1、一級倒立擺系統仿真及分析1.摘要本次課程設計，我們小組選擇一級倒立擺系統作為物理模型，首先通過物理分析建立數學模型，得到系統的傳遞函數，通過對傳遞函數的極點，根軌跡，單位階躍響應來分析系統穩定性。建立狀態空間模型，利用matlab進行能控能觀性分析，輸入階躍信號，分析系統輸出響應。通過設定初始條件，查看系統穩定性，利用simulink繪制系統狀態圖。再對系統進行極點配置，進行狀態反饋，使得系統在初始狀態下處于穩定狀態，并繪制系統狀態圖。2.;3. 課程設計目的3.倒立擺系統是一個經典的快速、多變量、非線性、絕對不穩定系統，是用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案。倒立擺控制理論產生的方法和技術在

2、半導體及精密儀器加工、機器人技術、導彈攔截控制系統和航空器對接控制技術等方面具有廣闊的開發利用前景。因此研究倒立擺系統具有重要的實踐意義。4. 課程設計題目描述和要求本次課程設計我們小組選擇環節項目三：系統狀態響應、輸出響應的測量。<環節目的：1. 利用MATLAB分析線性定常系統。2. 利用SIMULINK進行系統狀態空間控制模型仿真，求取系統的狀態響應及輸出響應。環節內容、方法：1. 給定系統狀態空間方程，對系統進行可控性、可觀性分析。并利用SIMULINK繪制系統的狀態圖，求取給定系統輸入信號和初始狀態時的狀態響應及輸出響應。2. 給定兩個系統的狀態空間模型，分別求兩個系統的特征值

3、；將兩個系統的系統矩陣化為標準型；求出給定系統初始狀態時，狀態的零輸入響應；求兩個系統的傳遞函數并分析仿真結果。4.課程設計報告內容數學模型的建立及分析對于倒立擺系統，由于其本身是自不穩定的系統，實驗建模存在一定的困難。但是經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統就是一個典型的運動的剛體系統，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型。在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如下圖1所示我們不妨做以下假設：M小車質量、m擺桿質量、b小車摩擦系數、I擺桿轉動軸心到桿質

4、心的長度、I擺桿慣、F加在小車上的力、x小車位置、©擺桿與垂直向上方向的夾角、e擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。1)圖2，圖3分別是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向：p圖2小車隔離受力圖圖3擺桿隔離受力圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程MX二F-bx-N由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：G+1sin0)N=mx+ml0cos0一ml02sin02）把這個等式代入上式中，就得到

5、系統的第一個運動方程：(m+M)x+bX+mCcos0一ml02sin0)=（3）為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析可以得到下面方程：即：P一mg=m(lcos0)dt2P一mg=一ml0sin0一ml02cos0(4)力矩平衡方程如下：一Plsin0一Nlcos0=I0（5）方程中力矩的方向，由于0=k+,cos©=-cos0,sin=-sin0,故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二個運動方程：（+ml21+mglsin0=一mlxcos0(6)>設0=兀+©（©是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設

6、9;與I（單位是弧度）相比很小，即©1,則可以進行近似處理：cos0=-1,sin0=-©,d=0（dt丿用u代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下：G+ml2一mgl©=mix(M+mx)+bx-ml©=u(7)傳遞函數建立及分析對方程組(7)進行拉普拉斯變換，得到：JY+ml22一mgl(s)=mlX(s)s2(8)I(M+m)X(s)s2+bX(s)s一mlO(s)s2=U(s)注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0。由于輸出為角度©，求解方程組的第一個方程，可以得到:X(s)=得到：(9)把上式代入方程組(8)的第二(M+m)+

7、ml2ml©(s)s2+b+ml2mlgS2(11)&©(s)sm(10)整理后得到傳遞函數：C)U(S)=+ml2)s3一mls2+mbmgls2一sqq其中q=(m+M)C+ml)_(ml實際的系統模型如下：M小車質量Kgm擺桿質量Kgb小車摩擦系數0.1N/m/sec*l擺桿轉動軸心到桿質心的長度I擺桿慣量kg*m*mT采樣頻率秒將參數代入(11)中，求得q=,(s)_2.35655s2U()_s4+0.0883167s3-27.83s-2.31s#利用MATLAB求出該傳遞函數的極點為:s1=s2=S3=s4=0由此可以看出存在正極點，故系統不穩定。對該系統

8、輸入單位階躍信號，其輸出信號為：clearnum=00den=10g=tf(num,den)y,t,x=step(g)plot(t,y)0.40.3503250.1Q.05020-05D.10-15D.2D.250.3D.350.40.45再利用用MATLAB繪制出根軌跡:clearnum=00den=10rlocus(num,den)k,poles=rlocfind(num,den);根軌跡如下圖所示通過對傳遞函數的分析，可知該系統是不穩定的，需要添加控制器來控制系(12)統使其穩定。狀態空間結構方程建立及分析系統狀態空間方程為x=AX+Buy=CX+Dn方程組（）對X,d解代數方程，得到解

