓頻率：）式即可求出該系統的固有圓頻率：223bmaEJln2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法例例2:2:下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件無定無定向擺。已知向擺。已知a=3.54cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整個系統對。且整個系統對轉動軸轉動軸o o的轉動慣量。試求系統的固有頻率。的轉動慣量。試求系統的固有頻率。無定向擺 解：解：取搖桿偏離平衡位置的角位移取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣為

27、廣義坐標，并設義坐標，并設則則 對簡諧振動來說，搖桿正經過平衡位置時的速度對簡諧振動來說，搖桿正經過平衡位置時的速度最大，故此時系統動能最大，而勢能為零。即：最大，故此時系統動能最大，而勢能為零。即：tAnsin)cos(tAnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIIT 當搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系當搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分：統動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能：）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 2) 質量塊質量塊m m的重心下降的重心下降 后的重力勢能：后

28、的重力勢能：AkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標，并設則 故 對簡諧振動來說，搖桿正經過平衡位置時的速度最大，故此時系統動能最大，而勢能為零。即： 當搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能：2) 質量塊m的重心下降 后的重力勢能：tAnsin)cos(tAnnAmaxnAmax2202max0max2121nAIITAkakaU22max2max12

29、1222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法022ImglkanHzImglkafn77. 0106 .174856. 054. 33 . 02212212202maxmaxUT因為 2222202121mglAAkaAIn故得2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法前面介紹的幾種計算系統固有頻率的方法，都是將系統中彈簧的質量忽略不計。但是在有些系統中，彈簧本身的質量在系統總質量中占有一定的比例，此時若再忽略彈簧的質量，就將會使得計算出來的系統固有頻率偏高。瑞利法則將彈簧質量對系統振動頻率

30、的影響考慮了進去，從而能得到相當準確的固有頻率值。3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method）應用瑞利法時，必須先假定一個系統的振動形式。而且所假定的振動形式越接近實際的振動形式，則計算出來的固有頻率的近似值就越接近準確值。實踐證明，以系統的靜態變形曲線作為假定的振動形式，則所求得的固有頻率的近似值與準確值相比較，一般來說誤差是很小的。現以最簡單的彈簧質量系統為例來說明瑞利法的應用。在下圖的系統中，若彈簧的質量與質量塊的質量相比是很小的，則系統的振動形式就不會顯著地受到彈簧質量的影響。在這種情況下，假設彈簧在振動過程中的變形（各截面的瞬時位移）與彈簧在受軸向靜載荷作用下的變形相同是足夠

31、精確的。 2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法 彈簧質量系統lxx解:假設彈簧上距固定端距離為 處的位移為：x式中：l處于平衡位置時彈簧的長度； x 彈簧在聯結質量塊一端的位移。 令令表示彈簧單位長度的質量，則表示彈簧單位長度的質量，則彈簧微段彈簧微段dd的質量為的質量為d.d.其最其最大動能則為大動能則為: : dlx2max21lx x 彈簧在彈簧在處的微段處的微段dd的速度應為的速度應為: :當質量塊在某一瞬時的速度為當質量塊在某一瞬時的速度為 時，時，所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為：3221

32、2max20maxlxdlxTls32212max20maxlxdlxTls) 1 (3232212max2max2maxmaxlmxlxxmT)2(22maxmaxkxU2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法顯然，系統的全部動能應該是質量塊顯然，系統的全部動能應該是質量塊m m的最大動能與彈簧的最大的最大動能與彈簧的最大動能之和，即動能之和，即系統的最大勢能仍與無質量彈簧的情況相同，即：系統的最大勢能仍與無質量彈簧的情況相同，即：所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為：由動能和勢能相等原理得：由動能和勢能相等原理得：2322max2maxkxlmx對簡諧振動來說，上

