1、學習資料收集于網絡，僅供學習和參考，如有侵權，請聯系網站刪除二次函數之最值問題基本解題步驟：1 .審題.讀懂問題.分析問題各個量之間的關系；2 .列數學表達式.用數學方法表示它們之間的關系.即寫出變量與常量之間的二次函數關系式；b 4ac b23 .求值.利用二次函數關系式的頂點坐標公式-2，b 陂配方法求得最值；12a 4al配方法：將二次函數 y =ax2+bx+c轉化為y =a（x-h）2+k的形式.頂點坐標為 （h,k）.對稱軸為 x =h .當a >0時.y有最小值.即當x =h時.y最小值=k ;當a <0時.y有最大值.即當x = h時.y最大值=k .4 .檢驗.檢

2、驗結果的合理性.（函數求最值需考慮實際問題的自變量的取值范圍）解題策略 實際問題一 J 數學問題一 j 解一» 問題答案關鍵在如何將實際問題轉化為數學問題利潤最值問題：此類問題一般先是運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=每件商品的利潤 父銷售數量”建立利潤與價格之間的函數關系式.再求出這個函數關系式的頂點坐標 .頂點的縱坐標即為最大利潤.特殊地.這里要考慮實際問題中自變量的取值范圍.數形結合求最值.例1例2線段和或差（或三角形周長）最值問題：此類問題一般是利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短確定最短距離.這個距離一般用勾股定理或兩點之間距離公式求解.特殊地.也可以利用平移和軸對稱

3、的知識求解固定線段長問題.最短距離和找法：以動點所在的直線為對稱軸 .作一個已知點的對稱點.連結另一個已知點和對稱點的線段 .與對稱軸交一點.這一點即為所求點.線段長即為最短距離和.口訣：“大”同“小”異求最值.“大”同：求差的最大值.把點移動到直線的同側.“小”異：求和的最小值.把點移動到直線的兩側.（幾何最值較多）例3例4例5線段長最值問題：根據兩點間距離公式| X - x2|把線段長用二次函數關系式表示 出來求最值.幾何面積最值問題：此類問題一般是先運用三角形相似 .對應線段成比例等性質 或者用“割補法”或者利用平行線得到三角形同底等高進行面積轉化寫出圖形的面積y與邊長x之間的二次函數關

4、系.其頂點的縱坐標即為面積最值.例6例7例8動點產生的最值問題：數形結合求解.把路程和轉化成時間和.當三點共線時有 最值.例9例10利潤最值問題例1、一玩具廠去年生產某種玩具 .成本為10元/件.出廠價為12元/件.年銷售量為2萬件.今年計劃通過適當增加成本來提高產品的檔次 .以拓展市場.若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍.今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高0.5x倍.則預計今后年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中 0 <x W1).(1)用含x的代數式表示：今年生產的這種玩具每件的成本為 元.今年生產的這種玩具每件的出廠 價為 元.(2)求今年這種玩具每件的

5、利潤y元與x之間的函數關系式；(3)設今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元.求當x為何值時.今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤=(每件玩具的出廠價一每件玩具的成本)x年銷售量.解：(1) 10+7x ; 12+6x ;(2) y= ( 12+6x ) - ( 10+7x ).y=2 -x ( 0< x< 11);(3) w=2 ( 1+x ) ? y=2 ( 1+x ) ( 2-x )=-2x 2+2x+4.w=-2 ( x-0.5 ) 2+4.5-2 < 0.0 < x< 11 .w有最大值.當x=0.5 時.w最大=4.5 (萬元).答

6、：當x為0.5時.今年的年銷售利潤最大.最大年銷售利潤是4.5萬元.學習資料例2、新星電子科技公司積極應對 2008年世界金融危機.及時調整投資方向.瞄準光伏產業.建成了太陽能光 伏電池生產線.由于新產品開發初期成本高.且市場占有率不高等因素的影響.產品投產上市一年來.公司經歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次）.公司累積獲得的利潤y （萬元）與銷售時間第 x （月）之間的函數關系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）對應的點都在如下圖所示的圖象上.該圖象從左至右.依次是線段 OA曲線AB和曲線BC.其中曲線AB為拋物線的一部分.點A為該拋物線的頂

