1、空間解析幾何 一、向量代數一、向量代數二、空間解析幾何二、空間解析幾何1 1、向量的概念、向量的概念定義定義: :既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量. .相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同負向量負向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向徑向徑: :起點為原點起點為原點零向量零向量:模為模為0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的長度向量的長度(大小大小)單位向量單位向量:模為模為1的向量的向量一、向量代數一、向量代數（2向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaa

2、zyxkajaiaazyx在三個坐標軸上的分向量：在三個坐標軸上的分向量：kajaiazyx,（3向量的坐標表示式：向量的坐標表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,2 2、向量的表示法、向量的表示法（1有向線段有向線段 (模和方向余弦）模和方向余弦）(1)加法：cba 3 3、向量的線性運算、向量的線性運算dba ab(2)減法：cba dba (3)(3)向量與數的乘法：向量與數的乘法：, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |aa 線性運算的坐標表達式線性運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbababa

3、ba ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式)1coscoscos(222 4 4、數量積、數量積 cos|baba zzyyxxbabababa 數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余

4、弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式aprjbbprjaba0baaaa2(1) 交換律(2) 結合律),(為實數abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba定義：向量方向 :(叉積)記作且符合右手規則模 :向量積 ,，的夾角為設ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba 幾何意義：右圖三角形面積abba21S為非零向量, 那么aa) 1 (0ba,)2(0baba運算律運算律(2) 分配律(3) 結合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy

5、)()()(向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式ba zyxzyxbbbaaakjiba bazzyyxxbababa0ba解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj22343cos322)2(17例例3. 已知向量已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22c

6、os2bbaa17ba, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如下圖如下圖,CBAS ABC21kji222124)(21,4,622222)6(4211421ACAB求三x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o1 1、空間直角坐標系、空間直角坐標系空間的點空間的點有序數組有序數組),(zyx二、空間解析幾何二、空間解析幾何 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為兩點間距離公式兩點間距離公式: :點到平面的距離公式：點到平面的距離公式：的距離為到平面點0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAx

7、d（1 1旋轉曲面旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面一周所成的曲面. .這條定直線叫旋轉曲面的軸這條定直線叫旋轉曲面的軸. .2 2、曲面、曲面.),(對對應應與與三三元元方方程程空空間間曲曲面面0zyxFS方程特點方程特點: :0),()2(0),() 1 (00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線設有平面曲線設有平面曲線（2 2） 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平

8、行于定直線并沿定曲線C C移動的直線移動的直線L L所形成的曲面所形成的曲面. .這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫的準線，動直線叫柱面的母線柱面的母線. .從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征：zyx),(1222222為正數cbaczbyax(3) 二次曲面二次曲面zqypx2222 橢圓拋物面( p , q 同號) 雙曲拋物面鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx單葉雙曲面單葉雙曲面zxy),(1222222為正數cbaczbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczby

9、axzxyo3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF（1 1） 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx（2 2） 空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程空間平面空間平面一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 4. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量 當當 D = 0 D = 0 時時, A x + B y + C z , A x + B y + C z

10、 = 0 = 0 表示表示 通過原點的平面通過原點的平面; 當當 A = 0 時時, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn解解: : 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得

11、BC3化簡,得所求平面方程03 zy為直線的方向向量.一般式對稱式參數式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點; 解解: :先在直線上找一點先在直線上找一點. .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線的對稱式方程為參數式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: :先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji241312zyx與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數方程化直線方程為參數方程代入平面方程得 1t從而確定交點為1，2，2）.tztytx2432t面與面的關系面與面的關系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn ,1111111pzzny