33、式即成為：對簡諧振動來說，上式即成為：232222kAlmAn由此可以得出系統固有頻率的計算公式為：由此可以得出系統固有頻率的計算公式為：3lmkn結論：結論：為了考慮彈簧質量對系統固有頻率的影響，只需要將為了考慮彈簧質量對系統固有頻率的影響，只需要將1/3的彈簧質量當作一個集中質量加到質量塊上去即可。的彈簧質量當作一個集中質量加到質量塊上去即可。 一般將上式中的 稱為“彈簧的等效質量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振動系統，其彈簧的等效質量不同，需具體加以計算。 因為 所以 因此只要先算出系統彈性元件的動能，即可根據上式計算出系統彈性元件的等效質

34、量。根據系統中的彈簧質量與質量塊質量相比很小，從而在振動過程中彈簧各截面的瞬時位移按線性變化這一假設而得出的。但是，即使彈簧的質量較大，用原式計算系統固有頻率也具有足夠的精確度。例如,當 時，固有頻率的計算誤差約為0.5；當 時，計算誤差約為0.8；當 時，計算誤差約為3。3l221xmTss22xTmssml5 . 0ml ml22.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法例如圖所示的等截面簡支梁上有一集中質量m，若將梁本身的重量W考慮在內，計算此系統的固有頻率。圖承受集中質量的等截面梁 2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法解：假設梁在振動時撓度曲線與

35、梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線一致。梁上物體左側距A點為處的靜撓度為：梁上物體右側距B點為處的靜撓度為：在物體m處梁的靜撓度為：設物體m在振動狀態下的最大速度為 ，則在物體左右兩側梁的所有點的最大速度 、 與振動位移y1、y2之間存在以下關系： 216blaEJlmgby226albEJlmgayEJlbmgaym322my 1y 2y nmmyyyy11nmmyyyy22計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法所以梁的左右兩部分的最大速度為：因而梁的左右兩部分的最大動能為：式中：w梁的單位長度的質量；22112blabayyyyymmm22222albabyyyyymmmdbla

36、bagywTams20224221422222221581052332balbablgwaymgwaym22 bmsdalbbagywT02242222422222221028122aalbabaalgwbymgwbym22 2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法22222158105233balbabl22222102812aalbabaal梁的全部動能為：根據上式可算出梁的等效質量為：所以系統的固有圓頻率為：式中： ，為梁的剛度。 2212msssygwbwaTTTgwbwamssnmmk223babwawmggEJl 223baEJlk 2.2 計算系統固有頻率的其

37、它方法計算系統固有頻率的其它方法4632. 02wlEJgn4637. 02wlEJln2.2 計算系統固有頻率的其它方法計算系統固有頻率的其它方法從上式可以看出當忽略梁的質量時所計算出的系統固有頻率比從上式可以看出當忽略梁的質量時所計算出的系統固有頻率比用瑞利法計算出的數值要小，因而誤差較大。應用瑞利法也可用瑞利法計算出的數值要小，因而誤差較大。應用瑞利法也可求得無載荷的固有頻率的相當準確的數值。由于無載荷的變形求得無載荷的固有頻率的相當準確的數值。由于無載荷的變形曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載荷為零（荷為零（m

38、m0 0），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為：），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為：而這一固有圓頻率的精確值為：而這一固有圓頻率的精確值為：可見，近似值與理論精確值之差小于可見，近似值與理論精確值之差小于1 1。內容參考2.3。2.3 等效質量和等效剛度等效質量和等效剛度振動微分方程振動微分方程 振動微分方程振動微分方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其中，其中， tx1為相應齊次方程的解為相應齊次方程的解 瞬態響應瞬態響應 tx2為方程的特解為方程的特解 穩態響應穩態響應或或零零初始條件初始條件的的解解 單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系

39、統自由振動自由振動 振動微分方程振動微分方程設設 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 222, 1nnns有有臨界阻尼系數臨界阻尼系數 kmc2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定義定義12nn2, 1smkmcnnnn2;2;令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統討論討論 (1)系統無阻尼即,0,0n方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統對初始擾動的響應系統對初始擾動的響應）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx1

