1、12第七章第七章 機械振動機械振動1.1.掌握描述簡諧振動的各物理量（特別是相位）及各掌握描述簡諧振動的各物理量（特別是相位）及各量間的關系。量間的關系。2.2.理解旋轉矢量法。理解旋轉矢量法。3.3.掌握簡諧振動的基本特征，能建立一維簡諧振動的掌握簡諧振動的基本特征，能建立一維簡諧振動的微分方程，能根據給定的初始條件寫出一維簡諧振微分方程，能根據給定的初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程，并理解其物理意義。動的運動方程，并理解其物理意義。4.4.理解同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成規律。理解同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成規律。3 1 簡諧運動簡諧運動第七章第七章 機械振動機械振動機械機械

2、振動振動是指物體在一定位是指物體在一定位置附近作周期性往復運動置附近作周期性往復運動振動的分類：振動的分類：受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由諧振動無阻尼自由諧振動簡諧振動簡諧振動機械振動的成因機械振動的成因: 回復力回復力;慣性慣性.1.簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程(1)彈簧振子彈簧振子moxF受力受力 F=kx由牛頓第二定律由牛頓第二定律22ddtxmkx 令令mk 2 4則則0222 xdtxd 1 簡諧運動簡諧運動1.簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程(1)彈簧振子彈簧振子

3、mox受力受力 F=kx由牛頓第二定律由牛頓第二定律22ddtxmkx 令令mk 2 F凡滿足以上特征的運動叫凡滿足以上特征的運動叫簡諧運動簡諧運動.物體受線性恢復力的作用物體受線性恢復力的作用;或加速度與位移大小成正或加速度與位移大小成正比比,而方向相反而方向相反;或有簡諧運或有簡諧運動的微分方程動的微分方程.忽略空氣阻力，質點在平忽略空氣阻力，質點在平衡點附近往復運動衡點附近往復運動.(2)單擺單擺( (數學擺數學擺) )重力矩：重力矩：M=mgl sin5則則0222 xdtxd 凡滿足以上特征的運動叫凡滿足以上特征的運動叫簡諧運動簡諧運動.物體受線性恢復力的作用物體受線性恢復力的作用;

4、或加速度與位移大小成正或加速度與位移大小成正比比,而方向相反而方向相反;或有簡諧運或有簡諧運動的微分方程動的微分方程.忽略空氣阻力，質點在平忽略空氣阻力，質點在平衡點附近往復運動衡點附近往復運動.(2)單擺單擺( (數學擺數學擺) )重力矩：重力矩：M=mgl sinPFmAlO根據轉根據轉動定律：動定律：22ddtJM 而而 J= ml 2222ddsintmlmgl 在小角度條件下在小角度條件下 sin ( 5)022 lgdtd6PFmAlO根據轉根據轉動定律：動定律：22ddtJM 而而 J= ml 2222ddsintmlmgl 在小角度條件下在小角度條件下 sin ( 0設設 x

5、= A cos( 6 t + )t=0 時時x0 =A cos m07. 022020 vxA即：即：0.05 = 0.07cos 434或或 所以所以 取取/4)SI()46cos(07. 0 txoxA -/420又又 v0=A sin 0設設 x = A cos( 6 t + )t=0 時時x0 =A cos m07. 022020 vxA即：即：0.05 = 0.07cos 434或或 所以所以 取取/4)SI()46cos(07. 0 txoxA -/4例題例題2 一質量為一質量為0.01kg的物的物體作簡諧運動體作簡諧運動,其振幅為其振幅為0.08m,周期為周期為4s,起始時刻在起

6、始時刻在x=0.04m處處,向向Ox軸負方向運軸負方向運動動.試求試求:(1)t=1.0s時時,物體所物體所處的位置和所受的力處的位置和所受的力;(2)由由起始位置運動到起始位置運動到x=0.04m處所需要的最短時間處所需要的最短時間.解解:已知已知 A=0.08m 1s22 T在在 t = 0時有時有0.04=0.08cos由由 x =Acos(t+)21例題例題2 一質量為一質量為0.01kg的物的物體作簡諧運動體作簡諧運動,其振幅為其振幅為0.08m,周期為周期為4s,起始時刻在起始時刻在x=0.04m處處,向向Ox軸負方向運軸負方向運動動.試求試求:(1)t=1.0s時時,物體所物體所

