1、1第第二二章章2第一節第一節 矩陣的概念矩陣的概念一、矩陣的概念一、矩陣的概念 由由 個數個數排成的排成的 行行 列的數表列的數表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為 矩陣矩陣. .nm 記作記作3為了標明矩陣的行數為了標明矩陣的行數m和列數和列數n, 可用可用Am n表示表示, mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211一般情形下一般情形下, 用大寫黑體字母用大寫黑體字母 A,B,C 等等表示矩陣表示矩陣. .)(nmijaA 或記作或記作4例如例如 34695301是一個是一個 矩陣矩陣,42

2、 421是一個是一個 矩陣。矩陣。13 9532是一個是一個 矩陣矩陣,41 205224263是一個是一個 矩陣。矩陣。33 5 如果矩陣如果矩陣A=(aij)的行數與列數都等于的行數與列數都等于n, 則稱則稱A為為 n階矩陣階矩陣(或稱或稱n階方陣階方陣). nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211主對角線主對角線nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211 對于對于n階方陣階方陣A, 對應一個行列式對應一個行列式, 記作記作|A|或或det A. 注意注意 矩陣與行列式有本質區別：行列式是一個算式矩陣與行列式有本質區別：行列式是一個算式, 一個數字行列式表示一

3、個一個數字行列式表示一個數值數值, 而矩陣是一個而矩陣是一個數表數表, 它它的行數和列數可以不同的行數和列數可以不同. 對于方陣對于方陣A, 雖有行列式雖有行列式|A|, 但但A和和|A|是不同的概念是不同的概念, 不能混為一談。不能混為一談。6同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1.1.兩個矩陣的行數相等兩個矩陣的行數相等, ,列數相等時列數相等時, ,稱為稱為同型矩陣同型矩陣。例如例如 9348314 736521 與與為為同型矩陣同型矩陣.2.2.兩個矩陣兩個矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且對應并且對應元素相等元素相等,即即)()(ijijbBaA 與與 , 2 , 1;,

4、2 , 1njmibaijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等, 記作記作BA與與.BA 7例例 設設,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx8二、幾種特殊矩陣二、幾種特殊矩陣 元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零矩陣零矩陣記作記作 或或 . .nm nmO o .00000000000000000000 注意注意: 不同階數的零矩陣是不相等的不同階數的零矩陣是不相等的. .例如例如1 1、零矩陣、零矩陣92 2、上三角形矩陣和下三角形矩陣、上三角形矩陣和下三角形矩陣方方陣陣中中，如如果果在在主主對對角角線線之之下下

5、的的所所有有元元素素都都是是零零( (即即當當ji 時時，0 ija) )， nnnnaaaaaa00022211211即形如即形如的方陣，稱為的方陣，稱為上三角形矩陣上三角形矩陣，類似地，類似地， nnnnaaaaaa212221110000下三角形矩陣下三角形矩陣，OO10 n 000000213 3、對角矩陣、對角矩陣如如果果方方陣陣中中非非主主對對角角線線上上的的所所有有元元素素都都是是零零( (即即當當ji 時時，0 ija) )， 即形如即形如的方陣的方陣, ,稱為稱為對角矩陣對角矩陣，可記作可記作 .,diag21nA diagonal matrix11 0000004 4、數量

6、矩陣，單位矩陣、數量矩陣，單位矩陣即形如即形如的方陣，稱為的方陣，稱為數量矩陣數量矩陣，當對角矩陣的主對角上的元都相同時，當對角矩陣的主對角上的元都相同時，特特別別地地，當當1 時時，稱稱n階階數數量量矩矩陣陣 100010001為為n階階單單位位矩矩陣陣，記記作作nE或或E。 125 5、行矩陣與列矩陣、行矩陣與列矩陣只有一行的矩陣只有一行的矩陣,),(21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或或行向量行向量) ).只有一列的矩陣只有一列的矩陣,21 naaaB稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).).13第二節第二節 矩陣的運算矩陣的運算 mnmnmmmmnnnnbabababa

7、bababababaBA2211222222212111121211111 1、矩陣的加法、矩陣的加法設有兩個設有兩個 矩陣矩陣 ，那末矩陣，那末矩陣 與與 的的和和記作記作 ，規定為，規定為nm ABBA )()(ijijbBaA 與與14說明說明 只有當兩個矩陣是只有當兩個矩陣是同型同型矩陣時，才能進行矩陣時，才能進行加法運算加法運算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 15矩陣加法的運算規律：矩陣加法的運算規律：; )1(ABBA ；)()( )2(CBACBA mnmmnnaaaaaaaaa112222111