40、1100，特征值取決于單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統討論討論 (2)12nn2, 1s特征值特征值系統對初始擾動的響應系統對初始擾動的響應方程的解方程的解 個不等的虛數根。為2,102, 1Snn)(cose)(rntRtxt2d0n0202221xxxRDDR0tanarc0tanarc00d0n000d0n0 xxxxxxxx則令,22rnn)sincos(sincosr2r1rrr2, 1rtDtDextiteinsnti221122nrnrrT單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統討論討論 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征

41、值系統對初始擾動的響應系統對初始擾動的響應nssnn21,1nttCCtxe )(21)(e)(000txnxxtxtn00 xx）（00 xx）（初始條件：初始條件：單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統討論討論 (4)12nn2, 1s特征值特征值系統對初始擾動的響應系統對初始擾動的響應tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021tstsCCtx21ee)(2100 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統振動特性振動特性 無阻尼無阻尼 0 0： 簡諧運動簡諧運動弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰減運

42、動衰減運動單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統小阻尼小阻尼振動對數衰減率振動對數衰減率 2112lnnnxx2224單自由度線性阻尼自由振動系統單自由度線性阻尼自由振動系統簡諧激勵簡諧激勵穩態響應穩態響應(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 M M 2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 求解過程求解過程 運動方程的解可以用它對應的齊次方程的通解運動方程的解可以用它對應的齊次方程的通解 和方程（和方程（2）的特解）的特解 來表示來表示 )2(sin2,2) 1 (sinsin20n00 tfxnxmFfmkmcntmFmkxmcxtFxkxc

43、xmn則，令可化為2x)()(21txtxx1x)sin()(1tAetxrnt 在小阻尼情況下，在小阻尼情況下， 是個衰減振動，只在開始振動是個衰減振動，只在開始振動后的某一段時間內有意義。研究受迫振動中持續等幅振動時可忽略之。后的某一段時間內有意義。研究受迫振動中持續等幅振動時可忽略之。 表示系統的受迫振動，稱為系統的表示系統的受迫振動，稱為系統的穩態解穩態解，設，設2x)sin()(2tBtx將將 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B與與2x22222222arctan;4)(nnnnfB2222012arctan;)2()1 (1kFBnn;n令2. 5 簡諧激勵力作用下的

44、強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 求解過程求解過程 進一步討論：進一步討論： kFBs0sBB令：令： 則：則： 222)2()1 (1sBB2222012arctan;)2()1 (1kFB2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 解的討論解的討論二、討論二、討論: 圖給出了以圖給出了以為橫坐標，為橫坐標，為縱坐標，在不同阻尼比為縱坐標，在不同阻尼比下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性系統的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的系統的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的頻率，受迫振動的振幅取

45、決于系統本身的物理特性、激勵頻率，受迫振動的振幅取決于系統本身的物理特性、激勵力的大小及頻率值，但與初始條件無關。力的大小及頻率值，但與初始條件無關。 受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關 (1) 當頻率比當頻率比0.2時，即激振頻率時，即激振頻率遠小于系統的固有頻遠小于系統的固有頻率率n時，無論阻尼的大小如何，時，無論阻尼的大小如何，1，稱為準靜態區。即，稱為準靜態區。即振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區振幅振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區振幅主要由彈簧剛度控制。主要由彈簧剛度控制。2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下

46、的強迫振動 解的討論解的討論（2）頻率比很大頻率比很大(5) , 0，激振頻率，激振頻率遠大于系統的固有遠大于系統的固有頻率頻率n ，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不及跟隨，幾乎停著不動。故在及跟隨，幾乎停著不動。故在高頻區受迫振動的振幅主要取高頻區受迫振動的振幅主要取決于系統的慣性，決于系統的慣性，稱為慣性區，這一特性正是隔振和慣性傳稱為慣性區，這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據。感器的理論依據。（3）當頻率比當頻率比 =1，激振頻率接近系統的固有頻率，這時阻尼值越小，激振頻率接近系統的固有頻率，這時阻尼值越小， 則越大。當阻尼為零時

