1、第15章 結構的穩定計算15-1 兩類穩定問題概述15-2 兩類穩定問題計算簡例15-3 有限自由度體系的穩定靜力法和能量法15-4 無限自由度體系的穩定靜力法15-5 無限自由度體系的穩定能量法15-6 無限自由度體系穩定的常微分方程求解器法15-7 剛架的穩定矩陣位移法15-8 組合桿的穩定15-9 拱的穩定15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析15-11 用求解器求臨界荷載和失穩形態（略）15-12 小結15-1 兩類穩定問題概述穩定平衡狀態：受到輕微干擾偏離原來位置，在干擾消穩定平衡狀態：受到輕微干擾偏離原來位置，在干擾消 失后，能回到原來的平衡位置。失后，能回到原來的平衡位置

2、。不穩定平衡狀態：受到輕微干擾偏離原來位置，在干擾不穩定平衡狀態：受到輕微干擾偏離原來位置，在干擾 消失后，繼續偏離。消失后，繼續偏離。中性平衡狀態：由穩定平衡到不穩定平衡過渡的中間狀中性平衡狀態：由穩定平衡到不穩定平衡過渡的中間狀態。態。失穩：隨著荷載的逐漸增大，結構的原始平衡位置可能失穩：隨著荷載的逐漸增大，結構的原始平衡位置可能 有穩定平衡狀態轉化為不穩定平衡狀態。有穩定平衡狀態轉化為不穩定平衡狀態。15-1 兩類穩定問題概述1 分支點失穩分支點失穩FP1Pcr時，壓桿可能處于時，壓桿可能處于直線的平衡狀態。直線的平衡狀態。 曲線的平衡狀態。曲線的平衡狀態。分支點：兩條平衡分支點：兩條平

3、衡路徑的交點。路徑的交點。15-1 兩類穩定問題概述15-1 兩類穩定問題概述2 極值點失穩極值點失穩在荷載極值點處，平衡路徑由穩定平衡變為不穩定平衡。在荷載極值點處，平衡路徑由穩定平衡變為不穩定平衡。特征：平衡形式不出現分支現象。特征：平衡形式不出現分支現象。15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析（1）按大撓度理論）按大撓度理論傾斜位置的平衡條件為傾斜位置的平衡條件為PR( sin )( cos )0F lF l15-2 兩類穩定問題計算簡例1 1 單自由度完善體系的分支點失穩單自由度完善體系的分支點失穩15-2兩類穩定問題計算簡例考慮考慮RsinFkl得得P(cos ) sin0F

4、kll0PcosFkl第一個解：第一個解：第二個解：第二個解：A點為分支點。點為分支點。PcrFkl路徑路徑的平衡是不穩定平衡。的平衡是不穩定平衡。穩定驗算時，通常考慮初始缺陷，按不完善體系進行。穩定驗算時，通常考慮初始缺陷，按不完善體系進行。15-2兩類穩定問題計算簡例（2）按小撓度理論）按小撓度理論1若若則傾斜位置的平衡條件為則傾斜位置的平衡條件為PR0F lF lPFkl得得路徑路徑的平衡是隨遇平衡。的平衡是隨遇平衡。 小撓度理論能夠給出臨界荷載的正確結果，不能小撓度理論能夠給出臨界荷載的正確結果，不能反映傾角較大時，平衡路徑反映傾角較大時，平衡路徑的下降趨勢。的下降趨勢。15-2兩類穩

5、定問題計算簡例（1）按大撓度理論）按大撓度理論平衡條件為平衡條件為PRsin()cos()0F lF lPsincos() 1sin()Fkl2 2 單自由度非完整體系的極值點失穩單自由度非完整體系的極值點失穩15-2兩類穩定問題計算簡例Psincos() 1sin()Fkl解得解得15-2兩類穩定問題計算簡例13sin()sin2332Pcr(1 sin)Fkl由由Pd0dF得得解得解得非完善體系的失穩形式是極值失穩。非完善體系的失穩形式是極值失穩。15-2兩類穩定問題計算簡例（2）按小撓度理論）按小撓度理論若若1,1得平衡條件為得平衡條件為PFklPcrFkl解得解得與大撓度理論相比，對于

6、非完整體系，小撓度理論未與大撓度理論相比，對于非完整體系，小撓度理論未能給出臨界荷載會逐漸減小的結論能給出臨界荷載會逐漸減小的結論15-2兩類穩定問題計算簡例一般來說，完善體系是分支點失穩，非完善體系一般來說，完善體系是分支點失穩，非完善體系是極值點失穩。是極值點失穩。分支點失穩的特征是在交叉點出現平衡形式的二分支點失穩的特征是在交叉點出現平衡形式的二重性。重性。極值點失穩形式的特征是雖然只存在一個平衡路極值點失穩形式的特征是雖然只存在一個平衡路徑，但平衡路徑上出現極值點。徑，但平衡路徑上出現極值點。結構穩定問題只有根據大撓度理論才能得出精確結構穩定問題只有根據大撓度理論才能得出精確結論。結論