8、211, ,負負矩矩陣陣的的稱稱為為矩矩陣陣A.A 記記為為.)(OAA 顯然有顯然有)( BABA 定義矩陣的定義矩陣的減法減法：. )3(OAOOA 16說明說明 只有當兩個矩陣是只有當兩個矩陣是同型同型矩陣時，才能進行矩陣時，才能進行減法運算減法運算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112 74041451451117.112222111211 mnmmnnkakakakakakakakakakA規規定定為為的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數數,kAAk2 2、矩陣的數量乘法、矩陣的數量乘法18;)( )1(kBkABAk ;)( )2(

9、lAkAAlk ;)()( )3(AkllAk 數乘矩陣的運算規律：數乘矩陣的運算規律：加法和數乘合稱為矩陣的加法和數乘合稱為矩陣的線性運算線性運算. .（設（設 為為 矩陣，矩陣， 為數）為數）lk,nm BA、.01 )4(OAAA ，19求求 2A B .例例1 1 已知已知解解,412011 A,213122 BBA 2 2131224120112 213122824022.637100 20例例2 2 已知已知且且A + 2X = B, 求求X .解解,864297510213 A,612379154257 B)(21ABX 27212244446421.12712111222232

10、 21 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設設 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，那末規定矩陣矩陣，那末規定矩陣A與矩陣與矩陣B的乘積是一個的乘積是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中)(ijaA sm ns nm )(ijbB )(ijcC 3 3、矩陣的乘法、矩陣的乘法22 skkjiksjisjijiijbabababac12211sm ns nm msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snsjsnjnjbbbbbbbbb122211111 mnmjminij

11、injccccccccc11111123 121113121430415003112101例例3 3222263422142 22 16 32 816例例4 4. 5 671026 2 17 1024 415003112101100010001例例5 5 100010001063802241.063802241 .415003112101 25例例6 6 nnbbbaaa2121.2211 nnbababa26注意注意只有當只有當左邊矩陣的左邊矩陣的列數列數等于等于右邊矩陣的右邊矩陣的行數行數時，兩個矩陣才能相乘時，兩個矩陣才能相乘.例如，例如， 985123321106861有意義，有意義，

12、 106861985123321沒意義。沒意義。而而27矩陣乘法的運算規律：矩陣乘法的運算規律：;)()()1(BCACAB ,)()2(ACABCBA ;)(CABAACB )()()()3(kBABkAABk (其中其中k為數為數);,)4(OOAOAO 注意注意：交換律不成立。：交換律不成立。首先，首先，AB有意義，不見得有意義，不見得BA就有意義；就有意義；.985123321,106861 BA例如，例如，.)5(AEAAE 28均有意義，均有意義，、階矩陣，則階矩陣，則為為、為為若若BAABmnBnmA ;階方陣階方陣為為階方陣，階方陣，為為但但nBAmAB,21 naaaA設設,

13、 ),(21nbbbB 例如，例如，),(2121nnbbbaaaAB nnaaabbbBA2121),(,212221212111 nnnnnnbababababababababa. )(2211nnababab nn 11 29,2142 A, AB,6342 B例如，例如，結論：矩陣乘法交換律不成立，一般結論：矩陣乘法交換律不成立，一般.BAAB 若若,BAAB 稱稱A、B可交換可交換，(前提是前提是A、B為同階方陣為同階方陣).為為同同階階方方陣陣，、為為同同階階方方陣陣時時，、當當BAABBA但仍不但仍不一定有一定有.BAAB 16 32 816, BA000030例例7 7，設設

14、1011A試求出所有與試求出所有與A可交換的矩陣。可交換的矩陣。解解，設設 dcbaB， dcdbcaAB， dccbaaBA則則，令令BAAB ，得得dac 0.,0任意任意，baabaB 31,000021426342 從前例從前例還可看出，矩陣乘法不滿足消去律：還可看出，矩陣乘法不滿足消去律：OAB OA 或或;OB 或或ACAB .CB 例如，例如，,0101 A,3201 B,4001 C,0101 AB.0101 ACOCBA )(左消去律左消去律同理沒有右消去律：同理沒有右消去律：BCAC .BA 32定義定義設設A為為n階方陣，則階方陣，則A的方冪定義為的方冪定義為 個個kkA

15、AAA ,1AAk .為為正正整整數數k再規定再規定 .0EA 規律：規律：,lklkAAA .)(kllkAA 其中其中k，l為任意非負整數。為任意非負整數。注意注意 由于沒有交換律，一般由于沒有交換律，一般.)(kkkBAAB 因此，一般因此，一般2)(BA )(BABA 22BBAABA ,222BABA )(BABA 22BBAABA .22BA 33例例8 8設設,0100 A,0110 B,0011 C,2OA ,2EB .2CC 例例9 9.,001001nAA求求設設 解解，設設 000100010BnnBEA)( 22211BCBCEnnnnn ， 0000001002B.3

