1、線性代數線性代數(xin xn di sh) 克拉默法則習克拉默法則習題課題課第一頁，共28頁。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設線性方程組設線性方程組,21不全為零不全為零若常數項若常數項nbbb則稱此方程組為則稱此方程組為方形方形 非非齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零全為零若常數項若常數項nbbb此時此時(c sh)稱方程組為方形齊次線性方程組稱方程組為方形齊次線性方程組.方形非齊次線性方組與方形齊次線性方程組的概念方形非齊次線性方組與方形齊次線性方程組的概念(ginin)第五節第五節 克拉默法則克拉默法則(

2、fz)第1頁/共28頁第二頁，共28頁。如果如果(rgu)方形線性方程組方形線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數的系數(xsh)行列式不等于零，即行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 一、克拉默一、克拉默(Cramer)法則法則(fz)第2頁/共28頁第三頁，共28頁。.,332211DDxDDxDDxDDxnn nnjnnjjnnnjjjaaaaaaaaaaD1,1,111, 111, 111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，且有解，并且解是

3、唯一的，且解可以表示為解可以表示為 1jnbb1其中其中(qzhng)：證明證明(zhngmng) 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數數余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj第3頁/共28頁第四頁，共28頁。證明證明(zhngmng) 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數數余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 個方程依次相加，得個方程依次相加，得n)1( 11222121111111 nnnnjnjnnnjjnnjjbxaxaxabxaxaxabxaxaxa()jA1jA1)2(111xAa

4、nkkjk jnkkjkjxAa 1nnkkjknxAa 1,1 nkkjkAb()jA2jA2()njAnjA第4頁/共28頁第五頁，共28頁。,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代數余子式的性質由代數余子式的性質(xngzh)可知可知, ., 2 , 1njDDxjj ,332211DDxDDxDDxDDxnn ,Dxj的系數等于的系數等于上式中上式中 ; 0的系數均為的系數均為而其余而其余jixi .jD又等式右端為又等式右端為于是于是(ysh) 3當當 時時, 方程組方程組 有唯一的一個解有唯一的一個解0 D 3第5頁/共28頁第六頁

5、，共28頁。DDxDDxDDxnnjj ,11也是方程組的也是方程組的 解解. 1另外另外(ln wi)，可以證明，可以證明有有 , 2 , 1ni nnnnniiniinbaaabaaabaaa2121111211iiniibaaa21, 0 ininjijibDDaDDaDDa 11第6頁/共28頁第七頁，共28頁。nnnnniiniinbaaabaaabaaa2121111211iiniibaaa21, 0 得得行展開行展開按第按第, 1 111)1( ia11)1(Dn 2ia 2221)1()1(Dn jjnjijDa )1()1(1nnnninDa )1()1(1Dbni)1(1)

6、1( , 0 DbDaDaDaninninjnijni111111)1()1()1()1( DbDaDaDaininjiji 11.11ininjijibDDaDDaDDa 第7頁/共28頁第八頁，共28頁。定理定理1 1 如果線性方程組如果線性方程組 的系數行列式的系數行列式 則則 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果線性方程組如果線性方程組 無解或有兩個不同的無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零解，則它的系數行列式必為零. . 1二、重要二、重要(zhngyo)(zhngyo)結論結論)1(221122222121112121

7、11 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa第8頁/共28頁第九頁，共28頁。齊次線性方程組的相關齊次線性方程組的相關(xinggun)定理定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理(dngl)(dngl)0, 0, 021 nxxx.)2( 的零解的零解稱為方程組稱為方程組.)2(,的非零解的非零解稱為方程組稱為方程組不是零解的解不是零解的解 00031321321xxxxxxxx, 0321 xxx. 0, 1, 1231 xxx 002121xxxx.無非零解無非零解.,零解零解則該齊次性方程

8、組只有則該齊次性方程組只有數行列式不為零數行列式不為零若齊次線性方程組的系若齊次線性方程組的系第9頁/共28頁第十頁，共28頁。 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa必有非零解必有非零解. .另外另外(ln wi)(ln wi)，以后將證明：若系數行列式，以后將證明：若系數行列式0 D方形齊次線性方程組有非零解的充要條件方形齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數是系數(xsh)(xsh)行列式等于零行列式等于零. .定理定理(dngl)(dngl).,零解零解則該齊次性方程組只有則該齊次性方程組只有數行列式不為零數行列式不為零若齊次線