7、。小撓度理論在分支點失穩問題中通常能得出臨界小撓度理論在分支點失穩問題中通常能得出臨界荷載的正確值。荷載的正確值。3 幾點認識幾點認識15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析確定臨界荷載的方法確定臨界荷載的方法靜力法：根據臨界狀態的靜力特征提出的方法。靜力法：根據臨界狀態的靜力特征提出的方法。能量法：根據臨界狀態的能量特征提出的方法。能量法：根據臨界狀態的能量特征提出的方法。15-3 有限自由度體系的穩定靜力法和能量法15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法 在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，確定二者的在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，確定二者的交叉點，求出臨界荷載。交叉點，求出臨

8、界荷載。新平衡位置的平衡條件為新平衡位置的平衡條件為P0AF lMPcrkFl考慮考慮AMk得得1 1 靜力法靜力法15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法 在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，應用新平衡在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，應用新平衡狀態的勢能駐值條件，求出臨界荷載。狀態的勢能駐值條件，求出臨界荷載。彈簧應變能為彈簧應變能為212VkPPP2P(1 cos )2VFF lF l 荷載勢能為荷載勢能為體系的勢能為體系的勢能為2PPP1()2EVVkF l2 能量法能量法15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法P()0kF lPd0dE應用勢能駐值條件：應用勢能駐值條件：得得P

9、crkFl取非零解，得取非零解，得2PPP1()2EVVkF l討論勢能討論勢能是位移是位移的二次拋物線的二次拋物線臨界狀態的能量特征：勢能臨界狀態的能量特征：勢能為駐值，且位移有非零解。為駐值，且位移有非零解。15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法FPk/l 勢能勢能EP恒為負，體系在原恒為負，體系在原始平衡狀態時，勢能為極大。始平衡狀態時，勢能為極大。原始平衡狀態是不穩定的。原始平衡狀態是不穩定的。15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法 例例15-1 試用兩種方法求圖示體系的臨界荷載試用兩種方法求圖示體系的臨界荷載FPcr。解解 (1)靜力法靜力法變形狀態的平衡條件為變形狀態的平衡

10、條件為P11P2()P22P1()0()200()20CCBBF yMky llF ylF yMky llF yl左右15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法即即P1P2P1P2(2)0(2)0klFyF yF yklFyPPPP202klFFFklF由由得兩個特征值得兩個特征值P1P23klFFklPcrmin(,)33klklFkl最小的特征值為臨界荷載最小的特征值為臨界荷載15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法將將PP2FFkl代入變形狀態的平衡方程，得代入變形狀態的平衡方程，得12yy將將PP13FFkl代入變形狀態的平衡方程，得代入變形狀態的平衡方程，得12yy 特征向量特征向

11、量特征向量特征向量15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法（2）能量法）能量法D點的水平位移為點的水平位移為222221212112211()()2yyyyyy yyll 彈性支座的應變能為彈性支座的應變能為2212()2kVyy15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法 荷載勢能為荷載勢能為22PPP1122()FVFyy yyl 體系的勢能為體系的勢能為2222PPP12112222P1P12P2()()212222FkEVVyyyy yylklFyF y yklFyl 應用勢能駐值條件應用勢能駐值條件PP1200EEyy15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法得得P1P2P1P220

12、20klFyF yF yklFy勢能駐值條件等價于位移表示的平衡方程。勢能駐值條件等價于位移表示的平衡方程。能量法求多自由度體系臨界荷載能量法求多自由度體系臨界荷載FPcr的步驟：的步驟：（1）寫出勢能表達式，建立勢能駐值條件。）寫出勢能表達式，建立勢能駐值條件。（2）應用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出）應用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出荷載的特征值荷載的特征值FPi。（3）FPcr=minFPi。15-3有限自由度體系的穩定靜力法和能量法討論勢能討論勢能EP的正定性的正定性222PPPPP122PP32222yklFklFklFFEyylklFklF序號序號FP特性特性（1）

13、FPkl/3正定正定（2）FP =kl/3半正定半正定（3）kl/3 FP kl不定不定（4）FP =kl半負定半負定（5）FP kl負定負定15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析15-4 無限自由度體系的穩定靜力法與有限自由度體系的區別：平衡方程是微分方程與有限自由度體系的區別：平衡方程是微分方程2RFyyxEI 2PFEI RPcossinFyAxBxxF2PR2d()dyEIMF yF xx 彈性曲線的微分方程彈性曲線的微分方程改寫為改寫為其中其中解解15-4 無限自由度體系穩定靜力法RPRPsin0cos0FBllFFBlFsin0cos1llDltan ll2Pcr22(4.

