1、 1. 應力與強度的概念應力與強度的概念 2. 彎曲時的正應力彎曲時的正應力 3. 截面的幾何特征截面的幾何特征 4.梁的正應力強度梁的正應力強度 5.梁的剪應力強度梁的剪應力強度4-1 4-1 應力和強度的概念應力和強度的概念一、應力的概念一、應力的概念問題提出：問題提出：PPPP1. 內力大小不能衡量構件強度的大小。2. 強度：內力在截面分布集度應力； 材料承受荷載的能力。1. 定義：定義：由外力引起的內力。 工程構件，大多數情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。 P AM平均應力：平均應力：應力：應力：APpMAPAPpAd

2、dlim02. 應力的表示：應力的表示：應力分解為：應力分解為：p M ANANAddlim0AVAVAddlim0垂直于截面的應力稱為垂直于截面的應力稱為“正應力正應力” ( (Normal Stress) )；位于截面內的應力稱為位于截面內的應力稱為“剪應力剪應力”( (Shearing Stress) )。 應力的單位：應力的單位：2N/m即即 帕斯卡帕斯卡 Pa1GPa =103MPa =109Pa1MPa =106Pa變形前1. 變形規律試驗及平面假設：變形規律試驗及平面假設：平面假設：平面假設：縱向纖維變形相同，原為平面的橫截面在變形后仍為平面。受載后PP d ac b二、拉（壓）

3、桿橫截面上的應力二、拉（壓）桿橫截面上的應力均勻材料、均勻變形，內力當然均勻分布。2. 拉伸應力：拉伸應力：NPAN 軸力引起的正應力 ： 在橫截面上均布。abcd橫截面三、三、 強度設計準則（強度設計準則（強度條件）：）： max其中：-許用正應力， max-危險點的最大工作正應力 -許用剪應力， max-危險點的最大工作剪應力。 保證構件不發生強度破壞并有一定安全余量的條件準則。 max4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力 純彎曲純彎曲:梁的橫梁的橫截面上只有彎截面上只有彎矩，而沒有剪矩，而沒有剪力作用。橫截力作用。橫截面上只分部正面上只分部正應力。應力。 剪力彎曲剪力彎曲:粱的橫

4、截面上既有彎矩，粱的橫截面上既有彎矩，又有剪力作用。橫截面上同時分布正又有剪力作用。橫截面上同時分布正應力和切應力。應力和切應力。變形的幾何關系變形的幾何關系應力與應變間物理關系應力與應變間物理關系靜力平衡條件靜力平衡條件正應力計算公式正應力計算公式導出導出純彎曲時梁的正應力推導純彎曲時梁的正應力推導純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力梁橫截面上的變形梁橫截面上的變形 變形幾何關系變形幾何關系 要找出梁橫截面要找出梁橫截面上正應力變化規律，上正應力變化規律，須先找出縱向線應變須先找出縱向線應變在該截面上的變化規在該截面上的變化規律律. 平行于梁軸線的平行于梁軸線的縱向線縱向線aaaa和和bbbb代

5、表縱代表縱向纖維；垂直于軸線向纖維；垂直于軸線的的mmmm和和nnnn代表橫截面代表橫截面4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力(c)(d)(e)zm中性層O中性層yxmmnbabamnmmmmmnaaydxdOOO12x 梁橫截面上的變形梁橫截面上的變形規律：規律：（2）在變形前，與梁軸在變形前，與梁軸線垂直的橫向直線線垂直的橫向直線m-m和和n-n變形后仍保持變形后仍保持為直線，相互傾斜了為直線，相互傾斜了一個角度，但仍與彎一個角度，但仍與彎曲后的梁軸線保持垂曲后的梁軸線保持垂直。直。 （1）縱向線縱向線a-a和和b-b，由變形前的直線變成由變形前的直線變成了平行的圓弧線，凹了平行的

6、圓弧線，凹邊的縱向線縮短，凸邊的縱向線縮短，凸邊縱向線伸長。邊縱向線伸長。梁內既不伸長也不縮梁內既不伸長也不縮短的縱向纖維層。短的縱向纖維層。中性層與各橫中性層與各橫截面的交線截面的交線,垂直于橫截面的垂直于橫截面的對稱軸對稱軸y。由觀察變形而得的假設由觀察變形而得的假設:平截面假設平截面假設: 橫截面變形后仍保持平面橫截面變形后仍保持平面,且仍垂直于且仍垂直于變形后梁軸線變形后梁軸線,只繞橫截面內某軸只繞橫截面內某軸(中性軸中性軸)轉一角度轉一角度單向單向(縱向縱向)受力假設受力假設: 變形后各纖維之間互不擠壓變形后各纖維之間互不擠壓,只受拉伸或壓縮作用只受拉伸或壓縮作用.4-2 4-2 彎