7、處的位置和所受的力處的位置和所受的力;(2)由由起始位置運動到起始位置運動到x=0.04m處所需要的最短時間處所需要的最短時間.解解:已知已知 A=0.08m 1s22 T在在 t = 0時有時有0.04=0.08cos由由 x =Acos(t+)3 所以所以而而 v0=A sin 03 故取故取)32cos(08. 0 tx得得(1) t=1.0s時時 由上式解得由上式解得x=0.069mF=kx=m2x=1.70103N(2)設最短時間為設最短時間為t)32cos(08. 004. 0 t由由受力為受力為224 簡諧運動的能量簡諧運動的能量3 所以所以而而 v0=A sin x0 xo設平

8、衡點為坐標設平衡點為坐標原點原點,向下為向下為x正正向向. 平衡時平衡時 kx0 = mg 當物體在當物體在x點時點時,其速度為其速度為vxv25彈簧的勁度系數為彈簧的勁度系數為k, 另一另一端掛質量為端掛質量為m的物體的物體, 現將現將m從平衡位置向下拉一微小從平衡位置向下拉一微小距離后放手距離后放手. 試證明物體作試證明物體作簡諧振動簡諧振動, 并求其振動周期并求其振動周期. (設繩與滑輪滑動設繩與滑輪滑動, 摩擦及空摩擦及空氣阻力忽略氣阻力忽略).解解:用能量法求解用能量法求解x0 xo設平衡點為坐標設平衡點為坐標原點原點,向下為向下為x正正向向. 平衡時平衡時 kx0 = mg 當物體

9、在當物體在x點時點時,其速度為其速度為vxv取平衡點為重力勢能零點取平衡點為重力勢能零點,系統的總能守恒系統的總能守恒2220111()222EmvJmgxk x x利用利用v = R常常數數 202222121)(21kxEkxvRJmkx0 = mg化簡上式化簡上式2RJmm 令令常數常數有有 222121kxvm上式兩邊對上式兩邊對t 求導求導:0dddd txkxtvvm26取平衡點為重力勢能零點取平衡點為重力勢能零點,系統的總能守恒系統的總能守恒2220111()222EmvJmgxk x x利用利用v = R常常數數 202222121)(21kxEkxvRJmkx0 = mg化簡

10、上式化簡上式2RJmm 令令常數常數有有 222121kxvm上式兩邊對上式兩邊對t 求導求導:0dddd txkxtvvm上式消去上式消去v后，有后，有0 xmkdtdv任意時刻任意時刻0dd txv0222 xdtxd 2RJmkmk 上式表明證明物體作簡諧上式表明證明物體作簡諧振動振動, 周期周期T:2222kRmRJT 即：即：275 簡諧運動的合成簡諧運動的合成1.兩個同方向同頻率簡諧運兩個同方向同頻率簡諧運動的動的合成合成設兩個簡諧運動設兩個簡諧運動同方向同方向(x), 同頻率同頻率(). 運動方程分別運動方程分別為為:)cos(111 tAx)cos(222 tAx合位移應在同一

11、方向上合位移應在同一方向上(x) x = x1 + x2 旋轉矢量法旋轉矢量法當當A1、A2以相同的頻率以相同的頻率旋旋轉時，合矢量轉時，合矢量A也以相同的也以相同的頻率頻率旋轉，其合位移為旋轉，其合位移為上式消去上式消去v后，有后，有0 xmkdtdv任意時刻任意時刻0dd txv0222 xdtxd 2RJmkmk 上式表明證明物體作簡諧上式表明證明物體作簡諧振動振動, 周期周期T:2222kRmRJT 即：即：285 簡諧運動的合成簡諧運動的合成1.兩個同方向同頻率簡諧運兩個同方向同頻率簡諧運動的動的合成合成設兩個簡諧運動設兩個簡諧運動同方向同方向(x), 同頻率同頻率(). 運動方程分

