1、第四章第四章 復利與年金復利與年金教學目的和要求教學目的和要求：l 通過本章學習，學生應當掌握貨幣的時間價值、單利與復利、終值與現值以及年金等概念及其運用。 本章的重點和難點：本章的重點和難點：l 年金的計算及其運用。(本章的內容和管理會計有交叉，主要內容在管理會計中做講解)第四章第四章 復利與年金復利與年金本章內容： 貨幣時間價值、單利與復利、終值與現值 第一節 貨幣的時間價值 第二節 單利和復利 第三節 年金 第一節第一節 貨幣的時間價值貨幣的時間價值l貨幣的時間價值含義貨幣的時間價值含義 在日常生活中在日常生活中，你把你把100100元存入銀行一年，利率是元存入銀行一年，利率是5%,5%

2、,一年后，銀行會給你一年后，銀行會給你105105元，這元，這5 5元就是利息，元就是利息，是銀行付你的報酬，換句話說，今天的是銀行付你的報酬，換句話說，今天的100100元錢與元錢與一年后的一年后的105105元等值。元等值。l在本金、利率相同的情況下，存款時間越長，利息就越多。同樣，當你從銀行借款時，你要向銀行支付借款利息。企業若要發行債券，也要向債券持有者支付債券的利息。這里的銀行借款利息和債券利息就是使用資金的成本。借用資金的時間越長，資金的成本就越高。l原因是：隨著時間的推移，貨幣會增值。這原因是：隨著時間的推移，貨幣會增值。這就是貨幣的時間價值。注意：只有將貨幣作就是貨幣的時間價值

3、。注意：只有將貨幣作為資金使用才具有增值的功能。為資金使用才具有增值的功能。l貨幣的時間價值，是指在正常情況下，兩個不同時點的同等數額的貨幣，其價值是不相等的。換言之，是指貨幣隨著時間的推延而形成的增值。也就是說，今年的100元錢與去年的100元錢，其價值是不相等的，年初的100元等于年末的105元。這一隨時間變化的差額就是貨幣的時間價值。l它有兩種表示形式：絕對數形式（利息）和相對數形式（利息率）。貨幣的時間價值含義貨幣的時間價值含義l上例中用絕對數表示的就是5元，用相對數表示的就是5%，即這個差額與本金的比率： 5100=5%。l貨幣的時間價值往往指隨著時間的推延，貨幣能夠增值。但要，作為

4、一般等價物的貨幣本身并不具備這種增值能力，只有在貨幣作為資金使用，并與勞動要素相結合的條件下，才能使價值增值。貨幣的時間價值指的便是這種增值現象。第二節第二節 單利和復利單利和復利一、一、單利單利l單利單利- -是只對本金計息。計算前，先將符號是只對本金計息。計算前，先將符號定義如下：定義如下： P P本金（現值）；本金（現值）； i i利率利率 ； F F終值；終值； I-I-利息；利息； n n 期數或年數；期數或年數； A A 每年等額支付或收到的款項；每年等額支付或收到的款項； 則：則：I=PI=Pi in【例例1 1】某人將某人將10001000元存入銀行，銀行存款元存入銀行，銀行存

5、款年利率為年利率為10%10%，按單利計息，按單利計息，5 5年后的本利和：年后的本利和：l 利息利息1000100010%10%5 5500500（元）（元）l 本利和本利和=1000+500=1500=1000+500=1500（元）（元）l可以看出，若按單利計息，各計息期的本金可以看出，若按單利計息，各計息期的本金和利息都是相同的。和利息都是相同的。二、復利二、復利l 復利是根據本金和前期利息之和計算的利復利是根據本金和前期利息之和計算的利息，也說是不僅要計算本金的利息，還要計息，也說是不僅要計算本金的利息，還要計算利息的利息。復利俗稱算利息的利息。復利俗稱“利滾利利滾利”。續前續前例：

6、例：l第一年利息第一年利息: :lI I1 1=1000=100010%=10010%=100（元）（元）l第二年利息第二年利息: :lI I2 2=(1000+100)=(1000+100)10%=110(10%=110(元元) )l第三年利息第三年利息: :lI I3 3=(1000+100+110)=(1000+100+110)10%=121(10%=121(元元) )l第四年利息：第四年利息：lI I4 4=(1000+100+110+121)=(1000+100+110+121)10%=133.1(10%=133.1(元元) )l第五年利息：第五年利息：lI I5 5=(1000+1