7、曲時的正應力彎曲時的正應力縱向纖維線應變變化規律縱向纖維線應變變化規律:變形前：變形前：變形后變形后: 伸長伸長變形的幾何關系變形的幾何關系4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力dxooab21dyab)( ddxoo21ydddydxabS)(ydyddxS 物理方面物理方面(彈性彈性)n靜力平衡關系靜力平衡關系 (合力矩定理、合力定理合力矩定理、合力定理)4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力EyE AdAN0AdAzyM0AMdAyzM推論推論1 : 中性軸必通過截面形心中性軸必通過截面形心推論推論2 : z 軸為主慣性軸軸為主慣性軸M 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y 所計算

8、點到中性軸的距離所計算點到中性軸的距離Iz 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩正應力計算公式正應力計算公式4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力zIyMM 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y 所計算點到中性軸的距離所計算點到中性軸的距離Iz 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩應力正負號確定應力正負號確定 M為正時為正時,中性軸上部截面受壓下部截面受拉中性軸上部截面受壓下部截面受拉; M為負時為負時,中性軸上部截面受拉下部截面受壓中性軸上部截面受拉下部截面受壓. 在拉區在拉區 為正為正,壓區壓區 為負為負4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力zIyM梁橫截面上正應力的最大值：

9、梁橫截面上正應力的最大值：永遠出現在梁截面的上、下邊緣處永遠出現在梁截面的上、下邊緣處 抗彎截面模量抗彎截面模量(截截面抵抗矩面抵抗矩)zctIMymaxmaxmaxmaxmaxyIWzz令則則zctWMmaxmaxmax4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力正應力公式的使用條件及推廣正應力公式的使用條件及推廣 正應力公式只能用于發生平面彎曲的梁正應力公式只能用于發生平面彎曲的梁; 材料處于線彈性范圍內材料處于線彈性范圍內; 對于具有一個縱向對稱面的梁均適用對于具有一個縱向對稱面的梁均適用; 可推廣應用于橫力彎曲時梁的正應力計算可推廣應用于橫力彎曲時梁的正應力計算.4-2 4-2 彎曲時

10、的正應力彎曲時的正應力zIM(x)yx 當當L/h5L/h5時，時，橫截面上的剪力對正應力分布橫截面上的剪力對正應力分布和最大值的影響一般在和最大值的影響一般在5 5以內，因此橫力彎曲時橫以內，因此橫力彎曲時橫截面上的正應力截面上的正應力 采用下式采用下式4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力 示例：示例：矩形截面懸臂梁受均布荷載矩形截面懸臂梁受均布荷載q=2kN/m, b=120mm,h=180mm,L=2m.求求C截面截面a、b、c正應力正應力1.C截面上彎矩截面上彎矩MC=-qL/2 L/4=-qL2/8=-1kNm2.矩形截面慣性矩矩形截面慣性矩Iz=bh3/12=0.58310

11、-4 m43.分別求分別求a、b、c三點正應力三點正應力 a=MCya/Iz=1MPa(拉拉) b=MCyb/Iz=0, c=MCyc/Iz=1.5MPa(壓壓)4-2 4-2 彎曲時的正應力彎曲時的正應力最大正應力最大正應力危險截面危險截面: 最大彎矩所在截面最大彎矩所在截面 Mmax危險點：距中性軸最遠邊緣點危險點：距中性軸最遠邊緣點 ymax令令Iz /ymax=Wz ,則則 max=Mmax/WzWz 抗彎截面模量抗彎截面模量矩形截面矩形截面:Wz=bh2/6, Wy=hb2/6圓形截面圓形截面:Wz= Wy= D3/32正方形截面正方形截面:Wz= Wy= a3/64-2 4-2 彎

12、曲時的正應力彎曲時的正應力zIyMmaxmaxmax一、極慣性矩：一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐與它到坐標原點的距離標原點的距離平方的乘積平方的乘積2dA,稱為該面積稱為該面積dA對于坐標原點對于坐標原點o的極慣性矩。的極慣性矩。 截面對坐標原點截面對坐標原點o的極慣性矩為：的極慣性矩為：APdAI;2 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。 實心圓截面：實心圓截面：;3224202DdAIDP 空心圓截面：空心圓截面：)();1 (3244DdDIP 二、慣性矩：二、慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積定