16、 kOBk，34解解，設設 000100010BnnBEA)( ， 0000001002B.3 kOBk，22211BCBCEnnnnn 0000000000000000000002211nnnnnnnCnn .0001221 nnnnnnnnCn 35設設mmxaxaxaaxf 2210)( A是一個是一個n階方陣，階方陣，定義定義矩陣多項式矩陣多項式為為.)(2210mmAaAaAaEaAf 是一個多項式，是一個多項式，例如，例如，設設35)(2 xxxf， ,3312 A,1215572 AEAAAf25)(2 1001333125121557.0000 36下面將線性方程組寫成矩陣形式

17、下面將線性方程組寫成矩陣形式 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa記系數矩陣記系數矩陣,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx,21 mbbbb則上述方程組可寫為則上述方程組可寫為.bAx 374 4、矩陣的轉置、矩陣的轉置定義定義 把矩陣把矩陣A的的行列互換行列互換得到的新矩陣，叫做得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作的轉置矩陣，記作 . A例例10,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB，矩矩陣陣是是若若nmA .矩矩陣陣是是則則mAnT 38轉置矩陣的運算

18、性質：轉置矩陣的運算性質：;)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTkAkA .)()4(TTTABAB (4)可推廣到多個矩陣可推廣到多個矩陣:證略證略.)(1221TTTsTsAAAAAA 39設設,102324171,231102 BA.)(TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170)( TAB例例1140解法解法2TTTABAB )( 213012131027241.1031314170 設設,102324171,231102 BA.)(TAB求求例例1141對稱矩陣與反對稱矩陣對稱矩陣與反對稱矩陣定義

19、定義.A為為對對稱稱陣陣例例如如 6010861612對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.說明說明 設設A為為n階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即即AAT ), 2 , 1,(njiaajiij 那末那末A稱為稱為對稱陣對稱陣 .42定義定義.021206160為反對稱陣為反對稱陣例如例如 A反對稱陣的對角元全為零反對稱陣的對角元全為零 .說明說明), 2 , 1,(njiaajiij 那末那末A稱為稱為反對稱陣反對稱陣 . 設設A為為n階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即AAT 對稱矩陣與反對稱矩陣對稱矩陣與反對稱矩陣43例例12若若A、B

20、為同階對稱陣為同階對稱陣(反對稱陣反對稱陣), 則則BAAk ,仍為對稱陣仍為對稱陣(反對稱陣反對稱陣) .設設B是一個是一個m n矩陣矩陣, 則則BTB和和BBT都是對稱矩陣都是對稱矩陣.因為因為BTB是是n階方陣階方陣, 且且(BTB)T同理同理, BBT是是m階對稱矩陣階對稱矩陣.=BT(BT)T=BTB .A、B為同階對稱陣，為同階對稱陣， AB未必對稱；未必對稱； 只有只有A、B可可交換交換， AB才對稱。才對稱。(證明留作練習證明留作練習) 設設A是是n階反對稱矩陣階反對稱矩陣, B是是n階對稱矩陣階對稱矩陣, 則則AB+BA是反對稱矩陣是反對稱矩陣. 練習練習(AB+BA)T=

21、(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B( A)+( A)B = (AB+BA) .證證445 5、方陣的行列式、方陣的行列式定義定義 由由 n 階方陣階方陣 A 的元素所構成的行列式，叫做的元素所構成的行列式，叫做方陣方陣 A 的行列式，記作的行列式，記作| A |或或det A .,8632 A例例8632| A則則. 2 運算性質運算性質; | )1(AAT ; | )2(AkkAn ; | )3(BAAB (3) 推廣推廣:. |2121ssAAAAAA 特別：特別：.|mmAA 注意！注意！45練習：練習：P64 習題二習題二1. 3. 5.(1)(3)(5)(6)(7) 6.

22、(1) 7.(2)9. 11.46補充題補充題求求所所有有與與 001100010A 可可交交換換的的矩矩陣陣. . 1.1.2.2.設設,2TxxEA 其其中中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA,2A,TAA,AAT.Ax 4.4.如如果果方方陣陣A與與B、C均均可可交交換換, , 證證明明：A與與BC、A與與B+ +C均均可可交交換換。 3.3.1 2314321032 1 ,530140321250AB，求，求 3A 2B .已知已知47123143210321 ,530140321250AB求求 3A 2B .1.1. 已知已知12314321323032125

23、3014032125036938642096310602120962410011055101561104196AB解解48123143213230321253014032125036938642096310602120962410011055101561104196AB123143213230321253014032125036938642096310602120962410011055101561104196AB123143213230321253014032125036938642096310602120962410011055101561104196AB49求求所所有有與與 001100