7、00+110+121+133.1)=(1000+100+110+121+133.1)10%=146.410%=146.4( (元元) ) 到期利息： I=100+110+121+133.1+146.4611(100+110+121+133.1+146.4611(元）元） 復利計算的利息比單利計息要多。復利計算的利息比單利計息要多。三、終值和現值( (一一) )終值終值l到期值或本利和，是指一定期間后本到期值或本利和，是指一定期間后本金與利息的和。金與利息的和。l按計算方式不同：單利終值和復利終按計算方式不同：單利終值和復利終值。值。l 比較單利終值和復利終值計算，如果比較單利終值和復利終值計算

8、，如果本金本金P P，利率為，利率為i i，見下表：，見下表：l表表4-1 4-1 單利終值與復利終值的計算單利終值與復利終值的計算單利終值單利終值復利終值復利終值第一年年末第一年年末第二年年末第二年年末第第n n年年末年年末F=P+PF=P+Pi=P(1+i)i=P(1+i)F=P+PF=P+P2i=P(1+2i)2i=P(1+2i)F=P+PF=P+Pnini=P(1+ni)=P(1+ni)F= P(1+i)F= P(1+i)F=P(1+i)(1+i)=P(1+i)F=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2 2F=P(1+i)(1+i)F=P(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=P(1

9、+i)=P(1+i)n復利終值l復利終值是指按復利計息的一定時期的本利復利終值是指按復利計息的一定時期的本利和。和。 l計算公式：計算公式： F FP P（1 1i i）n nl式中：式中：P P本金（現值）本金（現值） i i利率利率 n n計息期計息期 F F終值終值 其中（其中（1 1i i）n n被稱為復利終值系數或被稱為復利終值系數或1 1元的元的復利終值，用符號（復利終值，用符號（F/PF/P，i i，n n）表示。見附）表示。見附表表1 1。 例例2 2 如果你想存入如果你想存入10001000元，將來收回元，將來收回20002000元，元，當年利率為當年利率為10%10%時，要

10、存幾年？時，要存幾年？lF=P(1+i)n n，即，即2000=1000(1+10%)n nl(1+10%)(1+10%)n n=2000=20001000=21000=2l查復利終值系數表，查復利終值系數表，10%10%這一欄，查得期限這一欄，查得期限為為7 7年時，終值系數為年時，終值系數為1.948721.94872，期限為，期限為8 8年年的終值系數為的終值系數為2.143592.14359。說明存儲期在。說明存儲期在7 7至至8 8年之間，可使將來收到的本利和為年之間，可使將來收到的本利和為20002000元。元。可用圖可用圖4-14-1表示如下：內插法的運用表示如下：內插法的運用l

11、ABCll(7，1.94872)(n，2)(8,，2.14359)l應用等比公式，可求得應用等比公式，可求得n n：l同理，在已知本金（同理，在已知本金（P P）、終值（）、終值（F F）、期限）、期限（n n）條件下，可求出預期的報酬率（）條件下，可求出預期的報酬率（i i）。）。個月年年37263.794872.114359.278214359.28nn( (二二) )現值現值l現值指一定期間后，一定量的貨幣（終值）現值指一定期間后，一定量的貨幣（終值）在現在的價值。在現在的價值。l單利現值和復利現值單利現值和復利現值l假定你想在將來得到一筆錢（終值），按一假定你想在將來得到一筆錢（終值）

12、，按一定的利率，現在一次應存入多少錢呢？按單定的利率，現在一次應存入多少錢呢？按單利計算，公式如下：利計算，公式如下：l單利現值公式：單利現值公式：P PF/1+niF/1+nil若按復利計算，則公式是：若按復利計算，則公式是：nniFiFP)1 ()1 (l復利現值：復利現值：l 是指按復利計算的將來一定時期達到預定金是指按復利計算的將來一定時期達到預定金額現在需要的投入數。額現在需要的投入數。l復利現值計算是復利終值計算的逆運算。從復利現值計算是復利終值計算的逆運算。從復利終值計算公式可知：復利終值計算公式可知：其中其中（1 1i i） n n被稱為被稱為復利現值系數或復利現值系數或1 1