12、別運動方程分別為為:)cos(111 tAx)cos(222 tAx合位移應在同一方向上合位移應在同一方向上(x) x = x1 + x2 旋轉矢量法旋轉矢量法當當A1、A2以相同的頻率以相同的頻率旋旋轉時，合矢量轉時，合矢量A也以相同的也以相同的頻率頻率旋轉，其合位移為旋轉，其合位移為xoxx2x1x21A12A2A)cos(21 tAxxx)(cos2122122212 AAAAA)cos(212212221 AAAA22112211coscossinsin AAAAtg 合振動仍為諧振動，角頻率合振動仍為諧振動，角頻率與分振動相同，振幅與分振動相同，振幅A、初、初相相如上如上.29xox

13、x2x1x21A12A2A)cos(21 tAxxx)(cos2122122212 AAAAA)cos(212212221 AAAA22112211coscossinsin AAAAtg 合振動仍為諧振動，角頻率合振動仍為諧振動，角頻率與分振動相同，振幅與分振動相同，振幅A、初、初相相如上如上.(1)若相位差若相位差(2 1) = 2k (k = 0, 1, 2, ), 則則212122212AAAAAAA 分振動同相位分振動同相位,合振動加強合振動加強(2)若相位差若相位差|221212221AAAAAAA 分振動反相位分振動反相位,合振動減弱合振動減弱(3)一般情況下一般情況下|A1A2|

14、 A (A1+A2)(2 1) = (2k+1) (k = 0, 1, 2, ), 則則討論討論30(1)若相位差若相位差(2 1) = 2k (k = 0, 1, 2, ), 則則212122212AAAAAAA 分振動同相位分振動同相位,合振動加強合振動加強(2)若相位差若相位差|221212221AAAAAAA 分振動反相位分振動反相位,合振動減弱合振動減弱(3)一般情況下一般情況下|A1A2| A (A1+A2)(2 1) = (2k+1) (k = 0, 1, 2, ), 則則討論討論例題例題4)SI()75. 0100cos(61 tx)SI()25. 0100cos(82 tx求

15、合成振動的表達式求合成振動的表達式解解:已知已知 A1= 6, 1= 0.75 ; A2= 8, 2= 0.25m10)25. 075. 0cos(8628622Arad43. 18225. 0cos875. 0cos625. 0sin875. 0sin6arctg已知已知)SI)(43. 1100cos(10 tx 合振動為合振動為31例題例題4)SI()75. 0100cos(61 tx)SI()25. 0100cos(82 tx求合成振動的表達式求合成振動的表達式解解:已知已知 A1= 6, 1= 0.75 ; A2= 8, 2= 0.25m10)25. 075. 0cos(862862

16、2Arad43. 18225. 0cos875. 0cos625. 0sin875. 0sin6arctg已知已知)SI)(43. 1100cos(10 tx 合振動為合振動為2.2.兩個同方向不同頻率簡兩個同方向不同頻率簡諧運動的諧運動的合成合成 由于兩振動頻率不同由于兩振動頻率不同,則它們的相位差不恒定則它們的相位差不恒定.合合振動一般不是簡諧運動振動一般不是簡諧運動.設某時刻兩振動相位差為設某時刻兩振動相位差為0時時, 作為計時起點作為計時起點, 此時此時tAtAx111112coscos tAtAx222222coscos 求求: x = x1 + x2為簡單起見為簡單起見. 設設A1

17、 = A2則則:tAtAx2111coscos )cos(cos211ttA 322.2.兩個同方向不同頻率簡兩個同方向不同頻率簡諧運動的諧運動的合成合成 由于兩振動頻率不同由于兩振動頻率不同,則它們的相位差不恒定則它們的相位差不恒定.合合振動一般不是簡諧運動振動一般不是簡諧運動.設某時刻兩振動相位差為設某時刻兩振動相位差為0時時, 作為計時起點作為計時起點, 此時此時tAtAx111112coscos tAtAx222222coscos 求求: x = x1 + x2為簡單起見為簡單起見. 設設A1 = A2則則:tAtAx2111coscos )cos(cos211ttA ttA2cos2