9、性方程組的系若齊次線性方程組的系第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。例例1 用克拉默則解方程組用克拉默則解方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D, 027 第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。67402125603915181 D,81 ,1082 D . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx6741212060311512 D27 ,27 ,2743 DD, 311 DDx, 422 DDx. 1 , 14433 DDxDD

10、x第12頁/共28頁第十三頁，共28頁。例例2 問問 取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解 111132421D因為因為(yn wi)D=0時，齊次方程組有非零解時，齊次方程組有非零解所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.20 ,3 ,23 第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。1. 1. 用克拉默法則解方程組的兩個用克拉默法則解方程組的兩個(lin )(lin )條件條件(1)(1)方程方程(fngchng)(fngchng)個數等于未知量個數（方形的）個數等于未知量個數（方形的

11、）. .(2)(2)系數系數(xsh)(xsh)行列式不等于零行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系 數與常數項之間的關系數與常數項之間的關系. .三、小結三、小結3. 3. 克拉默法則的不足或缺點克拉默法則的不足或缺點: :一般來說一般來說, , 其計算量較大其計算量較大. .第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。. ,)(. 4.,)(. 3.),(. 2.DD,. 1T乘乘此此行行列列式式等等于于用用數數一一數數中中所所有有的的元元素素都都乘乘以以同同列列行行列列式式的的某某一一行行等等于于零零則則此此行行列列式式

12、完完全全相相同同列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行行行列列式式變變號號列列互互換換行行列列式式的的兩兩行行即即式式相相等等行行列列式式與與它它的的轉轉置置行行列列kk n階行列式的性質階行列式的性質(xngzh)第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。).()(9. ., )( , )( . 8., )( . 7., )( . 6. )( . 5降降階階展展開開定定理理按按列列行行列列式式的的按按行行行行列列式式的的值值不不變變對對應應的的元元素素上上去去行行后后加加到到另另一一列列然然的的各各元元素素乘乘以以同同一一數數行行把把行行列列式式的的某某一一列列式式之之和和此此行行列列式式等等于于

13、兩兩個個行行列列則則的的元元素素都都是是兩兩數數之之和和行行若若行行列列式式的的某某一一列列式式為為零零則則此此行行列列元元素素成成比比例例列列行行列列式式中中如如果果有有兩兩行行提提到到行行列列式式符符號號的的外外面面以以的的所所有有元元素素的的公公因因子子可可列列行行列列式式中中某某一一行行第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。一、填空題一、填空題 ijijnaDaD則則若若, 2 . 1 1322133213321 ,0 , . 2xxxxxxxxxqpxxxxx則行列式則行列式的三個根的三個根是方程是方程設設課課 堂堂 習習 題題第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。 2/151299

14、2/149301150298D行行列列式式 .3 00000000 . 444332211ababbaba四四階階行行列列式式第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。 443424144 , .5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設設四四階階行行列列式式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中 6 6. .3 35 52 24 44 41 15 53 31 12 2aaaaa 的系數是的系數是中中在函數在函數321112 . 7xxxxxxxf 第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。 00000000 . 8yxxyxyyx四四階階行行列列式式, .9時時且且則則當當為為實實數數

15、若若 baba010100 abba. .10121121iiiiiiiinnnn 排排列列次次對對換換后后變變為為可可經經排排列列第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。二、已知二、已知,01122103210113222113132115 D.223 55352515AAAA 求求.212222111211aaaaaaaaannnnnn abababaabababaannnnnnnnnn22112222211111211 :三、證明三、證明第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。一、填空題一、填空題 ijijnaDaD則則若若, 2 . 12)1(n 0課課 堂堂 習習 題題 解解 答答

16、1322133213321 ,0 , . 2xxxxxxxxxqpxxxxx則行列式則行列式的三個根的三個根是方程是方程設設第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。 00000000 . 444332211ababbaba四四階階行行列列式式行行列列式式 .3600 )(32324141bbaabbaa 2/1512992/149301150298D第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。 443424144 , .5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設設四四階階行行列列式式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數是的系數是中中在函

17、數在函數321112 . 7xxxxxxxf 0)( 負負2 第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。 00000000 . 8yxxyxyyx四四階階行行列列式式, .9時時且且則則當當為為實實數數若若 baba010100 abba. .10121121iiiiiiiinnnn 排排列列次次對對換換后后變變為為可可經經排排列列222)(yx 00)1(21 nn第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。二、已知二、已知,01122103210113222113132115 D.223 55352515AAAA 求求45554535251555352515)223(223 AAAAAAAAAA 45A 45M 解解1122113221133211 .70 第26頁/