13、元元的復利現值的復利現值，用符號，用符號（P/FP/F，i i，n n）表示。見表示。見附表附表2 2。復利現值系數與復利終值系數互為倒。復利現值系數與復利終值系數互為倒數。數。【例例3 3】企業打算存入銀行一筆錢，企業打算存入銀行一筆錢，5 5年后年后 一次可取出本利和一次可取出本利和10001000元，已知復利年利元，已知復利年利 率為率為6%6%，計算現在一次需存入銀行多少錢？，計算現在一次需存入銀行多少錢？l根據題意：根據題意：F F1000 i1000 i6% n6% n5 5l根據公式根據公式：P P F F（1 1i i） n n1000 1000 0.7470.74774774

14、7（元）（元）l在在P,F,i,nP,F,i,n中，可已知其中三個，根據復利終中，可已知其中三個，根據復利終值和現值系數表，用內插法求得另一個值。值和現值系數表，用內插法求得另一個值。見教材例題見教材例題3 3。l又上例，若年利率又上例，若年利率8%8%，現在存入，現在存入747747元，幾年元，幾年后可一次取出后可一次取出10001000元？元？li=6%i=6% （P/FP/F，6%6%，5 5） =0.747=0.747li= 8% i= 8% （P/FP/F，8%8%，n n） =0.747=0.747l查表：查表：n=5 n=5 （P/FP/F，8%8%，5 5） =0.681=0.

15、681l n=3 n=3 （P/FP/F，8%8%，3 3） =0.794=0.794l說明說明 3 3n n5 5 (5-n) (5-n) /(0.681-0.747) =(5-3)/(0.681-0.794) =(5-3)/(0.681-0.794) n3.832 n3.832 即：需要即：需要3 3年年1010個月個月( (三三) )名義利率與實際利率的關系名義利率與實際利率的關系 在以上討論中，我們假定利率是年利率，在以上討論中，我們假定利率是年利率，并且每年按復利計息一次。但實際生活中，并且每年按復利計息一次。但實際生活中，某些款項在某些款項在1 1年內不止計息一次，有些抵押年內不止

16、計息一次，有些抵押借款每月或每季計息一次，有些債券半年計借款每月或每季計息一次，有些債券半年計息一次。息一次。l名義利率是指以名義利率是指以1 1年為基礎的利率。年為基礎的利率。l當利息在一年內要復利幾次時，給出的年利當利息在一年內要復利幾次時，給出的年利率稱為名義利率。率稱為名義利率。實際利率是真正有效的利實際利率是真正有效的利率，隨每年復利次數而變。率，隨每年復利次數而變。l如果如果1 1年只計息一次，名義利率與實際利率年只計息一次，名義利率與實際利率相等。相等。l如如1 1年內復利年內復利m m次，名義利率為次，名義利率為r r，則，則: :l實際利率實際利率i i的公式：的公式：li

17、i (1(1r/m)r/m)m m 1 1+i= (11 1+i= (1r/m)r/m)m m 【例例4 4】名義利率為名義利率為6 6，本金，本金10001000元，每半年復元，每半年復利一次，利一次，5 5年后本利和是多少？年后本利和是多少？l實際利率實際利率i i (1(16%6%2)2)2 2 1 16.09%6.09%l第一種方法：第一種方法：lF F10001000(1(16%6%2)2)101010001000(1(13%)3%)1010 13441344l第二種方法：第二種方法：lF F10001000(1(16.09%)6.09%)5 5 13441344 答：答：5 5年以

18、后本利和年以后本利和13441344元。元。第三節第三節 年金年金1 1、年金概念、年金概念l年金是指在一定時期內，每隔相同時期收入或支年金是指在一定時期內，每隔相同時期收入或支出相當金額的款項出相當金額的款項2 2、年金特點、年金特點l（1 1）間隔相等。在一定時期內每隔一段時間就發）間隔相等。在一定時期內每隔一段時間就發生一次收款或付款業務。生一次收款或付款業務。l（2 2）金額相等。各期發生的款項在數額上相等。）金額相等。各期發生的款項在數額上相等。l 在現實經濟生活中，分期等額形成或發生的各在現實經濟生活中，分期等額形成或發生的各種償債基金、折舊費、養老金、保險金、租金、種償債基金、折