18、cos212121 在在| 2 1 | ( 2 + 1) 下討論，下討論， t2cos12 隨隨t 緩變緩變t2cos12 隨隨t 迅變迅變可認為合振動是頻率為可認為合振動是頻率為212 振幅為振幅為tA2cos2121 33ttA2cos2cos212121 在在| 2 1 | ( 2 + 1) 下討論，下討論， t2cos12 隨隨t 緩變緩變t2cos12 隨隨t 迅變迅變可認為合振動是頻率為可認為合振動是頻率為212 振幅為振幅為tA2cos2121 其振幅也作緩慢的周期性其振幅也作緩慢的周期性變化變化. 其大小在其大小在02A之間之間xtx2tx1t拍拍振動時而加強振動時而加強,時而

19、減弱時而減弱的現象叫的現象叫拍拍34其振幅也作緩慢的周期性其振幅也作緩慢的周期性變化變化. 其大小在其大小在02A之間之間xtx2tx1t拍拍振動時而加強振動時而加強,時而減弱時而減弱的現象叫的現象叫拍拍拍頻拍頻 : 振幅變化的頻率振幅變化的頻率 = 2 13.3.兩個方向垂直不同頻率兩個方向垂直不同頻率簡諧運動的合成簡諧運動的合成設某時刻兩振動相位差為設某時刻兩振動相位差為0時時, 作為計時起點作為計時起點, 此時此時tvAx112cos =tvAy222cos =則有則有:tvtvAyAx221222212cos2cos)()(+=+方程對應的圖形隨著兩個方程對應的圖形隨著兩個不同頻率的改

20、變而形成不不同頻率的改變而形成不同的如薩爾同的如薩爾圖形圖形35拍頻拍頻 : 振幅變化的頻率振幅變化的頻率 = 2 13.3.兩個方向垂直不同頻率兩個方向垂直不同頻率簡諧運動的合成簡諧運動的合成設某時刻兩振動相位差為設某時刻兩振動相位差為0時時, 作為計時起點作為計時起點, 此時此時tvAx112cos =tvAy222cos =則有則有:tvtvAyAx221222212cos2cos)()(+=+方程對應的圖形隨著兩個方程對應的圖形隨著兩個不同頻率的改變而形成不不同頻率的改變而形成不同的如薩爾同的如薩爾圖形圖形 6 阻尼振動阻尼振動 受迫動受迫動 共振共振1.阻尼振動阻尼振動物體受阻力物體

21、受阻力 F =Cv對彈簧振子對彈簧振子kxCv = ma0dddd22 kxtxCtxm或或令令 k/m=02, C/m =20dd2dd2022 xtxtx )cos(e tAxt解為解為在在 2 02 時（弱阻尼）時（弱阻尼）36 6 阻尼振動阻尼振動 受迫動受迫動 共振共振1.阻尼振動阻尼振動物體受阻力物體受阻力 F =Cv對彈簧振子對彈簧振子kxCv = ma0dddd22 kxtxCtxm或或令令 k/m=02, C/m =20dd2dd2022 xtxtx )cos(e tAxt解為解為在在 2 02 時（弱阻尼）時（弱阻尼）220 式中式中叫阻尼系數叫阻尼系數, 0叫固有頻叫固有

22、頻率率Atx-AOtA e阻尼振動的阻尼振動的振幅振幅tA e隨時間隨時間 t 作指數衰減作指數衰減周期周期T22022 T大于無阻尼自由振動大于無阻尼自由振動T037220 式中式中叫阻尼系數叫阻尼系數, 0叫固有頻叫固有頻率率Atx-AOtA e阻尼振動的阻尼振動的振幅振幅tA e隨時間隨時間 t 作指數衰減作指數衰減周期周期T22022 T大于無阻尼自由振動大于無阻尼自由振動T0為過阻尼為過阻尼202 若阻尼很大若阻尼很大202 為臨界阻尼為臨界阻尼當當系統不再作周期運動而緩系統不再作周期運動而緩慢回到平衡位置慢回到平衡位置(黃線黃線).系統不能往復運動系統不能往復運動,物體物體更快回到