24、010A 可可交交換換的的矩矩陣陣. . 解解設設 ihgfedcbaB與與A可交換，可交換， ihgfedcbaAB001100010, cbaihgfed 001100010ihgfedcbaBA, hgiedfbac2.2.50, eihdfgbfaecd ihgfedcbaAB001100010, cbaihgfed 001100010ihgfedcbaBA, hgiedfbac所以所以。任意任意其中其中cbaacbbaccbaB, , 51如如果果方方陣陣A與與B、C均均可可交交換換, , 證證明明：A與與BC、A與與B+ +C均均可可交交換換。 3.3.證證,BAAB ,CAAC

25、已知已知)(BCACAB)( CBA)( )(ACB )(CAB ,)(ABC 即即A與與BC可交換可交換;)(CBA ACAB CABA ,)(ACB 即即A與與 B+C 可交換可交換.于是于是52設設,2TxxEA 其其中中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA,2A,TAA,AAT.Ax 4.4.解解TTTxxEA)2( TTTxxE)(2 TxxE2 ;A 2A2)2(TxxE )(442TTTxxxxExxE TTTxxxxxxE)(44 TTxxxxE44 ,E ;2EAAAAATT AxxxxET)2( )(2xxxExT xx2 .x 53第第三三節節54,

26、 111 aaaa則矩陣則矩陣 稱為稱為A的逆矩陣的逆矩陣.1 A在數的運算中，在數的運算中，當數當數 時，時，0 a有有其中其中 為為 a 的倒數，的倒數，aa11 （或稱（或稱 a 的逆）；的逆）；單位陣單位陣E類似于類似于1在數的乘法運算中的地位在數的乘法運算中的地位.那么，對于矩陣那么，對于矩陣A ，如果存在一個矩陣如果存在一個矩陣 ,1 A,11EAAAA 使得使得對方陣對方陣, 有有AE=EA=A,一、逆矩陣的概念一、逆矩陣的概念55定義定義,EBAAB .1 A例例1 設設,2153 ,3152 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB設設A是是n階方陣，如果存在階方

27、陣，如果存在n階方陣，使得階方陣，使得 則稱則稱A為可逆矩陣，而為可逆矩陣，而B稱為稱為A的逆矩陣，記為的逆矩陣，記為 (1) 只有方陣才可能可逆只有方陣才可能可逆;例例2單位矩陣單位矩陣E可逆，可逆，因因為為 EEE ，所所以以 EE 1。 說明說明：(2) 若若 1 AB，則則 AB 1。 56定理定理 若矩陣若矩陣A是可逆的，則是可逆的，則A的逆矩陣必唯一的逆矩陣必唯一.證證設設B和和C都是都是A的逆矩陣，則的逆矩陣，則BBCA)( )(ABC CE EB .C EBAAB 結合律結合律問題問題: (1) 什么條件下什么條件下A才可逆才可逆?(2) 如果可逆如果可逆, 如何求如何求 ?1

28、 A57二、矩陣可逆的條件二、矩陣可逆的條件EBAAB )(上式兩邊取行列式上式兩邊取行列式,1| EBAAB.0| A若若,0| A則稱矩陣則稱矩陣A是是非奇異非奇異的的( (或或非退化非退化的的) )； 否則稱否則稱A為奇異的為奇異的( (或退化的或退化的) )。0| A是是A可逆的必要條件可逆的必要條件.下面說明這個條件也是充分的下面說明這個條件也是充分的.定理定理定義定義58定義定義 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質性質.|EAAAAA 證明證明為為A的的伴隨矩陣伴隨矩陣 .設設n階階方方陣陣nnijaA )(， ijA為為A中中元元素素ija的的 代數余子

29、式代數余子式, , 稱矩陣稱矩陣回憶行列式按行展開公式回憶行列式按行展開公式: : . ,0 , |2211kikiAAaAaAainknikik59 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211 O| A| A| AO,|EA 類似地，類似地，按列展開公式可得按列展開公式可得.|EAAA 60定理定理 矩陣矩陣A是可逆的是可逆的充分必要條件充分必要條件是是A非奇異；非奇異；.|11 AAA證證充分性充分性:,| EAAAAA 由由)|1( AAA則則若若,0| A必要性：已證；必要性：已證；)(|1 AAAEAA|1 ,E

30、,)|1(EAAA 同理，同理，所以所以A可逆，且有可逆，且有.|11 AAA當當A可逆時，有可逆時，有 61推論推論.,11ABBA EAB ,0| ,0| BA故故,都都可可逆逆、因因而而BA證證設設BA,均均為為n階階方方陣陣，且且有有EAB ，則則BA, 都可逆，且有都可逆，且有,1| EBA,1 AEAB兩兩邊邊左左乘乘在在,1 AB即得即得,1 BEAB兩邊右乘兩邊右乘在在.1 BA即即得得定理定理 矩陣矩陣A是可逆的是可逆的充分必要條件充分必要條件是是A非奇異；非奇異；.|11 AAA當當A可逆時，有可逆時，有 62求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 331212321A例例3