14、493)20.19EIEIFll引入邊界條件，得引入邊界條件，得非零位移條件非零位移條件展開，得展開，得15-4 無限自由度體系穩定靜力法 例例15-2 試求圖示排架的臨界荷載和柱試求圖示排架的臨界荷載和柱AB 的計算長度。的計算長度。解解233EIkl 在臨界狀態下，彈性曲線的微分方程為在臨界狀態下，彈性曲線的微分方程為21PR2d()dyEIF yF xx 彈性支座的剛度系數彈性支座的剛度系數15-4 無限自由度體系穩定靜力法并可改寫為并可改寫為2R1FyyxEI2P1FEIRPcossinFyAxBxxF其中其中上式的解為上式的解為RPsinFBllF RPcos0FBlFRFk 引入邊

15、界條件，得引入邊界條件，得RRPsin0FFBllFkRPcos0FBlFR1sin01cosPllFklF313tanlEIllkl15-4 無限自由度體系穩定靜力法討論討論（1）I2=0，k=0tanll 因因EI1為有限值，故為有限值，故tan l 方程最小根為方程最小根為2l21Pcr22EIFl計算長度為計算長度為02ll（2）I2=，k= tan0ll4.493l211Pcr2220.190.7EIEIFll00.7ll方程最小根為方程最小根為計算長度為計算長度為15-4 無限自由度體系穩定靜力法（3）0,),4.493)2kl若若I2=I1，k=3EI1/l33tan3lll21

16、Pcr21.42EIFl計算長度為計算長度為01.42ll用試算法求得用試算法求得2.21l15-4 無限自由度體系穩定靜力法 例例15-3 試求圖示階形柱的特征方程。試求圖示階形柱的特征方程。 解解 彈性曲線微分方程彈性曲線微分方程211P112222P21200d yEIF yxldxd yEIF ylxldx0改寫為改寫為211112222100yyxlyylxl015-4 無限自由度體系穩定靜力法1111122222sincossincosyAxBxyAxBx式中式中22PP1212,FFEIEI解為解為引入邊界條件，由非零解條件，得引入邊界條件，由非零解條件，得11 12 22tan

17、tanll2121100.5EIEIlll若若則則2211Pcr2213.95325.332EIEIFll15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析15-5 無限自由度體系的穩定能量法令壓桿的變形曲線為令壓桿的變形曲線為 1niiiyax彎曲應變能為彎曲應變能為 202011d21d2lnliiiVEI yxEIaxx以圖示體系為例說明與與FP相應的位移相應的位移2001d() d2llyx15-5 無限自由度體系的穩定能量法PP22P001111( )d( )d22nnlliiiiiiEVVEIaxxFaxx荷載勢能為荷載勢能為2pPP011( )d2nliiiVFFaxx 體系的勢能為

18、體系的勢能為由勢能駐值條件，得由勢能駐值條件，得P1d0(1,2, )(158)njijjaEIFxin 15-5 無限自由度體系的穩定能量法令令dijijKEIx PdijijSFx 10(1,2, )nijijjjksain則則矩陣形式為矩陣形式為11121111211212222122221212000nnnnnnnnnnnnnKKKSSSaKKKSSSaaKKKSSS 15-5 無限自由度體系的穩定能量法KS a()00KS簡寫成簡寫成由非零解條件，得由非零解條件，得最小根即為臨界荷載最小根即為臨界荷載15-5 無限自由度體系的穩定能量法例例15 試用能量法求圖示兩端簡支的試用能量法求

19、圖示兩端簡支的中心受壓柱臨界荷載。中心受壓柱臨界荷載。解解 （1）假設撓曲線為拋物線）假設撓曲線為拋物線 124 ()x lxyal124(2 )aylxl 128ayl 求得求得223101d322lVEI yxEI al22P1PP081d23lF aVFyxl 15-5 無限自由度體系的穩定能量法221P1P3283EIaF aEll由勢能駐值條件，得由勢能駐值條件，得P13166403FEIallPcr331264163EIEIFlll由非零解條件，得由非零解條件，得15-5 無限自由度體系的穩定能量法（2）取跨中橫向集中力作用下的撓曲）取跨中橫向集中力作用下的撓曲 線作為變形曲線線作

20、為變形曲線2lx 2 3222001dd296llF lVEI yxEI yxEI求得求得2 5222PpPP22001dd2960llF F lVFyxFyxE I crp210EIFl2214162FxlMFyyxEIEIEI ，若若則則15-5 無限自由度體系的穩定能量法sinxyal(3)假設撓曲線為正弦曲線假設撓曲線為正弦曲線22sinxyall cosxyall 442222001dsind224llEIaxlVEI yxxEIalll222222PPPP00dcosd224llFFxlVyxaxF alll cr2p2EIFl15-5 無限自由度體系的穩定能量法（4）討論）討論撓