9、如下:x=x.G+ml2)m2gl2G+ml2)X=X+Q+uAM+m丿+Mml2IXM+m丿+Mml2IXM+m丿+Mml2Q=Q一mlb.mgl(M+m)丄Q=f)x+Q+uIM+m)+Mml2I(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml2(13)ml-0100_01x00-(I+ml2)bm2gl200xI+ml2xI(M+m)+Mml2I(M+m)Mml2x-I(M+m)+Mml2Q0001Q+0Q_0一mlbmgl(M+m)0QmlI(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml2-I(M+m)+Mml2整理后得到系統狀態空間方程：u14)x1x10001x01y=_Q_0000_Q+_0_

10、LQJu15）由公式的第一個方程為：G+ml2乂一mglQ=mlX(16)對于質量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡得到：ml2+ml2e13丿mgie=mix_竺e+-x4l4l，u'-_x，則有x01001-x0000ee_000103g0_Y_0石-xx+e設x=x,e,e4l把上述參數代入，可以得到系統的實際模型擺桿角度和小車位移的傳遞函數：(s)_Xt)-0.0102125s2-0.267050.0275s2擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為C)_V(s)0.0102125s20.267050.02725擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(s)_U(s)s4+0.08

11、83167s3-27.83s-2.31s2.35655s2(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)以外界作用力作為輸入的系統狀態方程：x0100ixx0-0.08831670.6293170x00010-0.22565527.828500x100000100.8831672.35655(24)以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：u1x0x00_e_0xiy=100000029.410-0025)首先我們對以小車加速度作為輸入的系統狀態方程25）式進行能控能觀性分析。29.4Qi利用matlab對系統進行仿真求系統能觀能控性代碼：A=0,1,0,0,;0,0,0,0;0,0,0,

12、1;0,0,0;B=0;1;0;3;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;0;Qc=ctrb(A,B);n=rank(Qc);if(n=4),disp('系統能控');else,disp('系統不能控');endQo=obsv(A,C);m=rank(Qo);if（m=4）,disp（'系統能觀'）;else,disp（'系統不能觀'）;End運行結果如下：<系統能控系纟莖能觀利用matlab中的simulink繪制系統狀態圖$現在我們向系統輸入單位階躍信號，利用matlab仿真觀察系統單位階躍響應。代碼：A=0,1,

13、0,0,;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0;B=0;1;0;3;C=1,0,0,0;0,0,1,0;#D=0;0;step(A,B,C,D)運行結果如下：Ms電代們遠里1口囲CFFi-gure1fileEditViewnG&rtTooIfDecktcip世indowHElp邑弓口口一)由此可以看出輸出的x與©均偏向于無窮大，故可以看出系統是不穩定的。給系統一個初始狀態x0=3;0;2;0,利用matlab仿真求出系統輸出響應代碼：A=0,1,0,0,;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0;|B=0;1;0;3;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;0;x

14、0=3;0;2;0;sys=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(sys,x0,0:5);plot(t,x);運行結果如下：20：f52.534.553.5<FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp創u白c由上文得出該系統的極點為:s1=s2=S3=由于存在正極點，故引起該系統的不穩定，現利用極點配置法來重修配置系統極點，使系統能夠處于穩定狀態。對于直線一級倒立擺的極點配置轉化來說：要按上述系統設計控制器。則要求具有較短，約3s的調整時間和合適的阻尼比g=.要使系統具備能控，能觀且易驗證。步驟為：計算特征值。根據要求，設調整時間為3s

15、，并留有一定的余量，選擇期望的閉環極點：s=口i（i=1，2，3，4）,其中：u=-10,u=-10,u=-2+2：'3j，u=223j，其中口3，口4是一對具有g1234J=，3n=4的主導閉環極點。口1，口2位于主導閉環極點的左邊，其影響較小，因此期望的特征跟方程為：(25)s4+24s3+196s2+720s+1600=0由此得到：a24,a=196,a=720,a=16001234系統的特征方程為：s100110s0000s-1|_0029.4s=s4-29.4s2si-A=(31)(27)因此a=0,a=-29.4,a=0,a=01234系統的反饋增益矩陣為：aaaa'

16、;aafat-i44132211確定使狀態方程變為可控標準型的變換矩陣T=MW,于是可得:K=afABA2BA3bL88.2(28)088.20'o29.401029.4010ai11001001000_1000_3(30)-0.0S400.01130=10-0.03400.0113-0000.3333_控制量為IK=a呂4呂呂-a2aaJT'1二卩00-0720-0196+29.424-0TL=-54.4218-24.489893.273916.1633狀態反儻壇益矩陣為：KX=54.4218k+24.45&5x-93.2739心16丄£33電下面我們利用matlab對極點配置狀態反饋系統進行仿真代碼：A=0,1,0,0,;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0;B=0;1;0;3;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;0;x0=10;0;0;p=-10-10-2+;K=acker(A,B,p);A_c=A-B*K;sys=ss(A_c,B,C,D);y,t,x=initial(sys,x0,0:5);plot(t,x);運行結果：進行極點