31、逆矩陣的求法逆矩陣的求法伴隨矩陣法伴隨矩陣法解解.A可可逆逆所所以以11A12A,33321 ,43122 3 4 13A,53112 A5331212321| A 32 1 0143 4 , 0 03 4 01063 A 331212321A, 1, 0, 3232221 AAA. 3, 4, 1333231 AAA同理可求得同理可求得103 543 341 . 31540413341 AAA|11 對于對于3階以上的矩陣，用階以上的矩陣，用伴隨矩陣法伴隨矩陣法求逆矩陣很求逆矩陣很麻煩，以后將給出另一種求法麻煩，以后將給出另一種求法-初等變換法初等變換法。 64例例4，設設 dcbaA，則則

32、bcadA |故故A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是,0 bcad且且bcadA 11例如，例如，14151 1154.1154 . dc b a對角元換位，對角元換位，非對角元變號非對角元變號.65例例5對角陣對角陣),(diag21naaaA 可逆的充分必要可逆的充分必要條件是條件是, ),1(0niai 且且.11211121 nnaaaaaaOOOO例如，例如，1321 .3/ 12/ 11 66例例6解解設設A為為 3 階階方方陣陣，且且,21| A求求行行列列式式 |2)3( |*1AA 的的值值。 (其中其中 A為為A的伴隨矩陣）的伴隨矩陣） 1*| AAA|2)3( |

33、1 AA,211 A1131 AA132 A1|278 A.2716 |)32(13 A2278 67例例7.112510324123011111123011111 )2( X ;412341511 X解解矩矩陣陣方方程程解解 41231154.642817 412341511X(1) 方程兩端左乘矩陣方程兩端左乘矩陣,41511 68 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111 X.112510324123011111123011111 )2( X69例例8解解,61BAABAA 設

34、設，其其中中 714121Aoo.B求求ABABAA61 ,6)(1ABAEA ,6)(1EBEA 11)(6 EAB11000100017000400026 16000300016 610003100016.100020006 70.,2,:,22并并求求它它們們的的逆逆矩矩陣陣都都可可逆逆證證明明滿滿足足方方程程設設方方陣陣EAAOEAAA 例例9,2 2OEAA 由由,2)( EEAA 得得,)(21EEAA ,可可逆逆故故A. )(211EAA 且且OEAA 22 又又由由,4)3( )2( EEAEA ,)3(41)2(EEAEA ,2可逆可逆故故EA . )3(41)2(1EAEA

35、 且且證證,4632 2OEEAAA 71例例10證證若若n階階矩矩陣陣A可可逆逆， 證證明明1| nAA。 在在EAAA| 兩兩邊邊取取行行列列式式得得 ,|nAAA 因因為為A可可逆逆，故故0| A。 所以所以.|1 nAA以后證明以后證明, 去掉去掉A可逆這個條件可逆這個條件, 上述結論仍然成立上述結論仍然成立.72例例11證證若若A可可逆逆，試試證證 A也也可可逆逆，且且AAA|1)(1 。 由由EAAA| ， 因因為為A可可逆逆，故故0| A。 ,)|1( EAAA .|1)(1AAA 即即 A也也可可逆逆，且且 73.)(, )1(111AAAA 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若且

36、且可可逆逆則則數數可可逆逆若若, 0, )2(kAkA 且且亦亦可可逆逆則則為為同同階階方方陣陣且且均均可可逆逆若若, )3(ABBA.1)(11 AkkAB 1)(B1 1 AA)( )(11 ABAB1 AEA.1EAA 證證11)( ABBA三、逆矩陣的運算性質三、逆矩陣的運算性質注意注意A，B可逆，可逆，A+ +B不一定可逆，不一定可逆，即使可逆，一般即使可逆，一般.)(111 BABA. ) (1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A74推論：可逆陣推論：可逆陣A若對稱若對稱( (反對稱反對稱) ), ,則則 也對稱也對稱( (反對稱反對稱) ).1 ATA )(1 1)( T

37、A,1 A對稱對稱;TA )(1 1)( TA1)( A反對稱反對稱.,1 A(5) 設設CBA,為為同同階階方方陣陣, ,ACAB . . 若若A可可逆逆, ,則則CB . . 對于可逆矩陣而言，矩陣乘法的對于可逆矩陣而言，矩陣乘法的消去律消去律成立。成立。.)()(, )4(AAAAT 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若TT1 1 TTAA)(1 TE .E 證證TAA)(1 TTTABAB )(.|, )6(11 AAA則有則有可逆可逆若若,1EAA ,1|1 AA.|11 AA因因此此證證75線性方程組線性方程組 .,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxa

38、xabxaxaxabxaxaxa寫成矩陣形式寫成矩陣形式,bAx 其中其中,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx,21 mbbbb,0| A若若,1bAx 則則此即克萊姆法則。此即克萊姆法則。76練習：練習：P66 習題二習題二13.(1) 16. 17. 19. 21. 22.*補充題補充題若若方方陣陣A與與B可可交交換換, ,且且A可可逆逆, ,則則1 A與與B也也可可交交換換. . 77補充題補充題若若方方陣陣A與與B可可交交換換, ,且且A可可逆逆, ,則則1 A與與B也也可可交交換換. . 證證,BAAB , 1BAAB , 11BABA 即即

39、1 A與與B也也可可交交換換. . 78第四節第四節79對于規模較大對于規模較大, ,零較多或局部比較特殊的矩零較多或局部比較特殊的矩陣陣, 為了簡化運算，經常采用為了簡化運算，經常采用分塊法分塊法，把大矩陣，把大矩陣分割成小矩陣分割成小矩陣. .在運算時在運算時, , 把這些小矩陣當作元把這些小矩陣當作元素一樣來處理素一樣來處理. . 具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的的子塊子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣. .80 bbaaA110

40、101000001,321 BBB例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即81 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即82 bbaaA110101000001 bbaaA110101000001, BEOA ,4321AAAA aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA100483分塊矩陣的運算規則分塊矩陣的運算規則那那末末列列數數相相同同的的行行數數相相同同與與其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABAB

41、A srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,(1) 分塊矩陣分塊矩陣A與與B的行數相同的行數相同,列數相同列數相同, 采用相同采用相同的分塊法的分塊法, 有有84那那末末為為數數設設, , (2)1111kAAAAAsrsr .1111 srsrkAkAkAkAkA 由于矩陣的加法與數乘比較簡單，一般不需用由于矩陣的加法與數乘比較簡單，一般不需用分塊計算。分塊計算。 85,)3(11 srAAA設設rA11sA.11 TsrTTAAA則則TsA1TrA1 分塊矩陣轉置時，先按塊轉置，再將各子塊內分塊矩陣轉置時，先按塊轉置，再將各子塊內部轉置。部轉置。 86分分塊塊成成矩矩陣陣為為

42、矩矩陣陣為為設設, )4(nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行數數的的列列數數分分別別等等于于其其中中,2121j tjjt iiiBBBAAA srsrCCCCAB1111.), 1;, 1(1rjsiBACkjtkikij 其其中中87,1011012100100001 A例例1 設設,0211140110210101 B.AB求求解解分分塊塊成成把把BA,1 EAOEA,222111 BBEBB則則 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB88.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA

43、110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 89于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 21111BBA ,1142 02141121221BA,1333 90 sAAAA21O 形如形如的分塊矩陣的分塊矩陣, ,稱為稱為準上三角陣準上三角陣, ,.), 2 , 1(都都是是方方陣陣其其中中siAi 類似有類似有準下三角陣準下三角陣.,1011012103100002 A準下三角陣準下三角陣幾種特殊分塊矩陣的行列式和逆矩陣幾種特殊分塊矩陣的行列式和逆矩陣91(2). |21sAAAA 準三角矩陣有如下性

44、質準三角矩陣有如下性質: :(1) 設設A、B兩個同類型的兩個同類型的準三角矩陣，則準三角矩陣，則ABkABA, 均為同類型的均為同類型的準三角矩陣。準三角矩陣。 sAAAA21O sAAAA21O 92 sAAAA21OO特別特別,稱為稱為準對角矩陣準對角矩陣. . 120130005 120001300000210005300000393準對角矩陣除了具有準三角陣的性質以外準對角矩陣除了具有準三角陣的性質以外, ,還有還有: :(1) ssBBBAAA2121OOOO.2211 ssBABABAOO.21 kskkkAAAAOO特別，特別，94. |21sAAAA 則則，設設 sAAAA2

45、1 OO且且有有均均可可逆逆可可逆逆當當且且僅僅當當,), 2 , 1(siAAi (2).112111 sAAAAOO95例例2 設設,120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA;321112 A 12111AOOAA.3201100051 96例例3 設設,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解,321 AAAA 2322212AAAA,3800041100000950002514000009 97例例3 設設,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解321AAA