21、曲線為拋物線時，誤差最大，因其與實際曲線差撓曲線為拋物線時，誤差最大，因其與實際曲線差別太大；別太大；橫向集中力下的撓曲線，誤差小，因其與實際曲線橫向集中力下的撓曲線，誤差小，因其與實際曲線接近；接近；正弦曲線是失穩的真實變形曲線，求得的是精確解。正弦曲線是失穩的真實變形曲線，求得的是精確解。15-5 無限自由度體系的穩定能量法例例15-5 試求圖示結構的臨界荷載。試求圖示結構的臨界荷載。解解 假設變形曲線為假設變形曲線為sin2xyal2024422430d2sind23264llEIVyxEIaxEIaxlll應變能為應變能為15-5 無限自由度體系的穩定能量法體系的總勢能為體系的總勢能為

22、4222PP30.149648EIaEVVVWqal2cr338.278 0.149EIEIqll與精確解相比，誤差為與精確解相比，誤差為5.5%外力作的功外力作的功22222220010.149dcosd2288llqaxWqx yxxxqall15-5 無限自由度體系的穩定能量法例例156 試求圖示兩端簡支變截面壓桿的臨界荷載。試求圖示兩端簡支變截面壓桿的臨界荷載。解解 （1）設變形曲線為）設變形曲線為1sinxyal 202004221420131d21442sind0.9342llVEI x yxEIxxllxaxllEIal15-5 無限自由度體系的穩定能量法2PPP022222P1

23、P101d2cosd24llVFFyxFxaxFalll 20cr21.868EIFl15-5 無限自由度體系的穩定能量法（2）設變形曲線為）設變形曲線為133sinsinxxyaall 2200024134422011331d144223sin9sind0.9341.3768.42llEIxxVEI x yxllxxaaxlllEIlaa aal15-5 無限自由度體系的穩定能量法2PpP022P130222P13d23sin3sind294llFVFyxFxxaaxlllFaal 由駐值條件，得由駐值條件，得2P13202P13201.8681.3701.37136.890F laaEIF

24、 laaEI15-5 無限自由度體系的穩定能量法由非零解條件，得由非零解條件，得2P202P201.8681.3701.37136.89F lEIF lEI其展開式為其展開式為222PP220017.0528.20F lF lEIEI求出最小根，即得出臨界荷載求出最小根，即得出臨界荷載20Pcr21.85EIFl兩次計算結構非常接近兩次計算結構非常接近15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析15-6 無限自由度體系穩定的常微分方程求解器法 例例157 計算圖示兩段變截面柱的臨界荷載。計算圖示兩段變截面柱的臨界荷載。上下段剛度比越小，臨界荷載越小。上下段剛度比越小，臨界荷載越小。15-10

25、 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析157 剛架的穩定矩陣位移法1 壓桿的形狀函數壓桿的形狀函數11213242yeyFFFMFFFFM11122342evaaava 15-7剛架的穩定矩陣位移法 231234y xcc xc xc x設位移曲線為設位移曲線為由邊界條件得由邊界條件得1112cvc11223223231cvvllll 1122432322131cvvllll 15-7剛架的穩定矩陣位移法代入位移表達式中，得代入位移表達式中，得 2312321223323241 321 2321xxy xallxxallxxallxxall 41iiiy xax或寫成或寫成15-7剛架的穩定矩陣

26、位移法PPEVV 24200111dd22lliiiVEI yxxEIaxx 242PPP0011dd22lliiiFVFyxxaxx 2 壓桿單元的剛度矩陣與幾何剛度矩陣壓桿單元的剛度方程為壓桿單元的剛度方程為eeeeFKS eK通常的剛度矩陣；通常的剛度矩陣；eS幾何剛度矩陣，表示軸力對剛度的影響；幾何剛度矩陣，表示軸力對剛度的影響；壓桿單元的勢能由兩部分組成壓桿單元的勢能由兩部分組成15-7剛架的穩定矩陣位移法ppiii1,2,3,4iEVVFiaaa根據勢能偏導數定理求桿端力，得根據勢能偏導數定理求桿端力，得 440011i44PPP0011iddddilljjjjijjjlljjji

27、ijjjVEIaxxxaEIxaVFaxxxa Fxa 得得44111,2,3,4iijijjjjjFk as ai15-7剛架的穩定矩陣位移法0P0d1,2,3,41,2,3,4dlijijlijiijkEIxijsFx 寫成矩陣形式寫成矩陣形式1111213141111213141121222324121222324123132333423132333422414243442414243442yyFkkkkvssssvMkkkkssssFkkkkvssssvMkkkkssss eeeeeeeeFksks 或或15-7剛架的穩定矩陣位移法333333333333333312612664621