7、點.曲線BC為另一拋物線y =_5x2 +205x -1230的一部分.且點A.B.C的橫 坐標分別為4.10.12 .（1）求該公司累積獲得的利潤y （萬元）與時間第 x （月）之間的函數關系式；（2）直接寫出第x個月所獲得S （萬元）與時間x （月）之間的函數關系式（不需要寫出計算過程）；（3）前12個月中.第幾個月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？解：(1)設直線OA的解析式為y=kx. 點 O (0.0) .A (4.-40 )在該直線上. -40=4k.解得k=-10.y=-10x ；二點 B 在拋物線 y=-5x 2+205x-1230上.設 B ( 10.m ).則 m

8、=320 . 點B的坐標為(10.320 ).二點A為拋物線的頂點. 設曲線AB所在的拋物線的解析式為y=a ( x-4 ) 2-40.320=a ( 10-4 ) 2-40.解得a=10.即 y=10 (x-4 ) 2-40=10x 2-80x+120 .2、3、4）,”,儀 1。工二-80工-120（工=5、6、7* 8、9卜-5x2+205x-1230（x= 10. 11、12）（2）利用第x個月的利潤應該是前x個月的利潤之和減去前x-1個月的利潤之和：-10x-_10(x-l)(x= 1 2* 3、4)S-i 10x 2 -80x+120-10(j：-1)2 -80(x-l)-120C

9、t = 5. 6、7、8、9)51二一205犬一 1230(-5Qc-1)2 -205(犬一1)1230)(=10、11、12) f-10(x=l, 2, 3, 4)即S=(20工-90(戈=5, 6, 7, 8, 9)；-10-210(x = 10, IB 12)(3)由(2)知當x=1.2.3.4 時.s的值均為-10.當 x=5.6.7.8.9 時.s=20x-90.即當x=9時s有最大值90.而在 x=10.11.12 時.s=-10x+210.當x=10時.s有最大值110.因此第10月公司所獲利潤最大.它是110萬元.試試：1、某水果批發商銷售每箱進價為40元的的蘋果.物價部門規定

10、每箱售價不得高于55元.市場調查發現.若每箱以50元的價格銷售.平均每天銷售90箱.價格每提高1元.平均每天少銷售3箱.（1）求平均每天銷售量 y （箱）與銷售價x （元/箱）之間的函數關系式.（2）求該批發商平均每天銷售利潤w （元）與銷售價x （元/箱）之間的函數關系式.（3）當每箱蘋果的售價為多少元時.可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）設 y=kx+b.把已知（ 45.105 ） . （ 50.90 ）代入得.j45bb=105伙=7解僵：L ，6=240 X故平均每天銷售量y （箱）與銷售價x （元/箱）之間的函數關系式為：y=-3x+240 ;(2) 水果批發商銷售每箱進價

11、為40元的蘋果.銷售價x元/箱.該批發商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x (元/箱)之間的函數關系式為： W= ( x-40 ) (-3x+240 ) =-3x 2+360x-9600 .(3) W=-3x2+360x-9600=-3( x-60 ) 2+1200.a=-3 < 0. .,拋物線開口向下.又對稱軸為x=60. 當x< 60.W隨x的增大而增大.由于50< x< 55. .當x=55時.W的最大值為1125元.當每箱蘋果的銷售價為55元時.可以獲得最大利潤.為1125元.2、我市 某鎮的一種特產由于運輸原因.長期只能在當地銷售.當地政府對該特產的銷售投

12、資收益為：每投12入x萬兀.可狄得利潤P = (x-60 )+41 (萬兀).當地政府擬在“十二五”規劃中加快開發該特產的100銷售.其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資.在實施規劃5年的前兩年中.每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路.兩年修成.通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中.該特產既在本地銷售.也在外地銷售.在外地銷售白投資收益為：每投入x萬元.可獲利潤99100100 - x294-100 -x)+160 (萬元).(1)若不進行開發.求5年所獲利潤的最大值是多少?(2)若按規劃實施.求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少?(3

13、)根據(1) . (2).該方案是否具有實施價值?1oP=( x-60 )4萬解：(1) .每投入x萬元.可獲得利潤 100當x=60時.所獲利潤最大.最大值為41萬元. 若不進行開發.5年所獲利潤的最大值是：41X5=205 (萬元)；(2)前兩年：0< x< 50 .此時因為P隨x的增大而增大.2 X -_ ( 50-60 ) +41 = 8 0(萬元)所以x=50時.P值最大.即這兩年的獲利最大為后三年：設每年獲利y.設當地投資額為a.則外地投資額為100-a.999 29499 9 294Q=- 1 00- ( 100- a )100- ( 1 00- a) +1 60=-