23、平衡位置更快回到平衡位置.是一是一種臨界情況種臨界情況.Atx-AO38為過阻尼為過阻尼202 若阻尼很大若阻尼很大202 為臨界阻尼為臨界阻尼當當系統不再作周期運動而緩系統不再作周期運動而緩慢回到平衡位置慢回到平衡位置(黃線黃線).系統不能往復運動系統不能往復運動,物體物體更快回到平衡位置更快回到平衡位置.是一是一種臨界情況種臨界情況.Atx-AO2.2.受迫振動受迫振動系統受彈性力系統受彈性力kx、阻力、阻力Cv、周期性外力、周期性外力FcosptmatFCvkx pcos fmFmCmk ,2,20 令令)cos()cos(0 tAteAxpttFkxtxCtxmp22cosdddd 或

24、或tfxtxtxp2022cosdd2dd 有有方程的解為方程的解為392.2.受迫振動受迫振動系統受彈性力系統受彈性力kx、阻力、阻力Cv、周期性外力、周期性外力FcosptmatFCvkx pcos fmFmCmk ,2,20 令令)cos()cos(0 tAteAxpttFkxtxCtxmp22cosdddd 或或tfxtxtxp2022cosdd2dd 有有方程的解為方程的解為)cos( tAxp2p22p204)( fA2p20p2tg 穩定狀態下，物體與外驅穩定狀態下，物體與外驅動力同周期振動動力同周期振動3.3.共振共振在周期性外力驅動下在周期性外力驅動下,受受迫振動系統的振幅達

25、到迫振動系統的振幅達到極大的現象叫共振極大的現象叫共振.共振角頻率共振角頻率r : 外力頻外力頻率率p為為r時出現共振時出現共振40)cos( tAxp2p22p204)( fA2p20p2tg 穩定狀態下，物體與外驅穩定狀態下，物體與外驅動力同周期振動動力同周期振動3.3.共振共振在周期性外力驅動下在周期性外力驅動下,受受迫振動系統的振幅達到迫振動系統的振幅達到極大的現象叫共振極大的現象叫共振.共振角頻率共振角頻率r : 外力頻外力頻率率p為為r時出現共振時出現共振0ddp A令令得得AO0p小阻尼小阻尼阻尼阻尼0大阻尼大阻尼2202 fA2202 r共振時的振幅共振時的振幅410ddp A

26、令令得得AO0p小阻尼小阻尼阻尼阻尼0大阻尼大阻尼2202 fA2202 r共振時的振幅共振時的振幅共振小故事共振小故事唐朝唐朝劉賓客嘉話錄劉賓客嘉話錄洛陽某僧房中之磬常于齊鐘洛陽某僧房中之磬常于齊鐘響時自鳴，僧人由此病。其響時自鳴，僧人由此病。其友曹紹夔（太樂令）得知，友曹紹夔（太樂令）得知，以銼刀銼磬數處，以后鐘響以銼刀銼磬數處，以后鐘響便不再鳴磬。便不再鳴磬。42共振小故事共振小故事唐朝唐朝劉賓客嘉話錄劉賓客嘉話錄洛陽某僧房中之磬常于齊鐘洛陽某僧房中之磬常于齊鐘響時自鳴，僧人由此病。其響時自鳴，僧人由此病。其友曹紹夔（太樂令）得知，友曹紹夔（太樂令）得知，以銼刀銼磬數處，以后鐘響以銼刀銼磬數處，以后鐘響便不再鳴磬。便不再鳴磬。19521952年諾貝爾物理學年諾貝爾物理學獎獎 拓展拓展核磁共振核磁共振（NMR） NS核磁矩旋進角速度核磁矩旋進角速度00B0B外磁場外磁場4319521952年諾貝爾物理學年諾貝爾物理學獎獎 拓展拓展核磁共振核磁共振（NMR） NS核磁矩旋進角速度核磁矩旋進角速度00B0B外磁場外磁場交變磁場交變磁場 B垂直于垂直于方向方向0B線頻率線頻率共振條件共振條件0022B 核磁共振在臨床醫學核磁共振在臨床醫學上的上的應用應用2003年諾貝爾醫學年諾貝爾醫學獎獎0BB44交變磁場交變磁場 B垂直于垂直于方向方向0B線頻率