28、261266264eEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll得得15-7剛架的穩定矩陣位移法P61615105101211015103061665105511210301015ellllsFlllll15-7剛架的穩定矩陣位移法0KS 0KS3 結構的穩定計算結構的穩定計算對于壓桿單元，應采用相應的單元剛度矩陣。對于壓桿單元，應采用相應的單元剛度矩陣。利用剛度集成法，得結構的整體剛度方程為利用剛度集成法，得結構的整體剛度方程為由于失穩前各桿只承受軸力，故荷載向量為由于失穩前各桿只承受軸力，故荷載向量為0臨界狀態的特點是臨界狀態的特點是0

29、，故，故展開后，最小根為臨界荷載展開后，最小根為臨界荷載Pcr。15-7剛架的穩定矩陣位移法例例158 試求圖示剛架的臨界荷載和柱的計算長度。試求圖示剛架的臨界荷載和柱的計算長度。解解 （1）以對稱形式喪失穩定）以對稱形式喪失穩定 單元單元：一端有轉角，另一：一端有轉角，另一端固定的壓桿。端固定的壓桿。1,p2415HkisF15-7剛架的穩定矩陣位移法單元單元：兩端有轉角的普通：兩端有轉角的普通單元。單元。2122kini21 整體剛度方程為整體剛度方程為1P11242015HiFni有非零解的條件為有非零解的條件為1P1242015HiFniPcr1215nFiH211Pcr22456.7

30、08EIEIFHH0.4686.708HHH柱的計算長度為柱的計算長度為i1=i2，n=1時時15-7剛架的穩定矩陣位移法（2）以反對稱形式喪失穩定）以反對稱形式喪失穩定112111P121116112651061241015yyiiFFvHHHFiHMMiH15-7剛架的穩定矩陣位移法單元單元為兩端有轉角的普通單元。單元剛度方程為為兩端有轉角的普通單元。單元剛度方程為212222324224MiiiiM整體剛度方程為整體剛度方程為1P1P1P211PP12221PP21212666251010062442010150622441015iFiFiFHHHHviFF HiiiHiFF HiiiH

31、 15-7剛架的穩定矩陣位移法1P1P121PP1221PP1231266022510624601015624601015iFiFvHHHiFF HiiHiFF HiiH 考慮考慮12，并將二者影響合并，得，并將二者影響合并，得15-7剛架的穩定矩陣位移法1P1P121PP12212660225106222 41201015iFiFvHHHiFF HiiH 1P1P2p1P121266510026461015iFiFHHHF HiFiiH由位移不等于零，得由位移不等于零，得15-7剛架的穩定矩陣位移法2211P282.667560.00iiFHH 211Pcr227.44462.728EIEI

32、FbHH01.1522.728HHH（3）討論）討論反對稱變形形式相應的臨界荷載較小。反對稱變形形式相應的臨界荷載較小。對稱變形形式相應的臨界荷載與精確值相比，誤差對稱變形形式相應的臨界荷載與精確值相比，誤差較大。要提高精度，需將單元劃分細些。較大。要提高精度，需將單元劃分細些。15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析sinxyalPPsinxMF yF alQPdMcosdxFF axll158 組合桿的穩定組合桿的穩定1 綴條式組合桿按桁架計算，喪失穩定時，桁架各桿只引起附加軸力按桁架計算，喪失穩定時，桁架各桿只引起附加軸力令失穩曲線為令失穩曲線為組合桿軸線上任意點的彎矩為組合桿軸線

33、上任意點的彎矩為剪力為剪力為15-8 組合桿的穩定NPMsinaxFFbbl QNPcoscoscosFaxFFll 2N2F sVEA組合桿柱肢的軸力和綴條的軸力按桁架近似計算，可得組合桿柱肢的軸力和綴條的軸力按桁架近似計算，可得桁架的應變能為桁架的應變能為15-8 組合桿的穩定22PP21112P2212cossincoscos12coscoscosnnnaxbaxFFllblAAVEaxbFllA將軸力代入后，得將軸力代入后，得實際中，可取實際中，可取ddxx 15-8 組合桿的穩定22201sin2sindnlxxdxlll2201cos2cosd2nlxxldxll將和號用積分代替，

34、即將和號用積分代替，即考慮到考慮到12tantandbb應變能可改寫成應變能可改寫成15-8 組合桿的穩定222P22331211222114tantancoscosF laVEA blAA222222pPPp2001dcosd224llaxaVFyxFxFlll cr2P2222331211221112tantancoscosEIFlbAAlAA荷載勢能為荷載勢能為Pd0dEa由由，得，得15-8 組合桿的穩定22222bA bIAcr2P2222112sincosEIFlbAlA式中式中當綴條傾角、面積都相同時，則當綴條傾角、面積都相同時，則組合截面對形心軸的慣性矩組合截面對形心軸的慣性矩