46、A 1312111AAAA,32000110000031000520000031 ,3 5A5A ,243 98例例3 設設,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解 TTTTAAAA321.1100023000002500013000003 99例例4解解,0都都是是可可逆逆方方陣陣和和其其中中設設BABCAP .,1 PP并并求求可可逆逆證證明明,可可逆逆由由BA,0 BAP有有.可逆可逆得得P,1 YWZXP設設 YWZXBCAPP01于于是是 BYBWCYAZCWAX, EOOE100 .,EBYOBWOCYAZECWAX BYBWCYAZ

47、CWAX, EOOE,1 BY,OW ,1 AX,1 YWZXP,OCYAZ ,CYAZ ,11 CBAZ.111111 BOCBAABOCAP因因此此101.11111 BCABOABCOA類似有類似有,11111 BCAABOOBAC特別，特別，.111 BOOABOOA.11111 BOCBAABOCA.111 OABOOBAO另外，另外，102練習：練習：P67 習題二習題二23.(2) 24.103第五節第五節104定義定義 下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等初等行行變換變換: :）；記記作作兩兩行行對對調調兩兩行行（對對調調jirrji, )1(;0 )2(乘乘以以某

48、某一一行行的的所所有有元元素素以以數數 k）記記作作行行乘乘（第第krkii ,. 3)( ）作作行行上上記記倍倍加加到到第第行行的的應應的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行對對把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定義矩陣的同理可定義矩陣的初等初等列列變換變換 (所用記號是把所用記號是把“r”換成換成“c”)一、矩陣的初等變換與初等矩陣一、矩陣的初等變換與初等矩陣105初等變換的初等變換的逆變換逆變換仍為初等變換仍為初等變換, , 且變換類型相同且變換類型相同jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(kri jikrr 逆變換逆變換.

49、)(jirkr 定義定義 由單位矩陣由單位矩陣E經過經過一次一次初等變換，得到的矩陣初等變換，得到的矩陣稱為稱為初等矩陣初等矩陣。初等矩陣有下列初等矩陣有下列3種：種：106(1) 對對E施以第施以第(1)種初等變換得到的矩陣種初等變換得到的矩陣.i 行行i 列列j 行行j 列列 10111101),(jiE107(2) 對對E施以第施以第(2)種初等變換得到的矩陣種初等變換得到的矩陣. 1111)(kkiEi 行行i 列列108(3) 對對E施以第施以第(3)種初等變換得到的矩陣種初等變換得到的矩陣.行行行行列列列列jikjikjiE 1111)(,(109初等矩陣的逆矩陣還是同類型的初等矩

50、陣初等矩陣的逆矩陣還是同類型的初等矩陣：, ),(),(1jiEjiE ,)1()(1kiEkiE .)(,()(,(1kjiEkjiE 110(2) 對對A施以某種初等施以某種初等列列變換變換, 相當于用同種的相當于用同種的n階初階初等矩陣等矩陣右右乘乘A.(1) 對對A施以某種施以某種初等初等行行變換變換, 相當于用同種的相當于用同種的m階初階初等矩陣等矩陣左左乘乘A.定理定理 設設A為為 階矩陣，階矩陣，nm 證略。證略。例例1 654321A 232CC,1654721 654321 100210001.1654721 111二、矩陣等價二、矩陣等價等價關系的性質：等價關系的性質：；自

51、反性自反性）（AA 1;, 2ABBA 則則若若對對稱稱性性）（. , , 3CACBBA 則則若若）傳傳遞遞性性（ 如果矩陣如果矩陣B可以由矩陣可以由矩陣A經過有限次初等變換經過有限次初等變換得到，則稱矩陣得到，則稱矩陣A和和B為為等價等價的，記作的，記作 BA 定義定義112定理定理nmrOOOE 任意一個任意一個 矩陣矩陣 A 經過有限次初等變換，經過有限次初等變換，nm 的矩陣，稱之為的矩陣，稱之為A的的等價標準形等價標準形。 證略。證略。總可以化為形如總可以化為形如 ),min(nmr 113將下列矩陣化為標準形將下列矩陣化為標準形 .例例2(1)解解 032110322103321

52、0A41rr 3210103221030321123rr 132rr A 321003212 860 1 670 114 321016702860032142rr 0032100321237rr 2020 0 20 200 000011001021 000032100321 0000110010100111 0 01 0 0.0000010000100001 1 30 246rr 115對矩陣對矩陣A施以施以初等初等行行變換變換, 相當于相當于左左乘一個初等矩陣乘一個初等矩陣；對矩陣對矩陣A施以施以初等初等列列變換變換, 相當于相當于右右乘一個初等矩陣乘一個初等矩陣。nmrOOOE 任意一個矩