47、，振動為無限大。習慣上把幅值則越大。當阻尼為零時，振動為無限大。習慣上把幅值 的頻率的頻率區間稱為共振區。區間稱為共振區。 將（將（6）對求導，并令）對求導，并令d/d=0 ，可解得，可解得 處有最大幅值，處有最大幅值，把把 稱為共振頻率。稱為共振頻率。 2221221n2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 解的討論解的討論 相位相位 與頻率比的關系曲線表明與頻率比的關系曲線表明 =1時，振動位時，振動位移總是滯后激振力移總是滯后激振力/2 ，頻率比，頻率比 1；當；當 =-/2 -，共振點前后相位差，共振點前后相位差恰好為恰好為。 2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振

48、動簡諧激勵力作用下的強迫振動 簡諧激勵簡諧激勵全響應全響應(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 222012arctansin)2()1 (1)cos(Re)(tkFttxrtn2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 簡諧激勵簡諧激勵全響應全響應(無無阻尼阻尼)：)1 (sin0tFxkxm 設其特解為：設其特解為：tBtxsin)(22nfB代入到上式得：代入到上式得：)2(sinsincos2221tftCtCxnnn方程方程（1）的通解解為：的通解解為： 0000 xxxx設初始條件為：設初始條件為：220201/nnfxCxC代入到方程（代入到方程（2）

49、中得：）中得：)3()sin(sinsincos2200ttftxtxxnnnnnn則：則：)4()sin(sin)sin(220ttftAxnnnn即：即：初始條件產生的自由振動初始條件產生的自由振動簡諧激勵力產生的受迫振動簡諧激勵力產生的受迫振動伴隨受迫振動產生的自由振動伴隨受迫振動產生的自由振動2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 ttkFtxnn20sinsin1)(n 000 xx若初始條件為：若初始條件為：則：則： 2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 2. 5 簡諧激勵力作用下的強迫振動簡諧激勵力作用下的強迫振動 簡諧激勵簡諧激

50、勵全響應全響應(無無阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功簡諧力的功簡諧力簡諧力tFtFsin)(0dtxtFFdxdWsin0Q=)sin()(tBtx振動系統的穩態解為振動系統的穩態解為則激振力在微小位移則激振力在微小位移dxdx上所作的微元功應為：上所作的微元功應為：在一個周期內（在一個周期內（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)輸入輸入系統的能量，即為系統的能量，即為dtxtFW20)(dtttBF)cos(sin200tdttBF)cos

51、(sin200sin0BF可見，簡諧激振力在一個周期內所作功的大小，不僅可見，簡諧激振力在一個周期內所作功的大小，不僅決定于激振力幅決定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，還決定于兩者的大小，還決定于兩者之間的相位角之間的相位角 。 當當00即外力超前位移時，作正功；即外力超前位移時，作正功；當當00即外力落后于位移時，作負功；即外力落后于位移時，作負功；而當而當 =0=0或或 =時，即外力在一個周期內作功之和時，即外力在一個周期內作功之和等于零。等于零。激振力在一個周期內所作的功激振力在一個周期內所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振力的兩個分量作功的和，即與位移

52、同相的分量力的兩個分量作功的和，即與位移同相的分量F = F F = F coscos和與速度同相的分量和與速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。sin0BFW 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼0)cos()sin(cos)cos()sin(cos)sin(200200201tdttBFdttBtFdtxtFWF)sin(cos0tF與位移相同的力：與位移相同的力：在一個周期內所作的功為：在一個周期內所作的功為：2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力簡諧力tFtFsin)(0激振力在一個周期內所作的功為分量作功之和，即為激振力

53、在一個周期內所作的功為分量作功之和，即為 W =W +W = F Bsin因此，激振力在一個周期內所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一個周期內所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。sin)(cossin)cos(02200202 BFtdtBFdtxtFWF與速度同向的力與速度同向的力F sincos（t-）在一個周期內所作的功為：在一個周期內所作的功為：2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼簡諧力簡諧力tFtFsin)(02.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼時，粘性阻尼力時，粘性阻尼力 在一個振動周期中所做的功：在一個振動周期中所做的功：x