35、15-8 組合桿的穩定2Pcr222212112sincostanEIFlbAAlAA20時，則時，則15-8 組合桿的穩定有交叉綴條的組合桿，計算時綴有交叉綴條的組合桿，計算時綴條面積應加倍。條面積應加倍。15-8 組合桿的穩定cr2P12EIFkl122212112sincostankbAAlAA組合桿和臨界荷載和計算長度的特點組合桿和臨界荷載和計算長度的特點臨界荷載的公式可采用統一的形式：臨界荷載的公式可采用統一的形式：慣性矩為慣性矩為I的實腹桿的的實腹桿的臨界荷載臨界荷載組合桿的折減系數組合桿的折減系數AA 綴條面積很小時，即綴條面積很小時，即Pcr0F15-8 組合桿的穩定0AA綴條

36、面積很大時，即綴條面積很大時，即cr2P2EIFl知道了臨界荷載后，可求出計算長度知道了臨界荷載后，可求出計算長度cr2202P121112sincostanEIbAAllFlAAk實際中，略去水平綴條影響，且實際中，略去水平綴條影響，且=30060o，近似取，近似取2227sincos15-8 組合桿的穩定得到簡化后的計算長細比公式得到簡化后的計算長細比公式220022272722llAAbbAA0按回轉半徑為按回轉半徑為r=b/2實腹桿算出的長細比。實腹桿算出的長細比。15-8 組合桿的穩定sinxyal2 綴板式組合桿綴板式組合桿可按剛架作為計算簡圖。可按剛架作為計算簡圖。介紹以能量法為

37、基礎的近似計算。介紹以能量法為基礎的近似計算。變形狀態可分解為兩部分：變形狀態可分解為兩部分：第一部分：整體變形。撓曲線為第一部分：整體變形。撓曲線為15-8 組合桿的穩定12VVV第二部分：作為一個剛架在結間還產生局部彎曲變形。第二部分：作為一個剛架在結間還產生局部彎曲變形。應變能也由兩部分組成：應變能也由兩部分組成：15-8 組合桿的穩定2101d2lMVxEI22QQ200dd12llMxMxVEIEIPPsinxMF yF al整體變形時的應變能為整體變形時的應變能為M：組合桿的整體彎矩：組合桿的整體彎矩結間附加彎矩引起的應變能為結間附加彎矩引起的應變能為分別為柱肢的慣性矩和綴板的慣性

38、矩。分別為柱肢的慣性矩和綴板的慣性矩。II、組合桿的整體彎矩和整體剪力分別為組合桿的整體彎矩和整體剪力分別為QPdcosdMxFF axll15-8 組合桿的穩定22222P1P01sind24lF axlVx F aEIlEI于是于是設柱肢反彎點在節間高度中點，則設柱肢反彎點在節間高度中點，則QQQQ222222P21422222 4 2342 2 2321cos2 2412F dF dF dF ddbVEIEIdbdxa FdEIEIllddxx 因節間數目較多，可認為因節間數目較多，可認為15-8 組合桿的穩定220coscosd2lxxldxll22222P42412dbdVa FlE

39、IEI于是于是因此因此外力勢能為外力勢能為22PPP0d4laVFyxFl 21（ ）2由勢能駐值條件，得由勢能駐值條件，得cr22P222222112412EIEIFkllEIdbdlEIEI15-8 組合桿的穩定2222112412kEIdbdlEIEIcr2202P12412EIEIdbdllFlEIEI組合桿的計算長度為組合桿的計算長度為15-8 組合桿的穩定22A dI 220考慮綴板剛度比柱肢剛度大得多，利用考慮綴板剛度比柱肢剛度大得多，利用22200220222240.83llA dbbI22A bI得，組合桿的計算長細比公式為得，組合桿的計算長細比公式為進一步簡化用進一步簡化用

40、1代替代替0.83，得，得 159 拱的穩定拱的穩定1.圓拱受均勻靜水壓力時的穩定荷載較小時，處于無彎矩狀態；荷載較小時，處于無彎矩狀態；荷載超過臨界荷載時，發生分支點穩定。荷載超過臨界荷載時，發生分支點穩定。15-9 拱的穩定 第一步：研究圓拱屈曲后的受力狀態，推導用彎矩第一步：研究圓拱屈曲后的受力狀態，推導用彎矩表示的穩定微分方程表示的穩定微分方程屈曲前屈曲前屈曲后屈曲后NN0N1RRFFF（a）15-9 拱的穩定屈曲后微段平衡方程屈曲后微段平衡方程令令QN1QN1Qddd1dddFFsFFq RsMFs （c）QNQNQddddddFFsFFqsMFs （b）ddsR（d）15-9 拱的

