1、第一章集合與函數概念一、集合有關概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：1元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2) 任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3) 集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4) 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示：-如我校的籃

2、球隊員,太平洋，大西洋，印度洋,北冰洋1用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意啊：常用數集及其記法：非負整數集(即自然數集)記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R關于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作aA,相反，a不屬于集合A記作a?A列舉法：把集合中的兀素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。描述法：將集合中的兀素的公共屬性描述出來，與在大括號內表示集合的方法。用確疋的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數學式子描述法：

3、例：不等式x-3>2的解集是x?R|x-3>2或x|x-3>24、集合的分類：1有限集含有有限個元素的集合2無限集含有無限個元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5-、集合間的基本關系1“包含”關系一子集注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關系(5>5，且5<5，貝U5=5)頭例：設A=x|x2-1=0B=-1,1兀素相冋結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個兀素都是集合B的兀素，冋時，集合B的任何一個兀素都是集合A的兀素，我們就說集合A等于集

4、合B,即：A=B任何一個集合是它本身的子集。Ai 真子集：如果AiB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) 如果AiB,BiC那么AiC如果A1B同時BA那么A=B3不含任何元素的集合叫做空集，記為規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作AAB(讀作”A交B”),即卩AAB=x|xA,且xB.2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB(讀作”A并B”)，即AUB=x|xA,或xB.3、交集與并集的性質：

5、AnA=A,An0=0,AnB=Bna,AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.4、全集與補集補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)記作：CSA即卩CSA=x|x?S且x?ASCsAA全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。(3)性質：CU(CUA)=A2)(CUA)nA=(CUA)UA=U二、函數的有關概念1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數X,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:At

6、B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x),xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域.注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；3函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.定義域補充能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函

7、數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：表達式相同；定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)值域補充

8、(1卜函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。3.函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(xA)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上即記為C=P(x,y)|y=f(x),xA圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線)，也可能是由與任

9、意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫法A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。4快去了解區間的概念(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示5什么叫做映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則

10、f,使對于集合A中的任意一個兀素x在集合B中都有唯一確定的兀素y與之對應，那么就稱對應f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:AB”給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合A、B及對應法則f是確定的；對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；對于映射f:AtB來說，則應滿足：(I)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(n)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(川)不要求集合

11、B中的每一個元素在集合A中都有原象。常用的函數表示法及各自的優點：1函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；2解析法：必須注明函數的定義域;3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值補充一：分段函數(參見課本P24-25)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函

12、數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補充二：復合函數如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則y=fg(x)=F(x),(xA)稱為f、g的復合函數。例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)7函數單調性(1) .增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定義域，并判斷其定義2必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2

13、;當x1(2) 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法:1任取x1，x2D,且x1格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的(B) 圖象法(從圖象上看升降)_(C) 復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下:函數單調性u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=fg(x)增減減增注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.2、還記得我們

14、在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？(1) 偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(2) 奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函注意：1函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質函數可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數又是偶函數。2由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個X，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關

15、于原點對稱域是否關于原點對稱;2確定f(-x)與f(x)的關系;3作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O,則f(x)是偶函數；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數.注意啊：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數若對稱，(1)再根據定義判定；(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定9、函數的解析表達式(1) 函數的解析式

16、是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域(2) .求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；已知復合函數fg(x)的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10. 函數最大(小)值(定義見課本p36頁)在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章基本初等函數一、指數函數1利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值2利用圖象求函數的最大(小

17、)值3利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間a,b上單調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，(一) 指數與指數幕的運算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1,且*.當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand).當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號表示，

18、負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成土(>0).由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。注意：當是奇數時，當是偶數時，2. 分數指數幕正數的分數指數幕的意義，規定：0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意義指出：規定了分數指數幕的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數幕的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幕3. 實數指數幕的運算性質(1)?；(2)；(3) .(二) 指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.注意：指數函數的底數的取值范圍，底數

19、不能是負數、零和1.2、指數函數的圖象和性質a>10圖象特征函數性質向x、y軸正負方向無限延伸函數的定義域為R圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+函數圖象都過定點(0，1)自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數減函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1在第一象限內的圖象縱坐標都小于1在第二象限內的圖象縱坐標都小于1在第二象限內的圖象縱坐標都大于1圖象上升趨勢是越來越陡圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：(1) 在a,b上，值

20、域是或；(2) 若，則;取遍所有正數當且僅當；(3) 對于指數函數，總有；當時，若，則；、對數函數(一)對數(底數，一真數,1對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作:對數式)說明：1注意底數的限制，且；2；3注意對數的書寫格式兩個重要對數：1常用對數：以10為底的對數；2自然對數：以無理數為底的對數的對數對數式與指數式的互化對數式指數式對數底數一幕底數對數一指數真數Ji幕(二)對數的運算性質如果，且，那么:1?+;2-；3.注意：換底公式(，且；，且；).利用換底公式推導下面的結論(1)；(2).(二)對數函數1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+注意：1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。-如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數2對數函數對底數的限制：，且.2、對數函數的性質：a>10圖象特征函數性質函數圖象都在y軸右