19、舊費、養老金、保險金、租金、等額分期收付款、零存整取、整存零取、債券利等額分期收付款、零存整取、整存零取、債券利息、優先股股息、以及等額收回的投資額等，多息、優先股股息、以及等額收回的投資額等，多屬于年金的范疇。屬于年金的范疇。l3 3、年金分類：、年金分類：l年金按收付的時間不同具體劃分為：普通年年金按收付的時間不同具體劃分為：普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金四種。金、預付年金、遞延年金和永續年金四種。l(1)(1)普通年金普通年金- -凡收入或支出發生在每期期末凡收入或支出發生在每期期末的年金。的年金。l(2)(2)預付年金預付年金- -凡收入或支出發生在每期期初凡收入或支出發生在每

20、期期初的年金。的年金。l(3)(3)遞延年金遞延年金- -凡收入或支出發生在第一期以凡收入或支出發生在第一期以后某一時間的年金。后某一時間的年金。l(4)(4)永續年金永續年金- -凡無限期收入或支出的年金。凡無限期收入或支出的年金。一、普通年金一、普通年金l普通年金是指收入或支出發生在每期期末普通年金是指收入或支出發生在每期期末 的年金，又叫后付年金，用的年金，又叫后付年金，用A A表示。表示。1、普通年金終值計算普通年金終值計算l普通年金終值簡稱年金終值，記作普通年金終值簡稱年金終值，記作F FA A 。l普通年金終值是將每期的金額按復利換算到普通年金終值是將每期的金額按復利換算到最后一期

21、期末的終值，然后加總，即復利終最后一期期末的終值，然后加總，即復利終值之和，就是該年金終值。計算公式：值之和，就是該年金終值。計算公式：lF FA A AA（1 1i i）n n11i il其中其中 （1 1i i）n n1/i1/i被稱為被稱為年金終值系數年金終值系數或一元的年金終值，用符號（或一元的年金終值，用符號（F FA A/A/A，i i，n n）表示，附表表示，附表3 3為年金終值系數為年金終值系數表。表。l普通年金是后付年金，最后一期不普通年金是后付年金，最后一期不 計息，因此，計息期為總期數減計息，因此，計息期為總期數減1 1。l設某企業于每年年底在銀行存款設某企業于每年年底在

22、銀行存款1 1元，連續存元，連續存4 4年，年，按年利率按年利率i i計息，則第計息，則第4 4年末該項年金的終值可圖年末該項年金的終值可圖4-24-2所示：所示：l 0 1 2 3 40 1 2 3 4l 1 1 （1+i1+i） （1+i)1+i)2 2 （1+i)1+i)3 3l 1 1 （1+i1+i） （1+i)1+i)2 2 1 1 （1+i1+i） 1 1終值計算如下：終值計算如下：（F FA A/A,4,i/A,4,i）= = 1+ 1+（1+i1+i）+ +（1+i1+i）2 2 + +（1+i1+i）3 3 (1)(1)l將（將（1 1）式兩邊均乘（）式兩邊均乘（1+i1+

23、i），得：），得：l（FA/A，4，i）（1+i1+i）=（1+i）+（1+i）2 2+（1+i）3 3 +（1+i）4 4 (2)(2)l（2 2）式減（）式減（1 1）式，得：）式，得：l(F/A,4,i)(F/A,4,i)（1+i1+i）-(F/A,4,i) =-(F/A,4,i) =（1+i1+i）4 4 -1-1l(F/A,4,i)(F/A,4,i)（1+i-11+i-1）= =（1+i1+i）4 4 -1-1iiiAF1)1 (), 4 ,/(4l即即1 1元的普通年金終值系數。表示利率為元的普通年金終值系數。表示利率為i i時，時，1 1元普通年金在元普通年金在n n期后的終值。

24、期后的終值。l【例例5 5】企業連續每年末存款企業連續每年末存款10001000元，按元，按10%10%的復利計息，第的復利計息，第1010年末可以一次取出本利和年末可以一次取出本利和為多少？為多少？l根據題意：年金根據題意：年金A A1000 1000 期數期數n n10 10 利率利率i i10%10%l則：則：F FA AA A （1 1i i）n n1/i1/i A A（F FA A/A/A，10%10%，1010） 1000100015.93715.9371593715937（元）（元）2 2、年償債基金的計算、年償債基金的計算年償債基金又叫積累基金，是指已知年金年償債基金又叫積累基