13、義：平面圖形中任一微面積dA對對z軸、軸、y軸的慣性矩分別為：軸的慣性矩分別為：y2dA和和Z2dA；則整個圖形（面積為則整個圖形（面積為A)對對z軸、軸、y軸的慣性矩分別為軸的慣性矩分別為：;2AzdAyI;2AydAzI4-3 4-3 截面的幾何特征截面的幾何特征bhymaxymaxyzdyzymaxymax2362122hbhhbhIWzz34322642ddddIWzzzyymaxymaxdD)(1 322)(6424344DdDDdDDIWzz不同梁橫截面的慣性矩和抗彎截面模量：不同梁橫截面的慣性矩和抗彎截面模量：123bhIz644dIz64)(44dDIz4-3 4-3 截面的幾

14、何特征截面的幾何特征正應力強度條件正應力強度條件 材料的容許應力材料的容許應力 矩形和工字形截面梁正應力矩形和工字形截面梁正應力 max=Mmax/Wz Wz = Iz /(h/2) 特點：特點： max+= max-4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度maxmaxzWM 正應力強度計算正應力強度計算校核強度校核強度:截面設計截面設計:確定許用荷載確定許用荷載:4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度maxmaxzWMmaxMzW maxzWM解：畫內力圖求危險截面內力矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大剪應力之比,

15、并校核梁的強度。N54002336002maxqLVNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mV2qL2qL+x例例1 1求最大應力并校核強度應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=3.6kN/mxM+82qLV2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAV例例1 1續續圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KNP=20KN。試在下列三種截面形狀下

16、，比較所耗材料：試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：(1)(1)高寬比高寬比h/b=2的矩形；的矩形；(2)(2)圓形；圓形；(3)(3)工字鋼工字鋼。 140MPa1lmP=20KN解解:作彎矩圖作彎矩圖P l max20MP lKN m maxmaxzMW由由強度條件強度條件 333max620 10143140 10zMWmcm(1)矩形矩形26zbhW b=6cm h=12cm2172Acm(2)圓形圓形332zdWd11.3cm22100Acm(3)工字形工字形查查型鋼表，取型鋼表，取1616號工字鋼號工字鋼3141zWcm2326.1Acm例例2 2提高梁彎曲強度的措施提高梁彎曲

17、強度的措施采用合理截面形狀采用合理截面形狀 原則：當面積原則：當面積A一定時一定時,盡可能盡可能增大截面的高度增大截面的高度,并將較多的材并將較多的材料布置在遠離中性軸的地方料布置在遠離中性軸的地方,以以得到較大的抗彎截面模量。得到較大的抗彎截面模量。2362122hbhhbhIWzz4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度maxmaxzWM梁的寬高比為1/21/3，梁的寬度不應小于120MM,高度不小于150MM. 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhW)2/( ;,41221 DRaaD時當在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面

18、zDzaa1121212,24 DaaD時當1312467. 1 646zzWabhWa12a1z工字形截面工字形截面提高梁彎曲強度的措施提高梁彎曲強度的措施4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度 合理安排梁的支座和荷載合理安排梁的支座和荷載 目的目的: 減小梁的最大彎矩減小梁的最大彎矩 外伸梁和簡支梁的比較外伸梁和簡支梁的比較:提高梁彎曲強度的措施提高梁彎曲強度的措施4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度采用變截面梁采用變截面梁 目的目的: 節省材料和減輕自重節省材料和減輕自重 理想情況理想情況: 變截面梁各橫截面上最大正應力相等變截面梁各橫截面上最大正應力相等等強度梁等強度梁:

19、W(x)=M(x)/ =Px/ = bh2(x)/6Px提高梁彎曲強度的措施提高梁彎曲強度的措施4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度6)(bPxxh提高梁彎曲強度的措施提高梁彎曲強度的措施4-3 4-3 梁的正應力強度梁的正應力強度矩形截面梁矩形截面梁 剪應力分布假設剪應力分布假設 橫截面上的剪應力都平行于剪橫截面上的剪應力都平行于剪力力V 剪應力沿截面寬度均勻分布，剪應力沿截面寬度均勻分布，與中性軸等距處與中性軸等距處 大小相等大小相等剪應力在橫截面上的分布規律與截面形狀有關：剪應力在橫截面上的分布規律與截面形狀有關：4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度Q橫截面上剪力；橫截面