54、cFc2202220)(sinXcdttcXdtxFDTcc在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設為在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設為 。 實際物理模實際物理模型與振動位移一階導數成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為型與振動位移一階導數成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為粘性粘性阻尼阻尼。這種阻尼是。這種阻尼是線性線性的，數學上易于處理，故常把非線性阻的，數學上易于處理，故常把非線性阻尼用等效粘性阻尼來代替。尼用等效粘性阻尼來代替。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。xc等效阻尼力等效阻尼力 在一個振動周期中所作的功：在一個振動周期中所作的

55、功： 所以有：所以有： xce2XcDDec) 1 (2XDce)cos(tXx當受迫振動的位移響應為：當受迫振動的位移響應為： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可視為一個常力，在整個受迫可視為一個常力，在整個受迫振動中力的幅值不變，方向始終與運動方向相反。振動中力的幅值不變，方向始終與運動方向相反。當質量從平衡位置移動到最大偏離位置當質量從平衡位置移動到最大偏離位置X，即在周期內，摩，即在周期內，摩擦力做功為擦力做功為 FX，故一個整周期內做功，故一個整周期內做功 代入代入（1）式，得到式，得到干摩擦的等效阻尼干摩擦的等效阻尼:XFXFXce4422.6 簡諧力的功和等效阻

56、尼簡諧力的功和等效阻尼結構阻尼：結構阻尼：由材料形變過程中的內摩擦產生。由材料形變過程中的內摩擦產生。材料在加載材料在加載- -卸載過程中，會形成應力卸載過程中，會形成應力- -應變遲滯曲線，它應變遲滯曲線，它包容的面積就是內摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平包容的面積就是內摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平方成正比。即：方成正比。即：其中其中 是與頻率無關的比例系數，隨材料不同而變。因是與頻率無關的比例系數，隨材料不同而變。因此，結構等效阻尼：此，結構等效阻尼：2XaDrrreaXXaXDc222ra2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼周期激勵周期激勵穩態響應穩態響應(粘性阻尼粘

57、性阻尼) 122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡諧周期激勵力的響應分析 例：例：質量彈簧系統受到周期方波激勵質量彈簧系統受到周期方波激勵 求系統穩態響應。求系統穩態響應。 TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt610 1 . 00 2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡諧周期激勵力的響應分析 解：解：0彈簧質量系統固有頻率彈簧質量系統固有頻率 610激勵力的基頻激勵力的基頻 ：T2

58、6011110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期內總面積為一周期內總面積為0 =0T, 02Ttn1cos2T區間區間 內，內， 關于關于 為反為反對稱，對稱， 而而 關于關于 對稱對稱)(tF=0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡諧周期激勵力的響應分析 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T區間區間 內內)(tF4T關于關于為對稱為對稱 tn1sin4T而而n取偶數時，取偶數時，關于

59、關于反對稱反對稱 ,2TT區間區間 內內)(tF43T關于關于為對稱為對稱 tn1sin43T而而n取偶數時，取偶數時，關于關于反對稱反對稱 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt12T2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡諧周期激勵力的響應分析 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(2當當 n 取奇數時取奇數時 0nb6 , 4 , 2nnFtdtnFTtdtntFTbTTn04010014sin8sin)(2 5 , 3 , 1n于是，周期性激勵于是，周期性激勵 F(t) 可寫為：可寫為： 5 , 3 , 11011sin14sin)(nn

60、ntnnFtnbtF)5sin513sin31(sin41110 tttF2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡諧周期激勵力的響應分析 )5sin513sin31(sin4)(1110 tttFtF5 , 3 , 110)sin(4nnntnkFx則有：則有：2222)2()1 (1nssnnn 22112snsntgn 01s其中：其中： 當不計阻尼時：當不計阻尼時： 5 , 3 , 11220sin)1 (14ntnsnnkFx系統運動方程系統運動方程 ：)(tFkxxcxm 1110)sin()cos(2)(nnnnnnntnkbtnkakatx2. 7 非簡諧周期激勵力的響應分析非簡