41、穩定1R并取并取，得，得N1QQQN1N1QddddddFRFFFRFq RFq RMF R 由（由（e）中第二式可得）中第二式可得2QN12ddFFq R 15-9 拱的穩定再代入第一式，得再代入第一式，得2QQ2ddddFRqF（f）再利用（再利用（e）中第三式，得）中第三式，得33ddd0dddRMMRq曲率半徑增量與彎矩有如下關系：曲率半徑增量與彎矩有如下關系：11MRRREI 15-9 拱的穩定333dd10ddMqRMEI由此得由此得2MRREI（h）式（式（h）代入（）代入（g），得），得用用M表示的圓拱在均勻靜水壓表示的圓拱在均勻靜水壓力作用下的穩定微分方程。力作用下的穩定微分

42、方程。15-9 拱的穩定dddddduvusvsss、第二步：研究圓拱屈曲后的變形狀態，推導用位移表示第二步：研究圓拱屈曲后的變形狀態，推導用位移表示的穩定微分方程的穩定微分方程A點的切線和法線方向的位移分量點的切線和法線方向的位移分量uv、B點的切線和法線方向的位移分量點的切線和法線方向的位移分量15-9 拱的穩定dd=dduusRdduvRR拱的軸向應變拱的軸向應變由切向位移產生的由切向位移產生的由法向位移產生的由法向位移產生的vR總軸向應變為總軸向應變為若忽略軸向變形若忽略軸向變形(=0)dduv則則15-9 拱的穩定uR截面截面A的轉角的轉角由切向位移產生的由切向位移產生的由法向位移產

43、生的由法向位移產生的ddddvvsR截面截面A總的轉角為總的轉角為22d1dddvuuuRRR323d1ddddduusR變形后曲率的增量為變形后曲率的增量為彎矩與曲率增量的彈性關彎矩與曲率增量的彈性關系為系為ddMEIs 故得故得323ddddEIuuMR 15-9 拱的穩定643426442dddd1dddduuqRuuEI333dd10ddMqRMEI用用M表示的圓拱在均勻靜水壓表示的圓拱在均勻靜水壓力作用下的穩定微分方程。力作用下的穩定微分方程。將將M與位移的關系式代入上式，得與位移的關系式代入上式，得用用u表示的圓拱在均勻靜水表示的圓拱在均勻靜水壓力作用下的穩定微分方程。壓力作用下的

44、穩定微分方程。15-9 拱的穩定123456sincossincosuCCCCCC方程的一般解為方程的一般解為第三步：解微分方程，得到位移、彎矩一般解第三步：解微分方程，得到位移、彎矩一般解31qREI式中式中于是可得于是可得23456dcossincossinduvCCCCC2225621cos1sinEIMCCCR 15-9 拱的穩定由由u、v、M邊界條件得到關于系數邊界條件得到關于系數Ci的代數方程。的代數方程。由系數不全為零，方程的系數行列式由系數不全為零，方程的系數行列式D=0，得到圓拱問，得到圓拱問 題的特征方程；題的特征方程；解此特征方程，得到臨界荷載。解此特征方程，得到臨界荷載

45、。第四步：引入邊界條件，求臨界荷載第四步：引入邊界條件，求臨界荷載15-9 拱的穩定例例15-9 試求兩鉸圓拱的臨界荷載試求兩鉸圓拱的臨界荷載qcr 。 解解0M，由邊界條件由邊界條件反對稱變形形式反對稱變形形式由由M為為 奇函數條件，得奇函數條件，得262(1)sinEIMCR得得sin022321crEInqR，解得，解得n考慮考慮2cr321EIqR最小臨界荷載為最小臨界荷載為15-9 拱的穩定對稱變形形式對稱變形形式為奇函數，為奇函數， u vM、為偶函數為偶函數 ，得，得2352352252sinsincoscos1cos uCCCvCCCEIMCCR15-9 拱的穩定利用邊界條件利

46、用邊界條件00= 0 uvM，、得得235235225sinsin0coscos01cos0CCCCCCCC令系數行列式為零令系數行列式為零2sinsin1coscos010(1)cosD15-9 拱的穩定 計算結果表明，對稱變形時的臨界荷載值比反對稱變計算結果表明，對稱變形時的臨界荷載值比反對稱變形時的要大得多，所以起控制作用的是反對稱變形時的臨形時的要大得多，所以起控制作用的是反對稱變形時的臨界荷載值。界荷載值。33()tantan 展開后，得展開后，得解出解出 可求對稱變形失穩時的臨界荷載。可求對稱變形失穩時的臨界荷載。15-9 拱的穩定例例15-1015-10 試求圓環的臨界荷載。試求