53、陣任意一個矩陣 A總可以經過有限次初等變換，化為標總可以經過有限次初等變換，化為標準形準形推論推論1對對于于任任意意nm 矩矩陣陣 A, ,存存在在 m 階階初初等等矩矩陣陣 sPP,1和和 n 階階初初等等矩矩陣陣tQQ,1, ,使使得得 OOOEQQQAPPPrtss2111116推論推論1對對于于任任意意nm 矩矩陣陣 A, ,存存在在 m 階階初初等等矩矩陣陣 sPP,1和和 n 階階初初等等矩矩陣陣tQQ,1, ,使使得得 OOOEQQQAPPPrtss2111推論推論2對于任意對于任意nm 矩陣矩陣 A, ,存在存在 m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P 和和 n 階階可可逆逆矩矩陣陣 Q

54、，使使得得 OOOEQAPr117推論推論2對于任意對于任意nm 矩陣矩陣 A, ,存在存在 m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P 和和 n 階階可可逆逆矩矩陣陣 Q，使使得得 OOOEQAPr,0| A若若A為為n階可逆矩陣，階可逆矩陣，,0| OOOEQAPQAPr, nr . nEPAQ 即即推論推論3n 階階矩矩陣陣 A 可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是 A的的等等價價 標標準準形形為為nE。 118若方陣若方陣A可逆，則它的等價標準形必為單位矩陣可逆，則它的等價標準形必為單位矩陣. .即即存存在在初初等等矩矩陣陣sPP,1和和tQQ,1, ,使使 ,2111EQQQAPPPtss 初

55、等陣是可逆的，且其逆陣仍為初等陣，于是初等陣是可逆的，且其逆陣仍為初等陣，于是111111 QEQPPAts其中其中kRRR,21均為初等矩陣，均為初等矩陣，定理定理 n階方陣階方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是A可以表示成可以表示成 ,21kRRR 一些初等矩陣的乘積。一些初等矩陣的乘積。 119三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣其中其中kRRR,21均為初等矩陣，均為初等矩陣，,21kRRRA 或或,11EAUUUkk 其中其中kUUU,21均為初等矩陣，均為初等矩陣，設設A可逆，則可逆，則可逆陣可經過若干次初等可逆陣可經過若干次初等行行變換化為單位矩陣。變換化為單位

56、矩陣。,11EAUUUkk 表明：表明：,111 AEUUUkk表明：表明： 如果用一系列初等如果用一系列初等行行變換把可逆矩陣變換把可逆矩陣A化為單化為單位矩陣位矩陣E，那么同樣地用這些初等那么同樣地用這些初等行行變換就把單位變換就把單位矩陣矩陣E化為化為 .1 A120利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法：. )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時時，原原來來的的變變成成當當把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣對對可逆陣可經過若干次初等可逆陣可經過若干次初等行行變換化為單位矩陣。變換化為單位矩陣。,11EAUUUkk 表明：表明：,111 AEUUUkk表明：表明：

57、 如果用一系列初等如果用一系列初等行行變換把可逆矩陣變換把可逆矩陣A化為單化為單位矩陣位矩陣E，那么同樣地用這些初等那么同樣地用這些初等行行變換就把單位變換就把單位矩陣矩陣E化為化為 .1 A121 100343010122001321EA. ,343122321 1 AA求求設設 解解例例3 001321122rr 133rr 23rr 001252000132152 0 01 2 62 0 10 3 10 11 1 122 1 11100012520001321056 3 1 11100202103 32 1 1110056302001023 1 .111253232311 A 11110

58、025323010231001) 2(2 r)1(3 r123 . 1 BA ，可可直直接接求求利利用用初初等等行行變變換換的的方方法法E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等初等行行變換變換BAX 求解矩陣方程求解矩陣方程BAX1 124例例4.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可可逆逆，則則若若122rr 133rr 343431312252321)(BA 1226209152052321125 122620915205232123rr 311009152052321312rr 325rr 311006402041

59、021126.313223 X， 311003201023001) 2(2 r)1(3 r 31100640204102121rr 311006402023001127例例5解解設矩陣設矩陣A和和B 滿足關系式：滿足關系式： ,2XAAX 其中其中 ,321011324 A求矩陣求矩陣X。 由由XAAX2 可可得得 AXEA )2(. . ,)2(1 AEAX 所所以以 100121010011001322),2(EEA 10012100132201001121rr 128 110110021340010011 461100110110010011,461100351010341001 100

60、121001322010011 021340110110010011122rr 13rr 43rr 461100351010010011234rr 32rr 21rr )1(3 r129,461100351010341001 于是于是,461351341)21 EA（因此因此 321011324461351341)2(1AEAX.9122692683 130或解或解,)2(1 AEAB 321121011011324322),2(AEA.9122692683 B,9122100692010683001 例例5設矩陣設矩陣A和和B 滿足關系式：滿足關系式： ,2XAAX 其中其中 ,321011