20、上剪力；Iz整個橫截面對中性軸的慣性矩；整個橫截面對中性軸的慣性矩；b 所求剪應力處的截面寬度；所求剪應力處的截面寬度；Sz*所求剪應力處橫線一側部分面積所求剪應力處橫線一側部分面積A*對中性軸靜矩對中性軸靜矩矩形截面梁剪應力計算公式矩形截面梁剪應力計算公式4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度bzIzQSbzIzSdxMd 矩形截面剪應力沿截面高度的變化規律矩形截面剪應力沿截面高度的變化規律剪應力沿截面高度按二次拋剪應力沿截面高度按二次拋物線規律變化物線規律變化: y=h/2, =0; y=0, = max; 4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度AQbhQ2323max工字形截

21、面梁工字形截面梁 剪應力分布假設仍然適用剪應力分布假設仍然適用 Q橫截面上剪力；橫截面上剪力；Iz整個工字型截面對中性軸的慣性矩；整個工字型截面對中性軸的慣性矩；b1 腹板寬度；腹板寬度；Sz*陰影線部分面積陰影線部分面積A*對中性軸的靜矩對中性軸的靜矩最大剪應力：最大剪應力：111*maxmaxhbQbIQSzz4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度1bzIzQS圓形截面梁圓形截面梁 剪應力分布假設不適用剪應力分布假設不適用 最大剪應力仍發生在中性軸上最大剪應力仍發生在中性軸上:4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度AQ34max梁的剪應力強度校核梁的剪應力強度校核 剪應力計算公

22、式剪應力計算公式 剪應力強度條件剪應力強度條件 材料彎曲時容許剪應力材料彎曲時容許剪應力4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度bzIzQSmaxmaxbzIzQS 設計梁時必須同時滿足正應力和剪應力的強度條件。對設計梁時必須同時滿足正應力和剪應力的強度條件。對細長梁，彎曲正應力強度條件是主要的，一般按正應力強度細長梁，彎曲正應力強度條件是主要的，一般按正應力強度條件設計，不需要校核剪應力強度，只有在個別特殊情況下條件設計，不需要校核剪應力強度，只有在個別特殊情況下才需要校核剪應力強度。才需要校核剪應力強度。1、梁的跨度較短，M 較小，而V較大時，要校核剪應力。2、各向異性材料（如木材）的

23、抗剪能力較差，要校核剪應力。需要校核剪應力的幾種特殊情況：需要校核剪應力的幾種特殊情況：4-4 4-4 梁的剪應力強度梁的剪應力強度工程中以扭轉為主要變形的構件主要是機器中的傳動軸、石油工程中以扭轉為主要變形的構件主要是機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等；建筑工程中則是雨篷梁和吊車梁等。鉆機中的鉆桿等；建筑工程中則是雨篷梁和吊車梁等。扭轉：扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發生的變形為扭轉變形。垂直，桿發生的變形為扭轉變形。ABOmmOBA4-5 4-5 扭轉時的應力扭轉時的應力圓軸橫截面上的圓軸橫截面上的剪剪應力應力

24、變形幾何關系變形幾何關系從三方面考慮從三方面考慮：物理關系物理關系 靜力學關系靜力學關系mm4-5 4-5 扭轉時的應力扭轉時的應力變形幾何關系變形幾何關系觀察到下列現象：觀察到下列現象： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。 平面假設：平面假設： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋

25、轉了一個角度。它像剛性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。mmdxxmaxppTTIWmaxmaxmaxppIW非圓截面桿的扭轉非圓截面桿的扭轉 圓截面桿扭轉時的應力和變形公式圓截面桿扭轉時的應力和變形公式, ,均建均建立在立在平面假設平面假設 的基礎上。的基礎上。 對于非圓截面桿對于非圓截面桿, ,受扭時橫截面不再保持受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲面。這一現象稱為截面翹曲。曲面。這一現象稱為截面翹曲。 因此因此, ,圓軸扭轉時的應力、變形公式對非圓軸扭轉時的應力、變形公式對非圓截面桿均不適用。圓截面桿均不適用。mm表表矩形截面桿扭轉時的系數矩形截面桿扭轉時的系數h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.3330.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0