25、金，是指已知年金終值終值F FA A ，求年金，求年金A A的過程，它是年金終值的過程，它是年金終值的逆運算，亦屬于已知整取求零存的問題。的逆運算，亦屬于已知整取求零存的問題。根據年金終值公式可知：根據年金終值公式可知：lA A F FA A （1 1i i）n n1/i 1/i F FA A （F FA A/A/A，i i，n n） 該系數可用年金終值系數的倒數求出來。該系數可用年金終值系數的倒數求出來。 l【例例6 6】企業準備在企業準備在1010年內每年末存入銀年內每年末存入銀行一筆錢，以便在第行一筆錢，以便在第1010年末歸還一筆到年末歸還一筆到期期100100萬元的債務。如果存款的年

26、利率為萬元的債務。如果存款的年利率為10%10%，請問每年末至少應存入銀行多少資，請問每年末至少應存入銀行多少資金？金？l據題意：據題意：F FA A100100萬元萬元 i i10% n10% n1010l則年金則年金:A:AF FA A （1 1i i）n n1/i 1/i F FA A （F FA A/A/A，10%10%，1010） 10010015.93715.9376.2756.275萬元萬元l答：每年末至少存入銀行答：每年末至少存入銀行6.2756.275萬元。萬元。 3 3、普通年金現值計算、普通年金現值計算普通年金現值簡稱年金現值，記作普通年金現值簡稱年金現值，記作P PA

27、A 。普通年金現值是指每期后收（付）等額普通年金現值是指每期后收（付）等額款項復利現值之和，計算公式：款項復利現值之和，計算公式：lP PA A A A 11（1 1i i）n n i il 其中其中11（1 1i i）n n/i/i 被稱為被稱為年金現年金現值系數或一元的年金現值值系數或一元的年金現值，用符號，用符號（P PA A/A /A ，i i，n n）表示，附表表示，附表4 4為年金現值為年金現值系數表。系數表。l【例例7 7】企業準備連續企業準備連續1010年在每年末取出年在每年末取出10001000元，按元，按10%10%的復利計息，問現在一次需的復利計息，問現在一次需支付的款項

28、為多少？支付的款項為多少？l根據題意：根據題意：A A1000 n1000 n10 i10 i10%10%l則則:P:PA A A A11（1 1i i）n n/i/i A A（P PA A/A /A ，10%10%，1010） 100010006.1456元）（元）l答：現在一次需支付答：現在一次需支付61456145元。元。 4 4、年回收額的計算、年回收額的計算l年回收額的計算是年金現值計算的逆運年回收額的計算是年金現值計算的逆運算，即已知年金現值算，即已知年金現值P PA A，求年金，求年金A A，也就，也就是已知整存求零取的問題。根據年金現是已知整存求零取的

29、問題。根據年金現值公式可知：值公式可知：lA A P PA A 11（1 1i i）n n/i/i P PA A （P PA A/A /A ，i i，n n） 該系數可用年金現值系數倒數求出來。該系數可用年金現值系數倒數求出來。 【例例8 8】企業準備投資企業準備投資100100萬元，該項目預萬元，該項目預 計有效年限為計有效年限為1010年，若企業期望的報酬率為年，若企業期望的報酬率為10%10%，計算企業至少每年末要從該項目中獲，計算企業至少每年末要從該項目中獲得多少報酬才合算？得多少報酬才合算？l據題意：據題意：P PA A 100100萬元萬元 i i10% n10% n1010l則年

30、金則年金A A P PA A 11（1 1i i）n n/i/i P PA A （P PA A/A /A ，10%10%，1010） 1001006.1456.14516.27416.274l答：企業每年末應獲得答：企業每年末應獲得16.27416.274萬元才合算。萬元才合算。 二、預付年金二、預付年金l 預付年金是指收入或支出發生在每期期預付年金是指收入或支出發生在每期期初，也叫先付年金，記作初，也叫先付年金，記作A A。1 1、預付年金終值計算、預付年金終值計算l 預付年金終值是指每期先收（付）等額預付年金終值是指每期先收（付）等額款項復利終值之和。記作款項復利終值之和。記作FFA A

