1、第二講 函數(shù)概念與表示備注：【高三數(shù)學一輪復習必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標要求】1通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域 和值域；了解映射的概念；2在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；3通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；4通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質

2、二【命題走向】函數(shù)是整個高中數(shù)學的重點，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當大的比例。從近幾年來看，對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數(shù)關系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質，尋求問題的結果。高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大預測2010年高考對本節(jié)的考察是：1題型是1個選擇和一個填空；2熱點是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題

3、綜合考察函數(shù)成為新的熱點。三【要點精講】1函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x2構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域（1）解決

4、一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題配方法（將函數(shù)轉化為二次函數(shù)）；判別式法（將函數(shù)轉化為二次方程）；不等式法（運用不等式的各種性質）；函數(shù)法（運用基本函數(shù)性

5、質，或抓住函數(shù)的單調性、函數(shù)圖象等）。3兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4區(qū)間（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意 一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“

6、f：AB”。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思6常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間

7、的關系7分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復合函數(shù)若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=fg(x)稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域四【典例解析】題型1：函數(shù)概念例121.（2009天津卷文）設函數(shù)則不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當，令解得。當，故 ，解得【考點定位】本試題考查分段函數(shù)的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解（2）江蘇省如皋中學20072008學年度第二學期階段考試高三數(shù)學（理科）請設計一

8、個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)y = f （x）：圖象關于y軸對稱；對定義域內(nèi)任意不同兩點, 都有答： . 答案不唯一，在定義域內(nèi)圖象上凸的偶函數(shù)均可，如等等.首先由知f （x）為偶函數(shù)，由知f （x）在定義域內(nèi)圖象上凸，然后在基本初等函數(shù)中去尋找符合這兩點的模型函數(shù)【總結點評】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質，問題以開放的形式出現(xiàn)，著重突出對考生數(shù)學素質的要求.點評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學習的常用基本功變式題：（2009北京文）已知函數(shù)若，則 . .w.w.k.s.5 答案 .w 解析 5.u.c本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求的值

9、. 屬于基礎知識、基本運算的考查.由，無解，故應填.例2（2007安徽 文理15）（1）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_ _；解：（1）由得，所以，則。點評：通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學生的邏輯思維能力。題型二：判斷兩個函數(shù)是否相同例3試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；（2）由于函

10、數(shù)f（x）=的定義域為（，0）（0，+），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當nN*時，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為x|x0，而g（x）=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)點評：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦

11、然。（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)。（2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)題型三：函數(shù)定義域問題例4求下述函數(shù)的定義域：（1）；（2）解：（1），解得函數(shù)定義域為.（2） ，（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論）， 當a=0時，函數(shù)定義域為；當時，得，1）當時，函數(shù)定義域為，2）當時，函數(shù)定義域

12、為，3）當時，函數(shù)定義域為；當時，得，1）當時，函數(shù)定義域為，2）當時，函數(shù)定義域為，3）當時，函數(shù)定義域為。點評：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進行討論，考察學生分類討論的能力例5已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關鍵在于理解復合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學問題或實際問題中產(chǎn)生的函數(shù)關系，求其定義域，后面還會涉及到變式題：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實數(shù)a的取值范

13、圍是（ ）AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。題型四：函數(shù)值域問題例5求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域為改題：求函數(shù)，的值域。解：（利用函數(shù)的單調性）函數(shù)在上單調增，當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域為。（2）求復合函數(shù)的值域：設（），則原函數(shù)可化為。又，故，的值域為（3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，原函數(shù)的值域為（法二）分離變量法：，函數(shù)的值域為。（4）換元法（代數(shù)換元法）：設，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域為注：總結型值域，變形：或（5）三角

14、換元法：，設，則，原函數(shù)的值域為（6）數(shù)形結合法：，函數(shù)值域為。（7）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域為。由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原函數(shù)的值域為。（8），當且僅當時，即時等號成立。，原函數(shù)的值域為。（9）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學數(shù)學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。題型五：函數(shù)解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求。解：（1），（或）。（2）令（），則，。（3）設，則，

15、。（4） ，把中的換成，得 ，得，點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法。例7上海市楊浦區(qū)2007-2008學年度第二學期高三學科測試數(shù)學試卷已知向量 （1）當時， 求的值（2）(文科考生做) 求·的最大值與最小值（理科考生做）求·， 在上的最大值與最小值 解 （1）（2）（文）·= （理）· 例8江蘇省濱海縣08屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷2008-5-4 據(jù)調查，某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均收入3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當?shù)卣e極引進資本，建立各種加工企業(yè)，對當?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)

16、品進行深加工，同時吸收當?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有x(x0)萬人進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%，而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元（a0）。（1）在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；（2）在（I）的條件下，當?shù)卣畱撊绾我龑мr(nóng)民（即x多大時），能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達到最大。解：（I）由題意得（100-x）·3000·（1+2x%）100×3000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）設這100萬農(nóng)民的人

17、均年收入為y元，則y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0<x50) （i）當0<25(a+1)50，即0a1，當x=25(a+1)時，y最大；（ii）當25(a+1)50，即a 1，函數(shù)y在（0,50單調遞增，當x=50時，y取最大值。答：在0a1時，安排25(a +1)萬人進入企業(yè)工作，在a1時安排50萬人進入企業(yè)工作，才能使這100萬人的人均年收入最大例9北京奧運會紀念章某特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)每枚

18、紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為x元（xN*）（）寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀念章的銷售價格x的函數(shù)關系式（并寫出這個函數(shù)的定義域）；（）當每枚紀念銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內(nèi)利潤y（元）最大，并求出這個最大值（）依題意 此函數(shù)的定義域為 （） 當，則當時，（元）；當，因為xN*，所以當x23或24時，（元）； 綜合上可得當時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元 15. 已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足：(1)對任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I

19、)求的值；(II)求的最大值；(III)設數(shù)列的前項和為，且滿足.求證：.解：（I）令，由(3),則由對任意，總有 （2分）（II）任意且，則 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成立。 （14分）點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題并加以解決。該題典型代表高考的方向題型7：課標創(chuàng)新題例10若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為構造函數(shù)，其圖象是一條線段。根據(jù)題意，只須：即解得。點評：上面題目通過重新構造函數(shù)解決了實際問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用例11.（2009四川卷文）設是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記

20、的象為。若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：設是平面上的線性變換，則 若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換； 對，則是平面上的線性變換； 設是平面上的線性變換，則對任意實數(shù)均有。其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）答案 解析 ：令，則故是真命題 同理，：令，則故是真命題 ：，則有 是線性變換，故是真命題 ：由，則有是單位向量，對任意實數(shù)，0，是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應及高等數(shù)學線性變換的相關知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力，具有選拔性質五【思維總結】“函數(shù)”是數(shù)學中最重要的概念之一，學習函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。1求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