47、圓環的臨界荷載。2252261cos1sin EIMCCRC22252526(1)(1)cos(2)(1)sin(2)CCCCC解解(0)(2 )MM將將代入，得代入，得即即556cos(2)sin(2)CCC15-9 拱的穩定上式要求上式要求sin(2)0,cos(2)1故故012 ， ， ，。由上式可求得由上式可求得231crEIqR2時，得最小臨界值時，得最小臨界值cr33EIqR15-9 拱的穩定cr13EIqKl2.拱的臨界荷載系數和計算長度拱的臨界荷載系數拱的臨界荷載系數若等截面圓拱受均勻靜水壓力作用時的最小臨界荷載若等截面圓拱受均勻靜水壓力作用時的最小臨界荷載的表達式寫成的表達式

48、寫成則，則，K1臨界荷載系數臨界荷載系數。與拱的高跨比有關。與拱的高跨比有關。同理，可得到其它類型拱在其他荷載作用下的臨界荷同理，可得到其它類型拱在其他荷載作用下的臨界荷載系數。載系數。15-9 拱的穩定2Ncr20EIFs拱的計算長度系數拱的計算長度系數若將拱的臨界力表示成若將拱的臨界力表示成式中，式中，FNcr為臨界軸力，為臨界軸力，s0為為拱的計算長度拱的計算長度。對于均勻靜水壓力作用的等截面圓拱，計算長度對于均勻靜水壓力作用的等截面圓拱，計算長度系數為系數為20Ncr1814sEIllFKllff15-9 拱的穩定220Ncr218sEIlllFKf 對于受水平均布豎向荷載作用的等截面

49、拋物線拱，計對于受水平均布豎向荷載作用的等截面拋物線拱，計算長度系數為算長度系數為2PN2ddF byEIF yxxl (0)xa2PN2d()dF ayEIF ylxxl ()axl1510 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析1 單桿的縱橫彎曲問題微分方程精確解變形狀態的平衡微分方程為變形狀態的平衡微分方程為改寫成改寫成15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析 22PN22PN0a F bya yaxxaF lF aya yalxaxlF l式中式中2NFEI式（式（a）的解為）的解為P111NP222NcossincossinF byAxBxxF l

50、F ayAxBxlxF l15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析10A 22tanABl 引入邊界條件，得引入邊界條件，得P1NsinsinFbBFlP2NsintanFaBFl 故故PP1NNsinsinsinFbF byxxFlF lPP2NNsinsin()()sinFaF aylxlxFlF l15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析22 22N44F lluEI max/2PN3P3tatan2221n6x lyyFlllEIuFuuF討論：討論：2abl的情況的情況引進符引進符號號故跨中最大位移為故跨中最大位移為2max2/2PNPddtan224tan x lyME

51、IxFlEIFF luu跨中最大彎矩為跨中最大彎矩為15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析最大位移和彎矩表達式中，第二項是考最大位移和彎矩表達式中，第二項是考慮縱向荷載對橫向荷載影響后的放大系數。慮縱向荷載對橫向荷載影響后的放大系數。當當FN與臨界荷載相比很小時，縱向壓力的影響可不計；與臨界荷載相比很小時，縱向壓力的影響可不計；當當FN趨于臨界荷載時，放大系數趨于無窮大，桿件喪失趨于臨界荷載時，放大系數趨于無窮大，桿件喪失穩定。穩定。15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析2PN2d()dyEIF xF yx 例題例題15151111 求圖示排架在水平和豎向荷求圖示排架在水平和豎

52、向荷 載共同作用下的二階效應。載共同作用下的二階效應。解解 變形后的微分方程為變形后的微分方程為15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析上式可改寫為上式可改寫為2PFyyxEI 2NFEI解為解為PNcossinFyAxBxxF引入邊界條件，得引入邊界條件，得PNxyAFxl yBFl0,0:01,0:cos15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析故故PPNN1sincosFFyxxFlFPNsincosFyxFl PNsincosFEIMEIyxFl 最大橫向位移和最大彎矩分別在最大橫向位移和最大彎矩分別在 x0 和和 xl 處，為處，為3PPPmax3NN13tantan23F

53、FF lyllllFFEIlPPNtantanFlMEIlF lFl15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析橫梁、豎柱不考慮軸向變形；橫梁、豎柱不考慮軸向變形；有壓力的單元用壓桿的單元剛度方程；有壓力的單元用壓桿的單元剛度方程；非壓桿單元用普通單元剛度方程；非壓桿單元用普通單元剛度方程；有橫向荷載，整體剛度方程有荷載向量。有橫向荷載，整體剛度方程有荷載向量。 PKSF 2.剛架的二階分析有限元法15-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析例例15151212 試對圖示剛架進行二階分析。試對圖示剛架進行二階分析。解解 剛架的單元、編碼和坐標如圖所示。按位移法計算剛架的單元、編碼和坐標如圖所示。按位移法計算時，獨立的結點位移為時，獨立的結點位移為v1、2 、315-10 考慮縱向力對橫向荷載影響的二階分析單元單元、為一端有側移、轉角，他端固定的壓桿單元。為一端有側移、轉角，他端固定的壓桿單元。 單元單元為兩端有轉角的