31、l 預付年金終值計算和普通年金計算相比預付年金終值計算和普通年金計算相比, ,差一個計息期，可以根據普通年金終值計差一個計息期，可以根據普通年金終值計算公式加以調整，所以，預付年金終值計算公式加以調整，所以，預付年金終值計算公式為：算公式為：l預付年金終值計算公式為：預付年金終值計算公式為：lFFA AAA （1 1i i）n n1 1 1/ i 11/ i 1 AA （F FA A /A /A，i i，n n1 1）11l或或 AA （1 1i i）n n 1/ i1/ i（1 1i i） AA （F FA A /A /A，i i，n n）（1 1i i） l即即:n:n期的預付年金終值系數

32、等于期的預付年金終值系數等于n+1n+1期的普期的普通年金終值系數減通年金終值系數減1 1。或等于。或等于n n期的普通年期的普通年金終值系數乘以金終值系數乘以1+i1+i。【例例9 9】企業連續每年初存款企業連續每年初存款10001000元，按元，按10%10%的復利計息，第的復利計息，第1010年末可以一次取出本利年末可以一次取出本利和為多少？和為多少？l根據題意：根據題意：AA1000 n1000 n10 i10 i10%10%l則：則：FFA A AA （F FA A /A /A，i i，n n1 1）11 10001000（F FA A/A,10%,11/A,10%,11）1 1 1

33、0001000（18.531-1)18.531-1) 1753117531（元）（元）l答：第答：第1010年末可取出年末可取出1753117531元。元。2 2、預付年金現值計算、預付年金現值計算l是指每期先收（付）等額款項復利現值之和。是指每期先收（付）等額款項復利現值之和。記作記作PPA Al預付年金現值計算同樣可以根據普通年金現預付年金現值計算同樣可以根據普通年金現值計算公式加以調整，預付年金現值計算公值計算公式加以調整，預付年金現值計算公式為：式為：lPPA AAA11（1 1i i）(n(n1)1)/ i / i 11 AA （P PA A /A /A，i i，n n1 1）11l

34、或或 AA11（1 1i i）n n/ i / i （1 1i i） AA （P PA A /A /A，i i，n n）（1 1i i） l即：即：n n期的預付年金現值系數等于期的預付年金現值系數等于n n1 1期的普期的普通年金現值系數加通年金現值系數加1 1。或等于。或等于n n期的普通年金期的普通年金現值系數乘以現值系數乘以1+i1+i。【例例1010】企業準備現在一次投入一筆資金，企業準備現在一次投入一筆資金，以后連續以后連續1010年每年初可取得年每年初可取得10001000元，按元，按10%10%的復利計息，問現在一次需支付的款的復利計息，問現在一次需支付的款項為多少？項為多少？

35、l根據題意：根據題意：AA1000 n1000 n10 i10 i10%10%l則：則：PPA A AA （P PA A /A /A，i i，n n1 1）+1+1 10001000（P PA A/A,10%,9/A,10%,9）+1+1 10001000（5.759+15.759+1） 67596759（元）（元）l答：現在一次需支付答：現在一次需支付67596759元。元。 三、遞延年金現值計算三、遞延年金現值計算l遞延年金是指在第一期以后（從遞延年金是指在第一期以后（從0 0期隔期隔S S期）期）才發生的年金，也叫延期年金，記作才發生的年金，也叫延期年金，記作AA。l遞延年金終值不受遞延

36、期的影響，計算方法遞延年金終值不受遞延期的影響，計算方法與普通年金終值相同。與普通年金終值相同。l遞延年金現值有兩種方法遞延年金現值有兩種方法: :l(1)(1)先算出普通年金現值（先算出普通年金現值（n-sn-s) )，再將其從遞，再將其從遞延期延期(s)(s)按復利現值系數折算至現在；按復利現值系數折算至現在；l(2)(2)算出包括遞延期在內的年金現值算出包括遞延期在內的年金現值(n)(n)，減，減去按遞延期計算的年金現值去按遞延期計算的年金現值(s)(s)。即：。即： 遞延年金現值的計算公式：遞延年金現值的計算公式：PPA A AA11（1 1i i）(n(ns)s) /i /i （1 1i i）- -s s AA(