14、+-a+160 *100口100*'*=一一!一 ( a-60 ) +4 1 + -a+-a+1 50 =-az+60a+165=- ( a-30 ) *+1065,1001005當a=30時.y 最 大且為1065.這三年的獲利最大為1065X3=3195 ( 萬元).5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是：80+3195- 50X2=3175 (萬元).線段和(或三角形周長)最值問題復習：如圖.正方形ABC曲邊長為4.點P在DCi上且DP=1.點Q是AC上一動點.則DQ+PQ1最小值為 D例1、已知二次函數 y =x2 +bx+c的圖象過點A(3,0加點B(1,0 ).且與y軸交于點

15、C.D點在拋物線上且橫坐標是-2.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點P.求出PA+PD的最小值.解二(1 )將 A (-3 * 0 )，B ( 1 * 0 )代入戶K+bx+c *得尸丁1十占十亡=0解圖|,二21c = -3，y-x+2x-3J(2 )y=x+2x- 3= (x+1) 2-4*'對稱軸工二- 1 1又丫 A，B關于對稱軸對稱，工連接BD與對林軸的交點即為所求P點.代D作DF登軸于F.將發=-2代入y=n2+2又一爭，pjJy=4-4-3二七 3，D ( - 2 » -3)-DF-3， BF=1- (-2> =3RgBDF中， BD=

16、 |32_32 = 3>|2V PA-PB > PA+PD=BD=3p.故PA+PD的最小值為3例2、如圖.在平面直角坐標系 xOy中.直線y=_23x+2分別交x軸、y軸于C、A兩點.將射線 AM曉著點A順時針旋轉45°得到射線 AN.點D為AMLh的動點.點B為AN上的動點.點C在/ MAN勺內部.(1)求線段AC的長；(2)當AM/ x軸.且四邊形ABCM梯形時.求 BCD勺面積；(3)求 BCW長的最小值；(4)當 BCD勺周長取彳#最小值.且BD二巫 時. BCD勺面積為30 .0 I 2 3 4 5 X-I -一 2 .解：(1 ) 直線方一號tT與戈軸、y軸

17、分別交于C % A兩直，二點C的坐標為(2。，口)，點A的坐標為2).AC=4 .(2)當AD“BC時，依題意，可知/DAE=45，A ZAB0=45° .+.0B=0A=2 .TOE，-BC=2jy-2."SAECD=|bC-OA=243-2.當AB/ DC時，可得S.BCD=SACD ,設射緘原交區軸于點E，,AD / 通，四邊形AECD為平行四邊形.*- S&AEC匚S/kACD -J SABCD-SaaEC=zCE '0A=2jJ-2 （3）作點C關于射線一的對稱點門，點C關于射建力N的對稱點C2由軸對稱的性質，可知CD二CiD，CB=C2s.A C

18、B+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2SAC1、ac2 -可得/CiAD CAD，ZC2AB=ZCAE ACi-AC2=AC=4 ./ ZDAB=46ft，,'/CiAC?=9。° 連接CC2.一兩點之間線段最短，.*當B、D兩點與J、Ca在同一條直線上時，AECD的周長最小，最小值為線段JC2的技.:BCD的周長的最小值為4P.（4）根據（3）的作圖可知四邊形AMCH的對角互補，茸中/DABE5。，因此，/C2c 二136。',/B CC2+DCC1 + ZECD-135c ，ZBCjC+ZEC-fC+ZBCCs+DCC t + ZBCD= 1 EO

19、76; ，ZEC2C=ZBCC2/DCCi二/DCK，J j BCD=9卜.ACB2+CD2=BD2=（生）26*, CB+CD=4 F-2A 2CB-CD= （12） 2- （MI） 2.CB*CD .6631. ” 14工 S=，CBCD:一.>a例3、已知.如圖.二次函數y =ax2 +2ax_3a(a =0 )圖像的頂點為 H.與x軸交于A、B兩點(B在A點右側).點H.B關于直線l: y =x +J3對稱. 3(1)求A B兩點坐標.并證明點A在直線l上；(2)求二次函數解析式；(3)過點B作直線BK/ AH交直線l于K點.M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個動點.連接HN.

20、NM.MK求HN NM-MK和的最小值.解：(1)依題意，aK+2ax-3a=0 (0 )，兩邊都除以豆得：即其+2耳-3=0，解得叼=-3 *丫 B點在A點右惻，4點坐標為(-3,(D，B點坐標為(1，0)，管:A* E兩點坐標分別是(-3,川，(1*0)-證明：直線1： 5二(工-#：， 當 #=3時，1=，冥(一3)十。=0，二點也在直線1上.(2) 丫點H、E關于過4點的直線jngx-p對稱, AH=AB=4，過頂點H作HC ± AE交A5于C點，貝山4。=亍月6=2，7?C 2 >，頂2。),代入二次函數解析式，解得口 = -f，二二次函數解析式為=底斤蘭， 善：二次

21、函數解析式為J =glRl率.(3)直級AH的解析式為丁二口L3。， 直線EK的解析式為J =4一3，即3 2,DMBX-4，,1克H、5關于直線AK對稱，E (3, 2。)，MHH+MN的最小值是MB，過K作KD_L工軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連搔QK，交直線2H于E，則。M=MK, 0E = £K=2巧，AE±QK*，根據兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是EQ，即EQ的長是HW+UM+MK的最小值, ,JBK4AH，J, /BKQ'HEQ=9卜，由勾股定理得QB二內盧_0盧=乒而三喬二8，,;HN+NM+KK的最小值為8，試試：1、已知拋物線

22、y=ax2 +bx+1經過點A(1,3)和點B(2,1).(1)求此拋物線解析式；(2)點C D分別是x軸和y軸上的動點.求四邊形ABCW長的最小值；(3)過點B作x軸的垂線.垂足為E點.點P從拋物線的頂點出發.先沿拋物線的對稱軸到達 F點.再沿FE 到達E點.若P點在對稱軸上的運動速度是它在直線 FE上運動速度的 衣倍.試確定點F的位置.使得點P按 照上述要求到達E點所用的時間最短.(要求：簡述確定 F點位置的方法.但不要求證明)二次函數中字母替換k4例1、如圖.已知A (a.m)、B ( 2a.n )是反比例函數 y = (k a 0)與一次函數y = _x+ b圖像上的兩個不 x3同的交

23、點.分別過A、B兩點作x軸的垂線.垂足分別為C、D。連結OA OB.若已知1 W a W 2.則求Sa0AB的取 AB值范圍。例2、已知點A(1,c)和點B(3,d)是直線y=kix + b和雙曲線y =k2(k2 A0)的交點 x(1)過點A做AM _Lx軸.垂足為M，連接BM，若AM = BM .求點B的坐標(2)若點P在線段AB上.過點P做PE_Lx軸.垂直為E,并交雙曲線丫=”*2：>0)于點N ,當里取 xNE1 最大值時.有PN =一,求此時雙曲線的解析式。2解：(1 )如圖，過B作軸，v SA (1，c)和點B (3, d)都在雙曲線(k2>0)上: x二 1 X C

24、-3X dT 即c=3d，A點坐標為(1，3d)，AM=3d，V 0=3-1 =2 » BN=d.二 MB二十0，而0 個 1勺(3d) 2=22Y1 球 A工B點坐標為(3,羋)；(2)如圖，把B d代入y二色蹲k"3U， X，反比例函數的解析式為y二巨，5 = 3d3k -5 = dXIEA( U 3d) > B ( 3. d) Xy=k1x+bf5，直線喪B的解析式為了=-d笠+4d，3d設F (t * -dt+4d)，則H(土，一)，3d3d/1PN=-dt4-4d-， NE二二，XE3d20,PXNE取最大值時，t=2,3d i此 B4PN=- dt+4d-

25、=-d= 1，二反比例函數的解析式為*" x作業：1、(2010眉山市26,12分)如圖.RtABO勺兩直角邊 OA OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上.O為坐標原點.A B兩點的坐標分別為(-3,0)、(0,4 ).拋物線y =- x2 +bx +cB點.且頂點在直線x = ±.32(1)求拋物線對應的函數關系式；(2)若 DC既由ABO& x軸向右平移得到的.當四邊形ABC火菱形時.試判斷點C和點D是否在該拋物 線上.并說明理由；(3)若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點.過點M作MN¥行于y軸交CD點N.設點M的橫坐標為t. MN勺長度為l .求l與t之間的函數關系式.并求l取最大值時.點M的坐標.解：（1）由題意.可設所求拋物線對應的函數關系式為y=Z（x_3）2+m （1分）324 = - (-5)2m321, , m =63分)(2)一 一 一25 21所求函數關系式為：y =-(x -5)2 -1326在 RtA ABO43. OA=3. OB=4.2 2二一 x310-x 43(4分)(3)AB = OA2-OB2-5.四邊形ABCD1菱形BC=CD=DA=AB=5，C D兩點的坐標分別是（5.4 ）、（2